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12.3 : Longueur d'arc dans l'espace - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Déterminez la longueur de la trajectoire d'une particule dans l'espace en utilisant la fonction de longueur d'arc.
  • Expliquer la signification de la courbure d'une courbe dans l'espace et énoncer sa formule.
  • Décrire la signification des vecteurs normaux et binormaux d'une courbe dans l'espace.

Dans cette section, nous étudions les formules liées aux courbes en deux et trois dimensions, et voyons comment elles sont liées à diverses propriétés de la même courbe. Par exemple, supposons qu'une fonction à valeur vectorielle décrit le mouvement d'une particule dans l'espace. Nous aimerions déterminer la distance parcourue par la particule sur un intervalle de temps donné, ce qui peut être décrit par la longueur de l'arc du chemin qu'elle suit. Ou, supposons que la fonction à valeur vectorielle décrit une route que nous construisons et que nous souhaitions déterminer la netteté de la courbe de la route à un point donné. Ceci est décrit par la courbure de la fonction à ce point. Nous explorons chacun de ces concepts dans cette section.

Longueur d'arc pour les fonctions vectorielles

Nous avons vu comment une fonction à valeur vectorielle décrit une courbe en deux ou trois dimensions. Rappelons que la formule de la longueur d'arc d'une courbe définie par les fonctions paramétriques (x=x(t),y=y(t),t_1≤t≤t_2) est donnée par

[s=int^{t_2}_{t_1} sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}dt. pas de numéro]

De la même manière, si nous définissons une courbe lisse en utilisant une fonction à valeur vectorielle (vecs r(t)=f(t) ,hat{mathbf{i}}+g(t) ,hat {mathbf{j}}), où (a≤t≤b), la longueur de l'arc est donnée par la formule

[s=int^{b}_{a} sqrt{(f′(t))^2+(g′(t))^2}dt. pas de numéro]

En trois dimensions, si la fonction à valeur vectorielle est décrite par (vecs r(t)=f(t) ,hat{mathbf{i}}+g(t) ,hat{mathbf{ j}}+h(t) ,hat{mathbf{k}}) sur le même intervalle (a≤t≤b), la longueur de l'arc est donnée par

[s=int^{b}_{a} sqrt{(f′(t))^2+(g′(t))^2+(h′(t))^2}dt. pas de numéro]

Théorème : Formules de longueur d'arc pour les courbes planes et spatiales

Courbe plane: Soit une courbe lisse (C) définie par la fonction (vecs r(t)=f(t) ,hat{mathbf{i}}+g(t) , hat{mathbf {j}}), où (t) se trouve dans l'intervalle ([a,b]), la longueur de l'arc de (C) sur l'intervalle est

[egin{align} s &=int^{b}_{a} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2}dt [4pt] & =int^{b}_{a} |vecs r′(t)|dt . label{Arc2D}end{align}]

Courbe de l'espace: Soit une courbe lisse (C) définie par la fonction (vecs r(t)=f(t) ,hat{mathbf{i}}+g(t) ,hat{mathbf {j}}+h(t) ,hat{mathbf{k}}), où (t) se situe dans l'intervalle ([a,b]), la longueur d'arc de (C ) sur l'intervalle est

[egin{align} s &=int^{b}_{a} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)] ^2}dt [4pt] &=int^{b}_{a} |vecs r′(t)|dt . label{Arc3D} end{align}]

Les deux formules sont très similaires ; elles ne diffèrent que par le fait qu'une courbe spatiale a trois fonctions composantes au lieu de deux. Notez que les formules sont définies pour des courbes lisses : des courbes où la fonction vectorielle (vecs r(t)) est dérivable avec une dérivée non nulle. La condition de lissage garantit que la courbe n'a pas de cuspides (ou de coins) qui pourraient rendre la formule problématique.

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche de la longueur de l'arc

Calculez la longueur de l'arc pour chacune des fonctions vectorielles suivantes :

  1. (vecs r(t)=(3t−2) ,hat{mathbf{i}}+(4t+5) ,hat{mathbf{j}},quad 1≤t≤5 )
  2. (vecs r(t)=⟨tcos t,tsin t,2t⟩,0≤t≤2 pi )

Solution

  1. En utilisant l'équation ef{Arc2D}, (vecs r′(t)=3 ,hat{mathbf{i}}+4 ,hat{mathbf{j}}), donc

    [egin{align*} s &=int^{b}_{a} |vecs r′(t)|dt [4pt] &=int^{5}_{1} sqrt{3^2 + 4^2} dt [4pt] &=int^{5}_{1} 5 dt = 5tig|^{5}_{1} = 20. end{ aligner*}]

  2. En utilisant l'équation ef{Arc3D}, (vecs r′(t)=⟨ cos t−t sin t, sin t+t cos t,2⟩ ), donc

    [egin{align*} s &=int^{b}_{a} ∥vecs r′(t)∥dt [4pt] &=int^{2 pi}_{0} sqrt{(cos t−t sin t)^2+( sin t+t cos t)^2+2^2} dt [4pt] &=int^{2 pi}_ {0} sqrt{( cos ^2 t−2t sin t cos t+t^2 sin ^2 t)+( sin^2 t+2t sin t cos t+t^2 cos ^2 t)+4} dt [4pt] &=int^{2 pi}_{0} sqrt{cos ^2 t+ sin^2 t+t^2( cos ^2 t+ sin ^2 t)+4} dt [4pt] &=int^{2 pi}_{0} sqrt{t^2+5} dtend{align*}]

    Ici, nous pouvons utiliser une formule d'intégration de table

    [int sqrt{u^2+a^2}du = dfrac{u}{2}sqrt{u^2+a^2} + dfrac{a^2}{2} ln ,left|, u + sqrt{u^2+a^2} , ight| + C, onuméro]

    donc on obtient

    [egin{align*} int^{2 pi}_{0} sqrt{t^2+5} dt ; &= frac{1}{2} igg( t sqrt{t^2+5}+5 ln ,left|t+sqrt{t^2+5} ight| igg) _0^ {2π} [4pt] &= frac{1}{2} igg( 2π sqrt{4π^2+5}+5 ln igg( 2π+ sqrt{4π^2+5} bigg) igg)−frac{5}{2} ln sqrt{5} [4pt] &≈25.343 , ext{units}. end{align*}]

Exercice (PageIndex{1})

Calculer la longueur de l'arc de la courbe paramétrée

[vecs r(t)=⟨2t^2+1,2t^2−1,t^3⟩,quad 0≤t≤3. pas de numéro]

Indice

Utilisez l'équation ef{Arc3D}.

Répondre

(vecs r′(t)=⟨4t,4t,3t^2⟩,) donc (s= frac{1}{27}(113^{3/2}−32^{3/2 })≈37,785) unités

Nous revenons maintenant à l'hélice présentée plus tôt dans ce chapitre. Une fonction à valeur vectorielle qui décrit une hélice peut être écrite sous la forme

[vecs r(t)=R cos left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{i}} +R sin left(dfrac{2πNt}{ h} ight) ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{mathbf{k}},0≤t≤h, onumber]

où (R) représente le rayon de l'hélice, (h) représente la hauteur (distance entre deux tours consécutifs), et l'hélice complète (N) tours. Dérivons une formule pour la longueur de l'arc de cette hélice en utilisant l'équation ef{Arc3D}. D'abord,

[vecs r′(t)=−dfrac{2πNR}{h} sin left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{i}}+ dfrac{ 2πNR}{h} cos left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{j}}+,hat{mathbf{k}}. pas de numéro]

Par conséquent,

[egin{align*} s & =int_a^b ‖vecs r′(t)‖dt [4pt] &=int_0^hsqrt{ igg(−dfrac{2πNR}{h } sin igg(dfrac{2πNt}{h} igg) igg)^2+ igg( dfrac{2πNR}{h} cos igg( dfrac{2πNt}{h} igg) igg)^2+1^2}dt [4pt] &=int_0^hsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} igg( sin ^2 igg (dfrac{2πNt}{h} igg) + cos ^2 igg( dfrac{2πNt}{h} igg) igg)+1}dt [4pt] &=int_0^h sqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} +1}dt [4pt] &=igg[ tsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^ 2} +1}igg]^h_0 [4pt] &=h sqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2 + h^2}{h^2}} [4pt] &= sqrt{ 4π^2N^2R^2 + h^2}.end{align*}]

Cela donne une formule pour la longueur d'un fil nécessaire pour former une hélice avec (N) tours qui a un rayon (R) et une hauteur (h).

Paramétrage de la longueur d'arc

Nous avons maintenant une formule pour la longueur de l'arc d'une courbe définie par une fonction à valeur vectorielle. Allons plus loin et examinons ce qu'est un fonction de longueur d'arc est.

Si une fonction à valeur vectorielle représente la position d'une particule dans l'espace en fonction du temps, la fonction de longueur d'arc mesure la distance parcourue par cette particule en fonction du temps. La formule de la fonction de longueur d'arc découle directement de la formule de longueur d'arc :

[s=int^{t}_{a} sqrt{(f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2}du. label{arclength2}]

Si la courbe est en deux dimensions, alors seulement deux termes apparaissent sous la racine carrée à l'intérieur de l'intégrale. La raison de l'utilisation de la variable indépendante vous est de distinguer le temps de la variable d'intégration. Puisque (s(t)) mesure la distance parcourue en fonction du temps, (s′(t)) mesure la vitesse de la particule à un instant donné. Puisque nous avons une formule pour (s(t)) dans l'équation ef{arclength2}, nous pouvons différencier les deux côtés de l'équation :

[ egin{align*} s′(t) &=dfrac{d}{dt} igg[ int^{t}_{a} sqrt{(f′(u))^2+( g′(u))^2+(h′(u))^2}du igg] [4pt] &=dfrac{d}{dt} igg[ int^{t}_{a } ‖vecs r′(u)‖du igg] [4pt] &=|vecs r′(t)|.end{align*}]

Si nous supposons que (vecs r(t)) définit une courbe lisse, alors la longueur de l'arc est toujours croissante, donc (s′(t)>0) pour (t>a). Enfin, si (vecs r(t)) est une courbe sur laquelle (|vecs r′(t)|=1 ) pour tout (t), alors

[s(t)=int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖,du=int^{t}_{a} 1,du=t−a, pas de numéro]

ce qui signifie que (t) représente la longueur de l'arc aussi long que (a=0).

Théorème : fonction de longueur d'arc

Soit (vecs r(t)) une courbe lisse pour (t≥a). Alors la fonction de longueur d'arc est donnée par

[s(t)=int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖,du]

Par ailleurs,

[dfrac{ds}{dt}=‖vecs r′(t)‖>0. pas de numéro]

Si (‖vecs r′(t)‖=1) pour tout (t≥a), alors le paramètre (t) représente la longueur de l'arc depuis le point de départ en (t=a) .

Une application utile de ce théorème est de trouver une paramétrisation alternative d'une courbe donnée, appelée un paramétrage de la longueur de l'arc. Rappelons que toute fonction à valeur vectorielle peut être reparamétrée via un changement de variables. Par exemple, si on a une fonction (vecs r(t)=⟨3 cos t,3 sin t⟩,0≤t≤2π) qui paramétre un cercle de rayon 3, on peut changer le paramètre de (t) à (4t), obtenant une nouvelle paramétrisation (vecs r(t)=⟨3 cos 4t,3 sin 4t⟩). La nouvelle paramétrisation définit toujours un cercle de rayon 3, mais il suffit maintenant d'utiliser les valeurs (0≤t≤π/2) pour parcourir le cercle une fois.

Supposons que nous trouvions la fonction de longueur d'arc (s(t)) et que nous soyons capables de résoudre cette fonction pour (t) en fonction de (s). Nous pouvons alors reparamétrer la fonction d'origine (vecs r(t)) en substituant l'expression pour (t) dans (vecs r(t)). La fonction à valeur vectorielle est maintenant écrite en fonction du paramètre (s). Puisque la variable (s) représente la longueur de l'arc, nous appelons cela un paramétrage de la longueur de l'arc de la fonction d'origine (vecs r(t)). Un avantage de trouver la paramétrisation de la longueur de l'arc est que la distance parcourue le long de la courbe à partir de (s=0) est maintenant égale au paramètre (s). La paramétrisation de la longueur de l'arc apparaît également dans le contexte de la courbure (que nous examinerons plus loin dans cette section) et des intégrales de ligne.

Exemple (PageIndex{2}) : Recherche d'un paramétrage de longueur d'arc

Trouvez le paramétrage de la longueur de l'arc pour chacune des courbes suivantes :

  1. (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+ 4 sin t ,hat{mathbf{j}},quad t≥0)
  2. (vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩,quad t≥3)

Solution

  1. Nous trouvons d'abord la fonction de longueur d'arc en utilisant l'équation ef{arclength2} :

    [egin{align*} s(t) &= int_a^t ‖vecs r′(u)‖ ,du [4pt] &= int_0^t ‖⟨−4 sin u,4 cos u⟩‖ ,du [4pt] &= int_0^t sqrt{(−4 sin u)^2+(4 cos u)^2} ,du [4pt] & = int_0^t sqrt{16 sin ^2 u+16 cos ^2 u} ,du [4pt] &= int_0^t 4,du = 4t, end{align*} ]

  2. ce qui donne la relation entre la longueur de l'arc (s) et le paramètre (t) comme (s=4t;) donc, (t=s/4). Ensuite nous remplaçons la variable (t) dans la fonction originale (vecs r(t)=4 cos t ,hat{mathbf{i}}+4 sin t ,hat{mathbf {j}}) avec l'expression (s/4) pour obtenir

    [vecs r(s)=4 cos left(frac{s}{4} ight) ,hat{mathbf{i}} + 4 sin left( frac{s}{ 4} ight) ,hat{mathbf{j}}. pas de numéro]

    Il s'agit de la paramétrisation de la longueur d'arc de (vecs r(t)). Puisque la restriction originale sur (t) était donnée par (t≥0), la restriction sur s devient (s/4≥0), ou (s≥0).
  3. La fonction de longueur d'arc est donnée par l'équation ef{arclength2} :

    [egin{align*} s(t) & = int_a^t ‖vecs r′(u)‖ ,du [4pt] &= int_3^t ‖⟨1,2,2⟩‖ ,du [4pt] &= int_3^t sqrt{1^2+2^2+2^2} ,du [4pt] &= int_3^t 3 ,du [ 4pt] &= 3t - 9. end{align*}]

    Par conséquent, la relation entre la longueur de l'arc (s) et le paramètre (t) est (s=3t−9), donc (t= frac{s}{3}+3). En substituant ceci dans la fonction originale (vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩ ) donne

    [vecs r(s)=⟨gauche(frac{s}{3}+3droit)+3,,2gauche(frac{s}{3}+3droit)−4 ,,2gauche(frac{s}{3}+3droit)⟩=⟨frac{s}{3}+6, frac{2s}{3}+2,frac{2s} {3}+6⟩. onumber]

    Il s'agit d'une paramétrisation de longueur d'arc de (vecs r(t)). La restriction originale sur le paramètre (t) était (t≥3), donc la restriction sur (s) est ((s/3)+3≥3), ou (s≥0 ).

Exercice (PageIndex{2})

Trouver la fonction de longueur d'arc pour l'hélice

[vecs r(t)=⟨3 cos t, 3 sin t,4t⟩,quad t≥0. pas de numéro]

Ensuite, utilisez la relation entre la longueur de l'arc et le paramètre (t) pour trouver une paramétrisation de la longueur de l'arc de (vecs r(t)).

Indice

Commencez par trouver la fonction de longueur d'arc.

Répondre

(s=5t), ou (t=s/5). En substituant ceci dans (vecs r(t)=⟨3 cos t,3 sin t,4t⟩) donne

[vecs r(s)=⟨3 cos left(frac{s}{5} ight),3 sin left(frac{s}{5} ight),frac{4s }{5}⟩,quad s≥0 onumber]

Courbure

Un sujet important lié à la longueur de l'arc est la courbure. Le concept de courbure fournit un moyen de mesurer la netteté d'une courbe lisse. Un cercle a une courbure constante. Plus le rayon du cercle est petit, plus la courbure est grande.

Pensez à conduire sur une route. Supposons que la route se trouve sur un arc de grand cercle. Dans ce cas, vous auriez à peine à tourner le volant pour rester sur la route. Supposons maintenant que le rayon est plus petit. Dans ce cas, vous devrez tourner plus brusquement pour rester sur la route. Dans le cas d'une courbe autre qu'un cercle, il est souvent utile d'inscrire d'abord un cercle sur la courbe en un point donné de manière à ce qu'il soit tangent à la courbe en ce point et « épouse » la courbe le plus près possible dans un voisinage du point (Figure (PageIndex{1})). La courbure du graphique à ce point est alors définie comme étant la même que la courbure du cercle inscrit.

Définition : courbure

Soit (C) une courbe lisse dans le plan ou dans l'espace donnée par (vecs r(s)), où (s) est le paramètre de longueur d'arc. La courbure (κ) en (s) est

[κ =igg{|}dfrac{dvecs{T}}{ds}igg{|}=‖vecs T′(s)‖.]

Visitez cette vidéo pour plus d'informations sur la courbure d'une courbe spatiale.

La formule dans la définition de la courbure n'est pas très utile en termes de calcul. En particulier, rappelons que (vecs T(t)) représente le vecteur unitaire tangent à une fonction vectorielle donnée (vecs r(t)), et la formule pour (vecs T(t) ) est

[vecs T(t)=frac{vecs r′(t)}{∥vecs r′(t)∥}.]

Pour utiliser la formule de courbure, il faut d'abord exprimer (vecs r(t)) en fonction du paramètre de longueur d'arc (s), puis trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(s )) pour la fonction (vecs r(s)), puis prendre la dérivée de (vecs T(s)) par rapport à (s). C'est un processus fastidieux. Heureusement, il existe des formules équivalentes pour la courbure.

Théorème : Formules alternatives de courbure

Si (C) est une courbe lisse donnée par (vecs r(t)), alors la courbure (κ) de (C) en (t) est donnée par

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}. label{EqK2} ]

Si (C) est une courbe tridimensionnelle, alors la courbure peut être donnée par la formule

[κ =dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r′′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3}.label{EqK3}]

Si (C) est le graphe d'une fonction (y=f(x)) et que (y′) et (y'') existent, alors la courbure (κ) au point ((x,y)) est donné par

[κ =dfrac{|y''|}{[1+(y′)^2]^{3/2}}.label{EqK4}]

Preuve

La première formule découle directement de la règle de la chaîne :

[dfrac{dvecs{T}}{dt} = dfrac{dvecs{T}}{ds} dfrac{ds}{dt}, onumber]

où (s) est la longueur de l'arc le long de la courbe (C). Diviser les deux côtés par (ds/dt), et prendre la grandeur des deux côtés donne

[igg{|}dfrac{dvecs{T}}{ds}igg{|}= leftlVertfrac{vecs T′(t)}{dfrac{ds}{ dt}} ight Vert. onumber]

Puisque (ds/dt=‖vecs r′(t)‖), cela donne la formule de la courbure (κ) d'une courbe (C) en fonction de toute paramétrisation de (C) :

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}. onumber]

Dans le cas d'une courbe à trois dimensions, on part des formules (vecs T(t)=(vecs r′(t))/‖vecs r′(t)‖) et (ds/ dt=‖vecs r′(t)‖). Donc, (vecs r′(t)=(ds/dt)vecs T(t)). Nous pouvons prendre la dérivée de cette fonction en utilisant la formule du produit scalaire :

[vecs r″(t)=dfrac{d^2s}{dt^2}vecs T(t)+dfrac{ds}{dt}vecs T′(t). onumber]

En utilisant ces deux dernières équations, nous obtenons

[egin{align*} vecs r′(t)×vecs r″(t) &=dfrac{ds}{dt}vecs T(t)× igg( dfrac{d^2s} {dt^2}vecs T(t)+dfrac{ds}{dt}vecs T′(t) igg) [4pt] &=dfrac{ds}{dt} dfrac{d^ 2s}{dt^2}vecs T(t)×vecs T(t)+(dfrac{ds}{dt})^2vecs T(t)×vecs T′(t). end{align*}]

Puisque (vecs T(t)×vecs T(t)=0), cela se réduit à

[vecs r′(t)×vecs r′′(t)=left(dfrac{ds}{dt} ight)^2vecs T(t)×vecs T′(t). pas de numéro]

Puisque (vecs T′) est parallèle à (vecs N), et (vecs T) est orthogonal à (vecs N), il s'ensuit que (vecs T) et (vecs T′) sont orthogonaux. Cela signifie que (‖vecs T×vecs T′‖=‖vecs T‖‖vecs T′‖ sin (π/2)=‖vecs T′‖), donc

[|vecs r′(t)×vecs r″(t)|=left(dfrac{ds}{dt} ight)^2‖vecs T′(t)‖. onumber ]

Résolvons maintenant cette équation pour (‖vecs T′(t)‖) et utilisons le fait que (ds/dt=‖vecs r′(t)‖) :

[‖vecs T′(t)‖=dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^2}. onumber ]

Ensuite, on divise les deux côtés par (‖vecs r′(t)‖). Cela donne

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}=dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖} {‖vecs r′(t)‖^3}. onumber]

Cela prouve ( ef{EqK3}). Pour prouver ( ef{EqK4}), nous partons de l'hypothèse que la courbe (C) est définie par la fonction (y=f(x)). Ensuite, on peut définir (vecs r(t)=x ,hat{mathbf{i}}+f(x) ,hat{mathbf{j}}+0 ,hat{ mathbf{k}}). En utilisant la formule précédente pour la courbure :

[egin{align*} vecs r′(t) &=,hat{mathbf{i}}+f′(x),hat{mathbf{j}} [4pt] vecs r″(t) &=f″(x),hat{mathbf{j}} [4pt] vecs r′(t)×vecs r″(t) &= egin{ vmatrix} hat{mathbf{i}} & hat{mathbf{j}} & hat{mathbf{k}} 1 & f′(x) & 0 0 & f″(x ) & 0 end{vmatrix} =f″(x),hat{mathbf{k}}. end{align*}]

Par conséquent,

[κ= dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3}=dfrac{|f″(x)|} {(1+[f′(x)]^2)^{3/2}} onumber]

Exemple (PageIndex{3}) : Recherche de la courbure

Trouver la courbure pour chacune des courbes suivantes au point donné :

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+4 sin t,hat{mathbf{j}}+3t,hat{mathbf{ k}},quad t=dfrac{4π}{3})
  2. (mathrm{f(x)= sqrt{4x−x^2},x=2})

Solution

  1. Cette fonction décrit une hélice.

La courbure de l'hélice à (t=(4π)/3) peut être trouvée en utilisant ( ef{EqK2}). Tout d'abord, calculez (vecs T(t)):

[egin{align*} vecs T(t) &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [4pt] &=dfrac{⟨− 4 sin t,4 cos t,3⟩}{sqrt{(−4 sin t)^2+(4 cos t)^2+3^2}}[4pt] &=⟨− dfrac{4}{5} sin t,dfrac{4}{5} cos t, dfrac{3}{5}⟩. end{align*}]

Ensuite, calculez (vecs T′(t):)

[vecs T′(t)=⟨−dfrac{4}{5} cos t,− dfrac{4}{5} sin t,0⟩. pas de numéro]

Enfin, appliquez ( ef{EqK2}) :

[ egin{align*} κ &=dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} = dfrac{‖⟨−dfrac{4}{5} cos t,−dfrac{4}{5} sin t,0⟩‖}{‖⟨−4 sin t,4 cos t,3⟩‖} [4pt] &=dfrac{ sqrt{(−dfrac{4}{5} cos t)^2+(−dfrac{4}{5} sin t)^2+0^2}}{sqrt{(−4 sin t)^2+(4 cos t)^2+ 3^2}} [4pt] &=dfrac{4/5}{5}=dfrac{4}{25}. end{align*}]

La courbure de cette hélice est constante en tout point de l'hélice.

  1. Cette fonction décrit un demi-cercle.

Pour trouver la courbure de ce graphe, il faut utiliser ( ef{EqK4}). On calcule d'abord (y′) et (y″:)

[egin{align*}y &=sqrt{4x−x^2}=(4x−x^2)^{1/2} [4pt] y′ &=dfrac{1}{2 }(4x−x^2)^{−1/2}(4−2x)=(2−x)(4x−x^2)^{−1/2} [4pt] y″ &=− (4x−x^2)^{−1/2}+(2−x)(−dfrac{1}{2})(4x−x^2)^{−3/2}(4−2x) [4pt] & =−dfrac{4x−x^2}{(4x−x^2)^{3/2}}− dfrac{(2−x)^2}{(4x−x^ 2)^{3/2}} [4pt] &=dfrac{x^2−4x−(4−4x+x^2)}{(4x−x^2)^{3/2}} [4pt] &=−dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}}. end{align*} ]

Ensuite, nous appliquons ( ef{EqK4}):

[ egin{align*} κ &=dfrac{|y''|}{[1+(y′)^2]^{3/2}} [4pt] &= dfrac{igg | −dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}}igg|}{igg[1+((2−x)(4x−x^2)^{−1/2 })^2 igg]^{3/2}} = dfrac{igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg|}{igg[ 1+dfrac{(2−x)^2}{4x−x^2} igg ]^ {3/2}} [4pt] &= dfrac{igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg|}{ igg[ dfrac{4x−x^2+x^2−4x+4}{4x−x^ 2} igg]^{3/2}}=igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg| ⋅dfrac{(4x−x^2)^{3/2}}{8} [4pt] &=dfrac{1}{2}. end{align*}]

La courbure de ce cercle est égale à l'inverse de son rayon. Il y a un problème mineur avec la valeur absolue dans ( ef{EqK4}) ; cependant, un examen plus attentif du calcul révèle que le dénominateur est positif pour toute valeur de (x).

Exercice (PageIndex{3})

Trouver la courbure de la courbe définie par la fonction

[y=3x^2−2x+4 onumber]

au point (x=2).

Indice

Utilisez ( ef{EqK4}).

Répondre

(κ ; =frac{6}{101^{3/2}}≈0.0059)

Les vecteurs normaux et binormaux

Nous avons vu que la dérivée (vecs r′(t)) d'une fonction vectorielle est un vecteur tangent à la courbe définie par (vecs r(t)), et le vecteur tangent unitaire ( vecs T(t)) peut être calculé en divisant (vecs r′(t)) par sa grandeur. Lorsqu'on étudie le mouvement en trois dimensions, deux autres vecteurs sont utiles pour décrire le mouvement d'une particule le long d'un chemin dans l'espace : le vecteur normal unitaire principal et le vecteur binormal.

Définition : vecteurs binormaux

Soit (C) un tridimensionnel lisse courbe représentée par (vecs r) sur un intervalle ouvert (I). Si (vecs T′(t)≠vecs 0), alors le vecteur normal unitaire principal en (t) est défini comme étant

[vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. label{EqNormal}]

Le vecteur binormal à (t) est défini comme

[vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t),label{EqBinormal}]

où (vecs T(t)) est le vecteur tangent unitaire.

Notez que, par définition, le vecteur binormal est orthogonal à la fois au vecteur tangent unitaire et au vecteur normal. De plus, (vecs B(t)) est toujours un vecteur unitaire. Ceci peut être montré en utilisant la formule pour l'ampleur d'un produit croisé.

[‖vecs B(t)‖=‖vecs T(t)×vecs N(t)‖=‖vecs T(t)‖‖vecs N(t)‖ sin heta,]

où ( heta) est l'angle entre (vecs T(t)) et (vecs N(t)). Puisque (vecs N(t)) est la dérivée d'un vecteur unitaire, la propriété (vii) de la dérivée d'une fonction vectorielle nous dit que (vecs T(t)) et (vecs N(t)) sont orthogonaux entre eux, donc ( heta=π/2). De plus, ce sont tous deux des vecteurs unitaires, donc leur magnitude est 1. Par conséquent, (‖vecs T(t)‖‖vecs N(t)‖ sin heta=(1)(1) sin (π/ 2)=1) et (vecs B(t)) est un vecteur unitaire.

Le vecteur normal unitaire principal peut être difficile à calculer car le vecteur tangent unitaire implique un quotient, et ce quotient a souvent une racine carrée dans le dénominateur. Dans le cas tridimensionnel, trouver le produit vectoriel du vecteur tangent unitaire et du vecteur normal unitaire peut être encore plus fastidieux. Heureusement, nous avons des formules alternatives pour trouver ces deux vecteurs, et elles sont présentées dans Motion in Space.

Exemple (PageIndex{4}): Recherche du vecteur normal et du vecteur binormal de l'unité principale

Pour chacune des fonctions vectorielles suivantes, trouvez le vecteur normal de l'unité principale. Ensuite, si possible, trouvez le vecteur binormal.

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}− 4 sin t,hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=(6t+2),hat{mathbf{i}}+5t^2,hat{mathbf{j}}−8t,hat{mathbf{ k}})

Solution

  1. Cette fonction décrit un cercle.

Pour trouver le vecteur normal unitaire principal, il faut d'abord trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t):)

[egin{align*} vecs T(t) &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(−4 sin t)^ 2+(−4 cos t)^2}} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}} }{sqrt{16 sin ^2 t+16 cos ^2 t}} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}} }{sqrt{16(sin ^2 t+ cos ^2 t)}} [4pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}}}{4} [4pt] &=− sin t,hat{mathbf{i}}− cos t,hat{mathbf{j}}.end{align*}]

Ensuite, nous utilisons ( ef{EqNormal}) :

[egin{align*} vecs N(t) &=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖} [4pt] &=dfrac{− cos t,hat{mathbf{i}}+sin t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(− cos t)^2+(sin t)^2} } [4pt]
&=dfrac{− cos t,hat{mathbf{i}}+ sin t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{ cos ^2 t+ sin ^2 t }} [4pt]
&=− cos t,hat{mathbf{i}}+ sin t,hat{mathbf{j}}. end{align*}]

Notez que le vecteur tangent unitaire et le vecteur normal unitaire principal sont orthogonaux l'un à l'autre pour toutes les valeurs de (t) :

[egin{align*} vecs T(t)·vecs N(t) &=⟨− sin t,− cos t⟩·⟨− cos t, sin t⟩ [4pt] &= sin t cos t−cos t sin t [4pt] &=0. end{align*}]

De plus, le vecteur normal unitaire principal pointe vers le centre du cercle à partir de chaque point du cercle. Puisque (vecs r(t)) définit une courbe à deux dimensions, nous ne pouvons pas calculer le vecteur binormal.

  1. Cette fonction ressemble à ceci :

Pour trouver le vecteur normal unitaire principal, on trouve d'abord le vecteur tangent unitaire (vecs T(t):)

[egin{align*} vecs T(t) &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [4pt]
&=dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{ sqrt{6^ 2+(10t)^2+(−8)^2}} [4pt]
&=dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{ sqrt{36+ 100t^2+64}} [4pt]
&= dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{sqrt{100( t^2+1)}} [4pt]
&=dfrac{3,hat{mathbf{i}}−5t,hat{mathbf{j}}−4,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t ^2+1}} [4pt]
&=dfrac{3}{5}(t^2+1)^{−1/2},hat{mathbf{i}}−t(t^2+1)^{−1/2 },hat{mathbf{j}}−dfrac{4}{5}(t^2+1)^{−1/2},hat{mathbf{k}}. end{align*}]

Ensuite, on calcule (vecs T′(t)) et (‖vecs T′(t)‖) :

[egin{align*} vecs T′(t) &=dfrac{3}{5}(−dfrac{1}{2})(t^2+1)^{−3/2} (2t),hat{mathbf{i}}−((t^2+1)^{−1/2}−t(dfrac{1}{2})(t^2+1)^ {−3/2}(2t)),hat{mathbf{j}}−dfrac{4}{5}(−dfrac{1}{2})(t^2+1)^{ -3/2}(2t),hat{mathbf{k}} [4pt]
&=−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{1}{(t^2+1)^ {3/2}},hat{mathbf{j}}+dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{k}} [4pt] ‖vecs T′(t)‖ &=sqrt{igg(−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2} }igg) ^2+ igg( −dfrac{1}{(t^2+1)^{3/2}} igg) ^2+ igg( dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3 /2}} igg)^2} [4pt]
&=sqrt{dfrac{9t^2}{25(t^2+1)^3} +dfrac{1}{(t^2+1)^3}+dfrac{16t^2}{ 25(t^2+1)^3}} [4pt]
&=sqrt{dfrac{25t^2+25}{25(t^2+1)^3}} [4pt]
&=sqrt{dfrac{1}{(t^2+1)^2}} [4pt]
&=dfrac{1}{t^2+1}. end{align*}]

Donc, d'après ( ef{EqNormal}) :

[egin{align*} vecs N(t) &=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖} [4pt]
&= igg( −dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{1}{(t^2+ 1)^{3/2}},hat{mathbf{j}} +dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{ k}} igg)(t^2+1) [4pt]
&=−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{1/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{5}{5(t^2+1) ^{1/2}},hat{mathbf{j}}+dfrac{4t}{5(t^2+1)^{1/2}},hat{mathbf{k} } [4pt]
&=−dfrac{3t,hat{mathbf{i}}+5,hat{mathbf{j}}−4t,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{ t^2+1}}. end{align*}]

Encore une fois, le vecteur tangent unitaire et le vecteur normal unitaire principal sont orthogonaux l'un à l'autre pour toutes les valeurs de (t):

[egin{align*} vecs T(t)·vecs N(t) &= igg( dfrac{3,hat{mathbf{i}}−5t,hat{mathbf {j}}−4,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t^2+1} }igg) · igg( −dfrac{3t,hat{mathbf{ i}}+5,hat{mathbf{j}}−4t,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t^2+1}} igg) [4pt]
&=dfrac{3(−3t)−5t(−5)−4(4t)}{25(t^2+1)} [4pt]
&=dfrac{−9t+25t−16t}{25(t^2+1)} [4pt]
&=0. end{align*} ]

Enfin, puisque (vecs r(t)) représente une courbe tridimensionnelle, nous pouvons calculer le vecteur binormal en utilisant ( ef{EqBinormal}) :

[egin{align*} vecs B(t) &= ; vecs T(t)×vecs N(t) [4pt]
&= egin{vmatrix} hat{mathbf{i}} & hat{mathbf{j}} & hat{mathbf{k}} dfrac{3}{5 sqrt{t^ 2+1}} & − dfrac {5t}{5sqrt{t^2+1}} & −dfrac {4}{5 sqrt{t^2+1}} −dfrac {3t }{5sqrt {t^2+1}} & − dfrac {5}{5 sqrt {t^2+1}} & dfrac {4t}{5sqrt{t^2+1}} end{vmatrix} [4pt]
&= igg( igg( − dfrac{5t}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( dfrac{4t}{5sqrt{t^2+1}} bigg) − igg( − dfrac{4}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{5}{5sqrt{t^2+1}} igg ) igg),hat{mathbf{i}}
& - igg( igg( dfrac{3}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( dfrac{4t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) − igg( − dfrac{4}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{3t}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg),hat{mathbf{j}}
& + igg( igg( dfrac{3}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( - dfrac{5}{5sqrt{t^2+1}} bigg) − igg( − dfrac{5t}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{3t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) igg),hat{mathbf{k}} [4pt]
&= igg( dfrac{−20t^2−20}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{i}} + igg( dfrac{−15−15t ^2}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{k}} [4pt]
&= -20 igg( dfrac{t^2+1}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{i}} -15 igg( dfrac{t^ 2+1}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{k}} [4pt]
&= −dfrac{4}{5},hat{mathbf{i}}−dfrac{3}{5},hat{mathbf{k}}. end{align*} ]

Exercice (PageIndex{4})

Trouver le vecteur normal unitaire pour la fonction à valeur vectorielle (vecs r(t)=(t^2−3t),hat{mathbf{i}}+(4t+1),hat{ mathbf{j}}) et l'évaluer à (t=2).

Indice

Tout d'abord, recherchez (vecs T(t)), puis utilisez ( ef{EqNormal}).

Répondre

(vecs N(2)=dfrac{sqrt{2}}{2}(,hat{mathbf{i}}−,hat{mathbf{j}}))

Pour toute courbe lisse en trois dimensions définie par une fonction à valeur vectorielle, nous avons maintenant des formules pour le vecteur tangent unitaire (vecs T), le vecteur normal unitaire (vecs N) et le vecteur binormal (vecs B). Le vecteur normal unitaire et le vecteur binormal forment un plan perpendiculaire à la courbe en tout point de la courbe, appelé plan normal. De plus, ces trois vecteurs forment un référentiel dans l'espace tridimensionnel appelé le Référentiel Frenet (appelé aussi le TNB cadre) (Figure (PageIndex{2})). Enfin, le plan déterminé par les vecteurs (vecs T) et (vecs N) forme le plan osculateur de (C) en tout point (P) de la courbe.

Supposons que nous formions un cercle dans le plan osculateur de (C) au point (P) sur la courbe. Supposons que le cercle a la même courbure que la courbe au point (P) et que le cercle ait le rayon (r). Ensuite, la courbure du cercle est donnée par (frac{1}{r}). On appelle (r) le rayon de courbure de la courbe, et il est égal à l'inverse de la courbure. Si ce cercle se trouve sur le côté concave de la courbe et est tangent à la courbe au point (P), alors ce cercle est appelé le cercle osculateur de (C) à (P), comme le montre la figure (PageIndex{3}).

Pour plus d'informations sur les cercles osculateurs, voir cette démonstration sur la courbure et la torsion, cet article sur les cercles osculateurs, et cette discussion sur les formules de Serret.

Pour trouver l'équation d'un cercle osculateur en deux dimensions, il suffit de trouver le centre et le rayon du cercle.

Exemple (PageIndex{5}): Trouver l'équation d'un cercle oscillant

Trouver l'équation du cercle osculateur de la courbe définie par la fonction (y=x^3−3x+1) en (x=1).

Solution

La figure (PageIndex{4}) montre le graphique de (y=x^3−3x+1).

Tout d'abord, calculons la courbure à (x=1):

[κ =dfrac{|f″(x)|}{igg( 1+[f′(x)]^2 igg) ^{3/2}} = dfrac{|6x|}{(1+[3x^2−3]^2)^{3/2}}.]

This gives (κ=6). Therefore, the radius of the osculating circle is given by (R=frac{1}{κ}=dfrac{1}{6}). Next, we then calculate the coordinates of the center of the circle. When (x=1), the slope of the tangent line is zero. Therefore, the center of the osculating circle is directly above the point on the graph with coordinates ((1,−1)). The center is located at ((1,−frac{5}{6})). The formula for a circle with radius (r) and center ((h,k)) is given by ((x−h)^2+(y−k)^2=r^2). Therefore, the equation of the osculating circle is ((x−1)^2+(y+frac{5}{6})^2=frac{1}{36}). The graph and its osculating circle appears in the following graph.

Exercise (PageIndex{5})

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the vector-valued function (y=2x^2−4x+5) at (x=1).

Hint

Use ( ef{EqK4}) to find the curvature of the graph, then draw a graph of the function around (x=1) to help visualize the circle in relation to the graph.

Répondre

(κ =frac{4}{[1+(4x−4)^2]^{3/2}})

At the point (x=1), the curvature is equal to (4). Therefore, the radius of the osculating circle is (frac{1}{4}).

A graph of this function appears next:

The vertex of this parabola is located at the point ((1,3)). Furthermore, the center of the osculating circle is directly above the vertex. Therefore, the coordinates of the center are ((1,frac{13}{4})). The equation of the osculating circle is

((x−1)^2+(y−frac{13}{4})^2=frac{1}{16}).

Concepts clés

  • The arc-length function for a vector-valued function is calculated using the integral formula (displaystyle s(t)=int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt ). This formula is valid in both two and three dimensions.
  • The curvature of a curve at a point in either two or three dimensions is defined to be the curvature of the inscribed circle at that point. The arc-length parameterization is used in the definition of curvature.
  • There are several different formulas for curvature. The curvature of a circle is equal to the reciprocal of its radius.
  • The principal unit normal vector at (t) is defined to be

    [vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. onumber]

  • The binormal vector at (t) is defined as (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t)), where (vecs T(t)) is the unit tangent vector.
  • The Frenet frame of reference is formed by the unit tangent vector, the principal unit normal vector, and the binormal vector.
  • The osculating circle is tangent to a curve at a point and has the same curvature as the tangent curve at that point.

Key Equations

  • Arc length of space curve
    (s= {displaystyle int _a^b} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^2} ,dt= {displaystyle int _a^b} ‖vecs r′(t)‖,dt)
  • Arc-length function
    (s(t)={displaystyle int _a^t} sqrt{f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2} ,du ; or ; s(t)={displaystyle int _a^t}‖vecs r′(u)‖,du)
  • (κ=frac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} ; or ; κ=frac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3} ; or ; κ=frac{|y″|}{[1+(y′)^2]^{3/2}})
  • Principal unit normal vector
    (vecs N(t)=frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
  • Binormal vector
    (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t))

Glossaire

arc-length function
a function (s(t)) that describes the arc length of curve (C) as a function of (t)
arc-length parameterization
a reparameterization of a vector-valued function in which the parameter is equal to the arc length
binormal vector
a unit vector orthogonal to the unit tangent vector and the unit normal vector
curvature
the derivative of the unit tangent vector with respect to the arc-length parameter
Frenet frame of reference
(TNB frame) a frame of reference in three-dimensional space formed by the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector
normal plane
a plane that is perpendicular to a curve at any point on the curve
osculating circle
a circle that is tangent to a curve (C) at a point (P) and that shares the same curvature
osculating plane
the plane determined by the unit tangent and the unit normal vector
principal unit normal vector
a vector orthogonal to the unit tangent vector, given by the formula (frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
radius of curvature
the reciprocal of the curvature
smooth
curves where the vector-valued function (vecs r(t)) is differentiable with a non-zero derivative

Contributors and Attributions

  • Gilbert Strang (MIT) and Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) with many contributing authors. This content by OpenStax is licensed with a CC-BY-SA-NC 4.0 license. Download for free at http://cnx.org.


Voir la vidéo: Longueur dun arc de courbe: théorie et exemples (Décembre 2021).