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9.1 : Chaos dans les modèles à temps discret - Mathématiques


La figure 8.4.3 a montré une cascade de bifurcations de doublement de période, les intervalles entre les seuils de bifurcation consécutifs devenant de plus en plus courts géométriquement à mesure que r augmentait. Cette cascade de doublement de période conduit finalement à la divergence de la période à l'infini à (r 1,7) dans ce cas, ce qui indique le début du chaos. Dans ce mystérieux régime de paramètres, le système perd toute périodicité de longueur finie et son comportement semble essentiellement aléatoire. La figure 9.1.1 montre un exemple d'un tel comportement chaotique de l'équation(8.4.3) avec (r = 1.8).

Alors qu'est-ce que le chaos de toute façon? Il peut être décrit de différentes manières, comme suit :

Propriétés du chaos

  • Le chaos est un comportement à long terme d'un système dynamique non linéaire qui ne tombe jamais dans aucune trajectoire statique ou périodique.
  • Le chaos ressemble à une fluctuation aléatoire, mais se produit toujours dans des systèmes dynamiques simples et complètement déterministes.
  • Le chaos montre une sensibilité aux conditions initiales.
  • Le chaos se produit lorsque la période de la trajectoire de l'état du système diverge jusqu'à l'infini.
  • Le chaos se produit lorsqu'aucune trajectoire périodique n'est stable.
  • Le chaos est un phénomène répandu qui peut être trouvé partout dans la nature, ainsi que dans les environnements sociaux et artificiels.

La sensibilité des systèmes chaotiques aux conditions initiales est particulièrement bien connue sous le nom de "effet papillon", qui est une illustration métaphorique de la nature chaotique du système météorologique dans lequel "un battement d'ailes de papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas". Le sens de cette expression est que, dans un système chaotique, une petite perturbation pourrait éventuellement provoquer une différence à très grande échelle à long terme. La figure 9.1.2 montre deux simulations de l'équation. (8.4.3) avec (r = 1,8) et deux conditions initiales légèrement différentes, (x_0 = 0,1) et (x_0 = 0,100001). Les deux simulations sont assez similaires pour les premières étapes, car le système est totalement déterministe (c'est pourquoi les prévisions météorologiques pour quelques jours seulement fonctionnent assez bien). Mais le « battement des ailes du papillon » (la différence de 0,000001) finit par devenir si grand qu'il sépare les destins à long terme des deux simulations. Une telle sensibilité extrême des systèmes chaotiques rend pratiquement impossible pour nous de prédire exactement leurs comportements à long terme (c'est pourquoi il n'y a pas de prévisions météorologiques à deux mois1).

Exercice (PageIndex{2})

Il existe de nombreux modèles mathématiques simples qui présentent un comportement chaotique. Essayez de simuler chacun des systèmes dynamiques suivants (illustrés à la figure 9.1.3). Si nécessaire, explorez et trouvez les valeurs des paramètres avec lesquelles le système affiche des comportements chaotiques.

  • Carte logistique : (x_t = rx_{t−1}(1−x_{t−1}))
  • Carte cubique : (x_t = x^{3}_{ t−1} −rx_{t−1})
  • Carte sinusoïdale : (x_t = rsinx_{t−1})
  • Carte de scie : (x_t =) partie fractionnaire de (2x_{t−1})

Remarque : La carte de la scie peut ne pas afficher le chaos si elle est simulée sur un ordinateur, mais elle affichera le chaos si elle est simulée manuellement sur un tracé de toile d'araignée. Cette question sera discutée plus tard.

Figure (PageIndex{3}): Cartes simples qui montrent un comportement chaotique (pour l'exercice 9.1.1).

1Mais cela ne signifie pas nécessairement que nous ne pouvons pas prédire le changement climatique sur des échelles de temps plus longues. Ce qui n'est pas possible avec un système chaotique, c'est la prédiction du comportement exact à long terme, par exemple, quand, où et combien il va pleuvoir au cours des 12 prochains mois. Il est cependant possible de modéliser et de prédire les changements à long terme des propriétés statistiques d'un système, par exemple la température moyenne du climat mondial, car elle peut être bien décrite dans un modèle beaucoup plus simple et non chaotique. Nous ne devrions pas utiliser le chaos comme excuse pour éviter de faire des prédictions pour notre avenir !


Dynamique et contrôle du chaos dans un modèle de Holling-Tanner dépendant du rapport en temps discret

Un modèle de Holling-Tanner à temps discret avec une réponse fonctionnelle dépendante du rapport est examiné. Nous montrons que le système subit une bifurcation flip et une bifurcation Neimark-Sacker ou les deux ensemble au point fixe positif à l'intérieur de (mathbb ^<2>_<+>) lorsqu'un des paramètres du modèle dépasse sa valeur seuil. Nous concentrons notre attention sur la détermination des conditions d'existence et de la direction des bifurcations via la théorie des variétés centrales. Pour valider les résultats analytiques, des simulations numériques sont utilisées qui incluent des bifurcations, des portraits de phase, des orbites stables, des cercles fermés invariants et des ensembles chaotiques attractifs. De plus, l'existence du chaos dans le système est justifiée numériquement par le signe des exposants maximaux de Lyapunov et la dimension fractale. Enfin, nous contrôlons les trajectoires chaotiques existant dans le système par la stratégie de contrôle de rétroaction.


Journal SIAM sur le contrôle et l'optimisation

Traditionnellement, le consensus d'un système multi-agents en temps discret (SMA) avec une topologie de commutation est transformé en problème de convergence des produits infinis de matrices stochastiques, qui peut être résolu en utilisant le théorème de Wolfowitz. Cependant, une telle transformation est très difficile voire impossible pour certains SMA, comme les SMA à temps discret du second ordre (DTSO SMA), dont le consensus ne peut être transformé que dans le problème de convergence des produits infinis de matrices stochastiques générales (IPGSM) . Ces matrices stochastiques générales sont des matrices à somme de lignes 1 mais leurs éléments ne sont pas nécessairement non négatifs. Puisqu'il n'existe pas de théorie générale ou de technique efficace pour traiter la convergence de l'IPGSM, l'établissement des critères de consensus pour un DTSO MAS avec une topologie de commutation est plutôt difficile. Cet article se concentre sur le problème de consensus d'une classe de SMA DTSO et développe une méthode pour faire face à l'IPGSM correspondant. De plus, il est souligné que la méthode pour ces SMA DTSO peut également être facilement étendue pour traiter une grande classe de SMA à temps discret, y compris les SMA d'ordre élevé avec une topologie de commutation et les SMA à temps discret sans mesures de vitesse.


9.1.2 Passage du temps continu au temps discret

Notez qu'en raison du caractère réfractaire, il est impossible pour les modèles d'intégration et de déclenchement (et pour les vrais neurones) de déclencher plus d'un pic dans un court laps de temps Δ ⁢ t Delta t . La réfractarité est implémentée dans le modèle de l'Eq. (9.1) par une remise à zéro significative du potentiel membranaire via le noyau réfractaire eta.

UNE B
Fig. 9.5 : Le taux d'échappement exponentiel non borné donne une probabilité de tir bornée dans un pas de temps discret. UNE . Probabilité de tir dans un intervalle de temps discret Δ ⁢ t Delta t en fonction du potentiel de membrane uu pour différentes discrétisations Δ ⁢ t = 0,5 Delta t=0,5 ms (ligne pointillée), Δ ⁢ t = 1 Delta t= 1 ms (ligne continue), et Δ ⁢ t = 2 Delta t=2 ms (ligne pointillée) avec β = 5 eta=5 . B. Graphique similaire à celui de A mais pour des niveaux de bruit différents β = 10 eta=10 (ligne pointillée), β = 5 eta=5 (ligne continue), β = 2 eta=2 (ligne pointillée) et 1 = 1 eta=1 (ligne pointillée) avec Δ ⁢ t = 1 Delta t=1 ms. Le taux d'échappement est donné par ( 9.3 ) avec les paramètres ϑ = 1 vartheta=1 et τ 0 = 1 au_<0>=1, ms.

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Abstrait

Dans cette nouvelle recherche, à travers l'analyse dynamique, nous introduisons pour la première fois un modèle macroéconomique artificiel basé sur le calcul fractionnaire, réellement implémenté au Laboratoire via une nouvelle configuration matérielle. Premièrement, nous proposons un nouveau modèle de système macroéconomique à temps discret où les dérivées fractionnaires sont incorporées dans le système d'équations. À l'aide d'outils et de méthodes bien connus, notamment des diagrammes de bifurcation et des exposants de Lyapunov, les caractéristiques du système sont décrites et l'importance de la dérivée d'ordre fractionnaire dans la modélisation du système est montrée. Après cela, une réalisation matérielle de laboratoire est également réalisée pour le système proposé, ce qui permet de mieux comprendre et de mieux comprendre les propriétés du système. Pour la réalisation matérielle, un Arduino Due™ est choisi dans lequel il possède deux broches de sortie analogique. Les résultats expérimentaux illustrent clairement le comportement chaotique du système. A travers les résultats de la réalisation matérielle, les portraits de phase et le diagramme de bifurcation du système sont démontrés, et les effets des paramètres et des dérivées fractionnaires sont étudiés. Nous pensons que l'étude présentée et ses résultats ouvrent la voie à de futures études sur l'incorporation du calcul fractionnaire dans les modèles macroéconomiques.


9.1 : Chaos dans les modèles à temps discret - Mathématiques

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Le modèle épidémique FDE

Considérons ce qui suit IDE modèle épidémique :

Ce modèle est construit par Iwami et al. [29] pour expliquer les propagations de la grippe aviaire à travers le monde des oiseaux et décrit les interactions entre eux. La population dans ce modèle est divisée en oiseaux sensibles de taille S et les oiseaux infectés de taille je. Le taux de natalité des nouveaux oiseaux est exprimé par le paramètre Λ. Les oiseaux sensibles meurent au rythme μ et les oiseaux infectés meurent au rythme (mu+r) , où r est le taux de mortalité supplémentaire médié par la grippe aviaire. Le paramètre β est le taux d'incidence bilinéaire.

Il existe plusieurs définitions des dérivées fractionnaires [30, 31]. L'une des définitions les plus courantes est la définition de Caputo [32]. Cette définition est souvent utilisée dans des applications réelles et illustrée dans la définition 1.

Définition 1

L'intégrale fractionnaire d'ordre (etain mathbb ^<+>) de la fonction (f(t)) , (t>0) , est défini par

et la dérivée fractionnaire d'ordre (alphain ( n-1,n ) ) de (f ( t ) ) , (t>0) , est définie par

où (f^<(n)>) représente le mdérivée d'ordre (f(t)) , (n=[alpha]) est la valeur de α arrondi à l'entier supérieur le plus proche, (I^<eta>) est le βopérateur entier de Riemann-Liouville de ième ordre et (Gamma(cdot)) est la fonction Gamma d'Euler. L'opérateur (D^) est appelé le 'αOpérateur différentiel Caputo de e ordre ».

Maintenant, la forme d'ordre fractionnaire du modèle épidémique SI (2.1) peut être formulée comme suit :

où d_^) représente la dérivée fractionnaire de Caputo, (t>0) , et α est l'ordre fractionnaire satisfaisant (alphain ( 0,1 ] ) .


Analyse de bifurcation et contrôle du chaos dans un modèle d'interaction en temps discret de la qualité des plantes et des bourgeons du mélèze avec équation de Ricker

Irfan Ali, École des sciences naturelles (SNS), Université nationale des sciences et de la technologie (NUST), Islamabad, Pakistan.

NUST Institute of Civil Engineering (NICE), National University of Sciences and Technology (NUST), Islamabad, Pakistan

Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot, Pakistan

École des sciences naturelles (SNS), Université nationale des sciences et de la technologie (NUST), Islamabad, Pakistan

Irfan Ali, École des sciences naturelles (SNS), Université nationale des sciences et de la technologie (NUST), Islamabad, Pakistan.

NUST Institute of Civil Engineering (NICE), National University of Sciences and Technology (NUST), Islamabad, Pakistan

Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot, Pakistan

Abstrait

Nous étudions la dynamique d'un modèle bidimensionnel à temps discret de la qualité des feuilles et de l'interaction de la tordeuse du mélèze avec l'équation de Ricker. Plus précisément, le comportement qualitatif du modèle de la tordeuse des bourgeons du mélèze est discuté dans lequel l'effet de la source de nourriture sur la population de papillons nocturnes passe par le taux de croissance intrinsèque. On trouve les conditions paramétriques de stabilité asymptotique locale de l'unique point fixe positif. Il est également prouvé que sous certaines conditions paramétriques, le système subit une bifurcation par doublement de période à l'aide de la théorie des variétés centrales. Les conditions paramétriques d'existence et de direction de la bifurcation de Neimark-Sacker au point fixe positif sont étudiées à l'aide de techniques mathématiques standard de la théorie de la bifurcation. Le contrôle du chaos dans le système est discuté par la mise en œuvre d'une méthodologie de contrôle hybride. Enfin, des simulations numériques sont fournies pour illustrer les résultats théoriques. Ces résultats de simulations numériques démontrent un comportement chaotique à long terme sur une large gamme de paramètres. Le calcul des exposants maximaux de Lyapunov confirme la présence d'un comportement chaotique dans le système.


Contrôler le chaos et la bifurcation Neimark-Sacker dans un modèle hôte-parasitoïde

Écrire à : Qamar Din, Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot 12350, Pakistan.

Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot, 12350 Pakistan

Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot, 12350 Pakistan

Écrire à : Qamar Din, Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot 12350, Pakistan.

Département de mathématiques, Université de Poonch Rawalakot, Rawalakot, 12350 Pakistan

Abstrait

Dans cet article, un nouveau modèle hôte–parasitoïde dépendant de la densité est proposé. La modification est basée sur un facteur dépendant de la densité en introduisant la fonction de croissance de Hassell dans la population hôte. De plus, la permanence des solutions, l'existence et l'unicité de l'équilibre positif, la stabilité asymptotique locale et le comportement global du point d'équilibre positif sont également étudiés. Il est démontré que le système supporte la bifurcation Neimark-Sacker pour une large gamme de paramètres de bifurcation. Afin de contrôler le chaos dû à l'émergence de la bifurcation Neimark-Sacker, deux stratégies de contrôle par rétroaction, à savoir les méthodes de contrôle OGY et hybride, sont mises en œuvre. Enfin, toutes les analyses mathématiques, en particulier la bifurcation Neimark-Sacker, les stratégies de contrôle du chaos et la stabilité asymptotique globale du point positif unique sont vérifiées à l'aide de simulations numériques.


3 Analyse de la bifurcation

Pour une fonction f ( x 1 , x 2 , … , xn ) , on note fxi , fxixj et fxixjxk la dérivée partielle du premier ordre, la dérivée partielle du deuxième ordre et la dérivée partielle du troisième ordre de f ( x 1 , x 2 , … , xn ) par rapport à xi , xj et xk , respectivement.

Sur la base de l'analyse de la section 2, dans cette section, nous choisissons la taille de pas h comme paramètre de bifurcation pour étudier la bifurcation flip et la bifurcation de Hopf de E 2 ( S ∗ , I ∗ ) en utilisant le théorème de la variété centrale et la théorie de la bifurcation dans [26, 27].

Nous discutons tout d'abord de la bifurcation flip du modèle (2) à l'équilibre E 2 ( S ∗ , I ∗ ) lorsque h varie dans le petit voisinage de h et ( A , d 1 , d 2 , r , h ∗ , λ ) M 1 . Pour le cas où h varie dans le petit voisinage de h ∗ ∗ et ( A , d 1 , d 2 , r , h ∗ ∗ , λ ) ∈ M 2 , on peut donner un argument similaire.

Prenant arbitrairement les paramètres ( A , d 1 , d 2 , r , h , λ ) M 1 , puis donnant une perturbation h ∗ de paramètre h, on considère le modèle (2) avec la perturbation h comme suit :

Soit U n = S n − S et V n = I n − I ∗ , puis on transforme l'équilibre E 2 ( S ∗ , I ∗ ) du modèle (4) en l'origine. En calculant on obtient

En développant le modèle (5) en série de Taylor à ( U n , V n ) = ( 0 , 0 ) au second ordre, il devient le modèle suivant :

ensuite T est inversible. Utiliser la traduction

alors le modèle (6) devient de la forme suivante :

Maintenant, nous déterminons la variété centrale W c ( 0 , 0 ) du modèle (7) à l'équilibre ( 0 , 0 ) dans un petit voisinage de h ∗ = 0 . Par le théorème de la variété centrale, nous pouvons obtenir la représentation approximative de la variété centrale W c ( 0 , 0 ) comme suit :

où o ( ( | X n | + | h ∗ | ) 2 ) est une fonction dans ( X n , h ∗ ) au moins du troisième ordre, et

Par conséquent, sur la variété centrale W c ( 0 , 0 ) nous avons

Par conséquent, lorsque le modèle (7) est restreint à la variété centrale W c ( 0 , 0 ), nous obtenons l'application G ∗ comme suit :

Afin de subir une bifurcation flip pour la carte (8), nous exigeons que les deux quantités discriminantes 1 et α 2 ne soient pas nulles, où

Par conséquent, par l'analyse ci-dessus et le théorème de [26], nous obtenons le résultat suivant.

Théorème 3.1 Si 2 0 , puis modèle (4) subit une bifurcation flip à l'équilibre E 2 ( S , I ∗ ) lorsque le paramètre h varie dans un petit quartier de l'origine. en outre, si 2 > 0 (resp., 2 < 0 ), puis la période-2 points qui bifurquent de E 2 ( S , I ∗ ) sont stables (resp., instable).

Enfin, nous discutons de la bifurcation de Hopf de E 2 ( S ∗ , I ∗ ) si h varie dans le petit quartier de N. On prend les paramètres ( A , d 1 , d 2 , r , h , λ ) N arbitrairement. On considère une petite perturbation de (2) en choisissant le paramètre de bifurcation h comme suit :

où | h | 1 qui est une petite perturbation.

Soit U n = S n − S ∗ et V n = I n − I ∗ , puis on transforme l'équilibre E 2 ( S ∗ , I ∗ ) en origine, on a

L'équation caractéristique associée à la linéarisation du modèle (10) en ( 0 , 0 ) est la suivante :

De manière correspondante, lorsque h ∗ varie dans un petit voisinage de h ∗ = 0, les racines de l'équation caractéristique sont

De plus, il faut que lorsque h ∗ = 0 , w 1 , 2 m ≠ 1 , m = 1 , 2 , 3 , 4 , ce qui équivaut à P ( 0 ) ≠ − 2 , 0 , 1 , 2 . Remarque ( A , d 1 , d 2 , r , h , λ ) N et Δ < 0 , alors

Il suffit d'exiger que P ( 0 ) ≠ 0 , 1 , c'est à dire.,

Par conséquent, les valeurs propres w 1 , 2 ne se situent pas à l'intersection du cercle unité avec les axes de coordonnées lorsque h ∗ = 0 et (11).

Dans ce qui suit, nous étudions la forme normale du modèle (10) lorsque h ∗ = 0 . En développant le modèle (10) en série de Taylor à U n = 0 , V n = 0 au troisième ordre, il devient alors le modèle suivant :

où a i j ( i = 1 , 2 j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ont la même forme que dans le modèle (6), mais dans le modèle (12) h = h ∗ ∗ et


Voir la vidéo: Établir la loi de probabilité dune variable aléatoire discrète (Décembre 2021).