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9.3 : Additionner et soustraire des expressions rationnelles - Mathématiques


Résumé

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Additionner et soustraire des expressions rationnelles avec un dénominateur commun
  • Additionner et soustraire des expressions rationnelles dont les dénominateurs sont opposés
  • Trouver le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles
  • Additionner et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents
  • Additionner et soustraire des fonctions rationnelles

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Ajoutez : (dfrac{7}{10}+dfrac{8}{15}).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  2. Soustraire : (dfrac{3x}{4}−dfrac{8}{9}).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  3. Soustraire : (6(2x+1)−4(x−5)).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec un dénominateur commun

Quelle est la première étape que vous faites lorsque vous ajoutez des fractions numériques ? Vous vérifiez s'ils ont un dénominateur commun. Si tel est le cas, vous ajoutez les numérateurs et placez la somme sur le dénominateur commun. S'ils n'ont pas de dénominateur commun, vous en trouvez un avant d'ajouter.

Il en est de même des expressions rationnelles. Pour ajouter des expressions rationnelles, elles doivent avoir un dénominateur commun. Lorsque les dénominateurs sont les mêmes, vous ajoutez les numérateurs et placez la somme sur le dénominateur commun.

AJOUT ET SOUSTRACTION D'EXPRESSION RATIONNELLE

Si (p), (q) et (r) sont des polynômes où (r eq 0), alors

[dfrac{p}{r}+dfrac{q}{r}=dfrac{p+q}{r} quad ext{et} quad dfrac{p}{r}−dfrac {q}{r}=dfrac{p−q}{r} onumber]

Pour ajouter ou soustraire des expressions rationnelles avec un dénominateur commun, ajoutez ou soustrayez les numérateurs et placez le résultat sur le dénominateur commun.

Nous simplifions toujours les expressions rationnelles. Assurez-vous de factoriser, si possible, après avoir soustrait les numérateurs afin de pouvoir identifier les facteurs communs.

N'oubliez pas non plus que nous n'autorisons pas les valeurs qui rendraient le dénominateur nul. Quelle valeur de (x) doit être exclue dans l'exemple suivant ?

Exemple (PageIndex{1})

Ajoutez : (dfrac{11x+28}{x+4}+dfrac{x^2}{x+4}).

Répondre

Puisque le dénominateur est (x+4), nous devons exclure la valeur (x=−4).

(egin{array} {ll} &dfrac{11x+28}{x+4}+dfrac{x^2}{x+4},space x eq -4 egin{array } {l} ext{Les fractions ont un dénominateur commun,} ext{donc ajoutez les numérateurs et placez la somme} ext{sur le dénominateur commun.} end{array} &dfrac{11x +28+x^2}{x+4} & ext{Écrire les degrés dans l'ordre décroissant.} &dfrac{x^2+11x+28}{x+4} & ext{Faciliter le numérateur.} &dfrac{(x+4)(x+7)}{x+4} & ext{Simplifier en supprimant les facteurs communs.} &dfrac{cancel{ (x+4)}(x+7)}{annuler{x+4}} & ext{Simplifier.} &x+7 end{array})

L'expression se simplifie en (x+7) mais l'expression originale avait un dénominateur de (x+4) donc (x eq −4).

Exemple (PageIndex{2})

Simplifiez : (dfrac{9x+14}{x+7}+dfrac{x^2}{x+7}).

Répondre

(x+2)

Exemple (PageIndex{3})

Simplifier : (dfrac{x^2+8x}{x+5}+dfrac{15}{x+5}).

Répondre

(x+3)

Pour soustraire des expressions rationnelles, elles doivent également avoir un dénominateur commun. Lorsque les dénominateurs sont les mêmes, vous soustrayez les numérateurs et placez la différence sur le dénominateur commun. Faites attention aux signes lorsque vous soustrayez un binôme ou un trinôme.

Exemple (PageIndex{4})

Soustraire : (dfrac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−dfrac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18}).

Répondre

(egin{array} {ll} &dfrac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−dfrac{4x^2+x−9}{x^2−3x+ 18} & egin{array} {l} ext{Soustrayez les numérateurs et placez la} ext{différence sur le dénominateur commun.} end{array} &dfrac{5x^2− 7x+3−(4x^2+x−9)}{x^2−3x+18} & ext{Distribuer le signe au numérateur.} &dfrac{5x^2−7x+3 −4x^2−x+9}{x^2−3x−18} & ext{Combiner des termes similaires.} &dfrac{x^2−8x+12}{x^2−3x− 18} & ext{Facteur le numérateur et le dénominateur.} &dfrac{(x−2)(x−6)}{(x+3)(x−6)} & ext{Simplifier en supprimant les facteurs communs.} &dfrac{(x−2)cancel{(x−6)}}{(x+3)cancel{(x−6)}} & &(x−2)(x+3) end{tableau})

Exemple (PageIndex{5})

Soustraire : (dfrac{4x^2−11x+8}{x^2−3x+2}−dfrac{3x^2+x−3}{x^2−3x+2}).

Répondre

(dfrac{x−11}{x−2})

Exemple (PageIndex{6})

Soustraire : (dfrac{6x^2−x+20}{x^2−81}−dfrac{5x^2+11x−7}{x^2−81}).

Répondre

(dfrac{x−3}{x+9})

Additionner et soustraire des expressions rationnelles dont les dénominateurs sont opposés

Lorsque les dénominateurs de deux expressions rationnelles sont opposés, il est facile d'obtenir un dénominateur commun. Il suffit de multiplier une des fractions par (dfrac{−1}{−1}).

Voyons comment cela fonctionne.

Multipliez la seconde fraction par (dfrac{−1}{−1}).
Les dénominateurs sont les mêmes.
Simplifier.

Soyez prudent avec les signes lorsque vous travaillez avec les contraires lorsque les fractions sont soustraites.

Exemple (PageIndex{8})

Soustraire : (dfrac{y^2−5y}{y^2−4}−dfrac{6y−6}{4−y^2}).

Répondre

(dfrac{y+3}{y+2})

Exemple (PageIndex{9})

Soustraire : (dfrac{2n^2+8n−1}{n^2−1}−dfrac{n^2−7n−1}{1−n^2}).

Répondre

(dfrac{3n−2}{n−1})

Trouver le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles

Lorsque nous ajoutons ou soustrayons des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents, nous aurons besoin d'obtenir des dénominateurs communs. Si nous revoyons la procédure que nous avons utilisée avec les fractions numériques, nous saurons quoi faire avec les expressions rationnelles.

Regardons cet exemple : (dfrac{7}{12}+dfrac{5}{18}). Comme les dénominateurs ne sont pas les mêmes, la première étape consistait à trouver le plus petit dénominateur commun (LCD).

Pour trouver l'écran LCD des fractions, nous avons factorisé 12 et 18 en nombres premiers, en alignant tous les nombres premiers communs dans des colonnes. Ensuite, nous avons « réduit » un nombre premier de chaque colonne. Enfin, nous avons multiplié les facteurs pour trouver le LCD.

Lorsque nous ajoutons des fractions numériques, une fois que nous avons trouvé l'écran LCD, nous réécrivons chaque fraction comme une fraction équivalente avec l'écran LCD en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Nous sommes maintenant prêts à ajouter.

Nous faisons la même chose pour les expressions rationnelles. Cependant, nous laissons l'écran LCD sous forme factorisée.

TROUVEZ LE MOINS DÉNOMINATEUR COMMUN DES EXPRESSIONS RATIONNELLES.

  1. Factorisez complètement chaque dénominateur.
  2. Énumérez les facteurs de chaque dénominateur. Faites correspondre les facteurs verticalement lorsque cela est possible.
  3. Réduisez les colonnes en incluant tous les facteurs, mais n'incluez pas deux fois les facteurs communs.
  4. Écrivez l'écran LCD comme le produit des facteurs.

N'oubliez pas que nous excluons toujours les valeurs qui rendraient le dénominateur nul. Quelles valeurs de xx devrions-nous exclure dans cet exemple suivant ?

Exemple (PageIndex{10})

une. Trouvez l'écran LCD pour les expressions (dfrac{8}{x^2−2x−3}), (dfrac{3x}{x^2+4x+3}) et b. réécrivez-les comme des expressions rationnelles équivalentes avec le plus petit dénominateur commun.

Répondre

une.

Trouvez l'écran LCD pour (dfrac{8}{x^2−2x−3}), (dfrac{3x}{x^2+4x+3}).
Factorisez complètement chaque dénominateur, en alignant les facteurs communs.

Faites tomber les colonnes.

Écrivez l'écran LCD comme le produit des facteurs.

b.

Factorisez chaque dénominateur.
Multipliez chaque dénominateur par le « manquant »
facteur LCD et multipliez chaque numérateur par le même facteur.
Simplifiez les numérateurs.

Exemple (PageIndex{11})

une. Trouvez l'écran LCD pour les expressions (dfrac{2}{x^2−x−12}), (dfrac{1}{x^2−16}) b. réécrivez-les comme des expressions rationnelles équivalentes avec le plus petit dénominateur commun.

Répondre

une. ((x−4)(x+3)(x+4))
b. (dfrac{2x+8}{(x−4)(x+3)(x+4)}),
(dfrac{x+3}{(x−4)(x+3)(x+4)})

Exemple (PageIndex{12})

une. Trouvez l'écran LCD pour les expressions (dfrac{3x}{x^2−3x+10}), (dfrac{5}{x^2+3x+2}) b. ((x+2)(x−5)(x+1))
b. (dfrac{3x^2+3x}{(x+2)(x−5)(x+1)}),
(dfrac{5x−25}{(x+2)(x−5)(x+1)})

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents

Nous avons maintenant toutes les étapes nécessaires pour ajouter ou soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents.

Exemple (PageIndex{13}): Comment ajouter des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents

Ajoutez : (dfrac{3}{x−3}+dfrac{2}{x−2}).

Répondre

Exemple (PageIndex{14})

Ajoutez : (dfrac{2}{x−2}+dfrac{5}{x+3}).

Répondre

(dfrac{7x−4}{(x−2)(x+3)})

Exemple (PageIndex{15})

Ajouter : (dfrac{4}{m+3}+dfrac{3}{m+4}).

Répondre

(dfrac{7m+25}{(m+3)(m+4)})

Les étapes utilisées pour ajouter des expressions rationnelles sont résumées ici.

AJOUTER OU SUPPRIMER DES EXPRESSIONS RATIONNELLES.

  1. Déterminez si les expressions ont un dénominateur commun.
    • Oui - passez à l'étape 2.
    • Non – Réécrivez chaque expression rationnelle avec l'écran LCD.
      • Trouvez l'écran LCD.
      • Réécrivez chaque expression rationnelle comme une expression rationnelle équivalente avec l'écran LCD.
  2. Ajoutez ou soustrayez les expressions rationnelles.
  3. Simplifiez, si possible.

Évitez la tentation de simplifier trop tôt. Dans l'exemple ci-dessus, nous devons laisser la première expression rationnelle comme (dfrac{3x−6}{(x−3)(x−2)}) pour pouvoir l'ajouter à (dfrac{2x− 6}{(x−2)(x−3)}). Simplifier seul après avoir combiné les numérateurs.

Exemple (PageIndex{17})

Ajouter : (dfrac{1}{m^2−m−2}+dfrac{5m}{m^2+3m+2}).

Répondre

(dfrac{5m^2−9m+2}{(m+1)(m−2)(m+2)})

Exemple (PageIndex{18})

Ajoutez : (dfrac{2n}{n^2−3n−10}+dfrac{6}{n^2+5n+6}).

Répondre

(dfrac{2n^2+12n−30}{(n+2)(n−5)(n+3)})

Le processus que nous utilisons pour soustraire des expressions rationnelles avec différents dénominateurs est le même que pour l'addition. Nous devons juste faire très attention aux signes lors de la soustraction des numérateurs.

Exemple (PageIndex{20})

Soustraire : (dfrac{2x}{x^2−4}−dfrac{1}{x+2}).

Répondre

(dfrac{1}{x−2})

Exemple (PageIndex{21})

Soustraire : (dfrac{3}{z+3}−dfrac{6z}{z^2−9}).

Répondre

(dfrac{−3}{z−3})

Il y a beaucoup de signes négatifs dans l'exemple suivant. Soyez très prudent.

Exemple (PageIndex{23})

Soustraire : (dfrac{3x−1}{x^2−5x−6}−dfrac{2}{6−x}).

Répondre

(dfrac{5x+1}{(x−6)(x+1)})

Exemple (PageIndex{24})

Soustraire : (dfrac{−2y−2}{y^2+2y−8}−dfrac{y−1}{2−y}).

Répondre

(dfrac{y+3}{y+4})

Les choses peuvent devenir très compliquées lorsque les deux fractions doivent être multipliées par un binôme pour obtenir le dénominateur commun.

Exemple (PageIndex{26})

Soustraire : (dfrac{3}{b^2−4b−5}−dfrac{2}{b^2−6b+5}).

Répondre

(dfrac{1}{(b+1)(b−1)})

Exemple (PageIndex{27})

Soustraire : (dfrac{4}{x^2−4}−dfrac{3}{x^2−x−2}).

Répondre

(dfrac{1}{(x+2)(x+1)})

Nous suivons les mêmes étapes que précédemment pour trouver l'écran LCD lorsque nous avons plus de deux expressions rationnelles. Dans l'exemple suivant, nous commencerons par factoriser les trois dénominateurs pour trouver leur LCD.

Exemple (PageIndex{29})

Simplifier : (dfrac{v}{v+1}+dfrac{3}{v−1}−dfrac{6}{v^2−1}).

Répondre

(dfrac{v+3}{v+1})

Exemple (PageIndex{30})

Simplifiez : (dfrac{3w}{w+2}+dfrac{2}{w+7}−dfrac{17w+4}{w^2+9w+14}).

Répondre

(dfrac{3w}{w+7})

Additionner et soustraire des fonctions rationnelles

Pour ajouter ou soustraire des fonctions rationnelles, nous utilisons les mêmes techniques que nous avons utilisées pour ajouter ou soustraire des fonctions polynomiales.

Exemple (PageIndex{32})

Trouver (R(x)=f(x)−g(x)) où (f(x)=dfrac{x+1}{x+3}) et (g(x)= dfrac{x+17}{x^2−x−12}).

Répondre

(dfrac{x−7}{x−4})

Exemple (PageIndex{33})

Trouver (R(x)=f(x)+g(x)) où (f(x)=dfrac{x−4}{x+3}) et (g(x)= dfrac{4x+6}{x^2−9}).

Répondre

(dfrac{x^2−3x+18}{(x+3)(x−3)})

Accédez à cette ressource en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner à ajouter et soustraire des expressions rationnelles.

  • Ajouter et soustraire des expressions rationnelles - Contrairement aux dénominateurs

Concepts clés

  • Addition et soustraction d'expressions rationnelles
    Si (p), (q) et (r) sont des polynômes où (r eq 0), alors
    [dfrac{p}{r}+dfrac{q}{r}=dfrac{p+q}{r} quad ext{et} quad dfrac{p}{r}−dfrac {q}{r}=dfrac{p−q}{r} onumber]
  • Comment trouver le plus petit dénominateur commun des expressions rationnelles.
    1. Factorisez complètement chaque expression.
    2. Énumérez les facteurs de chaque expression. Faites correspondre les facteurs verticalement lorsque cela est possible.
    3. Faites tomber les colonnes.
    4. Écrivez l'écran LCD comme le produit des facteurs.
  • Comment ajouter ou soustraire des expressions rationnelles.
    1. Déterminez si les expressions ont un dénominateur commun.
      • Oui, passez à l'étape 2.
      • Non – Réécrivez chaque expression rationnelle avec l'écran LCD.
        • Trouvez l'écran LCD.
        • Réécrivez chaque expression rationnelle comme une expression rationnelle équivalente avec l'écran LCD.
    2. Ajoutez ou soustrayez les expressions rationnelles.
    3. Simplifiez, si possible.

9.3 : Additionner et soustraire des expressions rationnelles - Mathématiques

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles

· Ajouter des expressions rationnelles et simplifier.

· Soustraire des expressions rationnelles et simplifier.

· Trouver le plus petit commun multiple de plusieurs expressions algébriques.

· Simplifier les problèmes qui combinent à la fois l'addition et la soustraction.

Au début des mathématiques, les élèves apprennent généralement à additionner et à soustraire des nombres entiers avant d'apprendre la multiplication et la division. Cependant, avec les fractions et expressions rationnelles, la multiplication et la division sont parfois enseignées en premier parce que ces opérations sont plus faciles à effectuer que l'addition et la soustraction. L'addition et la soustraction d'expressions rationnelles ne sont pas aussi faciles à effectuer que la multiplication car, comme pour les fractions numériques, le processus consiste à trouver des dénominateurs communs. En travaillant avec soin et en notant les étapes en cours de route, vous pouvez garder une trace de tous les nombres et variables et effectuer les opérations avec précision.

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs similaires

L'ajout d'expressions rationnelles avec le même dénominateur est le point de départ le plus simple, alors commençons par là.

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs similaires, additionnez les numérateurs et gardez le même dénominateur. Ensuite, simplifiez la somme. Vous savez comment faire cela avec des fractions numériques.

Suivez le même processus pour ajouter des expressions rationnelles avec des dénominateurs similaires. Essayons-en un.

Ajouter. Énoncez la somme sous la forme la plus simple.

Puisque les dénominateurs sont les mêmes, additionnez les numérateurs. Rappelez-vous que x ne peut pas être -4 car les dénominateurs seraient 0.

Réécrivez le facteur commun sous forme de multiplication par 1 et simplifiez.

N'oubliez pas que vous devez également décrire le domaine, l'ensemble de toutes les valeurs possibles pour les variables. le valeurs exclues du domaine sont toutes les valeurs de la ou des variables qui font que tout dénominateur est égal à 0. Dans le problème ci-dessus, le domaine est constitué de tous les nombres réels sauf -4, car une valeur de X = −4 créera un dénominateur de 0. Parfois, lorsque nous simplifions une expression, le lecteur ne regardant que la réponse simplifiée ne se rendrait pas compte qu'il existe des valeurs exclues. Dans l'exemple ci-dessus, en regardant simplement la forme simplifiée de 2X en remplacement du /> d'origine, le lecteur n'aurait aucun moyen de savoir qu'une valeur de -4 ne peut pas être utilisée pour X. Alors, quand on prétend que 2X est l'équivalent de />, nous devons préciser que -4 est une valeur exclue.

Pour soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs similaires, suivez le même processus que vous utilisez pour soustraire des fractions avec des dénominateurs similaires. Le processus ressemble à l'addition d'expressions rationnelles, sauf que vous soustrayez au lieu d'ajouter.

Soustraire. Indiquez la différence sous la forme la plus simple.

Soustraire le deuxième numérateur du premier et garder le même dénominateur. Rappelez-vous que x ne peut pas être -6 car les dénominateurs seraient 0.

Attention à bien répartir le négatif sur les deux termes du second numérateur.

Combinez les mêmes termes. Cette expression rationnelle ne peut pas être simplifiée davantage.

Soustrayez et énoncez la différence sous la forme la plus simple. , x 5

UNE)

UNE)

Incorrect. Vous avez correctement effectué la soustraction, mais cette expression rationnelle peut être simplifiée car le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun de (X - 5). La bonne réponse est x + 5 .

Corriger. Puisqu'il y a un dénominateur commun, soustrayez les numérateurs pour obtenir . Le numérateur peut être factorisé et un facteur commun de (X – 5) est présent au numérateur et au dénominateur. .

Incorrect. Le facteur commun présent au numérateur et au dénominateur est X – 5, non X + 5. Après affacturage, vous obtenez : . La bonne réponse est x + 5 .

Incorrect. Pour trouver la différence, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première, comme ceci : . Ensuite, factorisez le numérateur et simplifiez. La bonne réponse est x + 5.

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents

Avant d'ajouter et de soustraire des expressions rationnelles avec contrairement à dénominateurs, vous devez trouver un dénominateur commun. Encore une fois, ce processus est similaire à celui utilisé pour ajouter et soustraire des fractions numériques avec des dénominateurs différents. Regardons un exemple numérique pour commencer.

Puisque les dénominateurs sont 6, 10 et 4, vous voulez trouver le le plus petit dénominateur commun et exprimer chaque fraction avec ce dénominateur avant d'ajouter. (Au fait, vous pouvez ajouter des fractions en trouvant quelconque dénominateur commun, il ne doit pas être le moindre. Vous vous concentrez sur l'utilisation du moins car alors il y a moins de simplification à faire. Mais de toute façon fonctionne.)

Trouver le plus petit dénominateur commun revient à trouver le multiple moins commun de 4, 6 et 10. Il existe plusieurs façons de procéder. La première consiste à lister les multiples de chaque nombre et à déterminer quels multiples ils ont en commun. Le plus petit de ces nombres sera le plus petit dénominateur commun.

L'autre méthode consiste à utiliser factorisation en nombres premiers, le processus de recherche des facteurs premiers d'un nombre. C'est ainsi que la méthode fonctionne avec les nombres.

Utilisez la factorisation en nombres premiers pour trouver le plus petit commun multiple de 6, 10 et 4.

Tout d'abord, trouvez la factorisation première de chaque dénominateur.

Le LCM contiendra des facteurs de 2, 3 et 5. Multipliez chaque nombre par le nombre maximum de fois où il apparaît dans une seule factorisation.

Dans ce cas, 3 apparaît une fois, 5 apparaît une fois et 2 est utilisé deux fois car il apparaît deux fois dans la factorisation première de 4.

Par conséquent, le LCM de 6, 10 et 4 est 3 • 5 • 2 • 2, ou 60.

Le plus petit commun multiple de 6, 10 et 4 est 60.

Regardez ça, vous avez trouvé le même multiple le moins commun en utilisant les deux méthodes. La factorisation en nombres premiers était cependant plus rapide, car vous n'aviez pas besoin de créer un graphique rempli de multiples pour trouver un multiple commun.

Maintenant que vous avez trouvé le plus petit commun multiple, vous pouvez utiliser ce nombre comme le plus petit dénominateur commun des fractions. Multipliez chaque fraction par la forme fractionnaire de 1 qui produira un dénominateur de 60 :

Maintenant que vous avez comme dénominateurs, additionnez les fractions :

Vous pouvez également trouver les dénominateurs les moins communs pour les expressions rationnelles et les utiliser pour ajouter des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents :

Ajouter. Énoncez la somme sous la forme la plus simple.

15m 2 = 3 • 5 • m • m

Trouvez la factorisation première de chaque dénominateur.

15m 2 = 35m m

21m = 3 • 7m

LCM : 3 • 5 • 7 m • m

Trouvez le plus petit commun multiple. 3 apparaît exactement une fois dans les deux expressions, il apparaîtra donc une fois dans le plus petit commun multiple. 5 et 7 apparaissent au plus une fois. Pour les variables, le plus m apparaît est deux fois.

Utilisez le plus petit commun multiple pour votre nouveau dénominateur commun, ce sera l'écran LCD.

Comparez chaque dénominateur original et le nouveau dénominateur commun. Maintenant, réécrivez les expressions rationnelles pour avoir chacune le dénominateur commun de 105m 2 . Rappelez-vous que m ne peut pas être 0 car les dénominateurs seraient 0.

Le premier dénominateur est 15m 2 et l'écran LCD est 105m 2 . Vous devez multiplier 15m 2 par 7 pour obtenir l'écran LCD, multipliez donc l'expression rationnelle entière par .

Le deuxième dénominateur est 21m et l'écran LCD est de 105m 2 . Vous devez multiplier 21m par 5m pour obtenir l'écran LCD, multipliez donc l'expression rationnelle entière par .

Additionnez les numérateurs et gardez le même dénominateur.

Si possible, simplifiez en trouvant des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Cette expression rationnelle est déjà sous sa forme la plus simple car le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur en commun.

Cela a pris du temps, mais tu t'en es sorti. L'ajout d'expressions rationnelles peut être un long processus, mais étape par étape, cela peut être fait.

Essayons maintenant de soustraire des expressions rationnelles. Vous utiliserez la même technique de base pour trouver le plus petit dénominateur commun et réécrire chaque expression rationnelle pour avoir ce dénominateur.

Soustraire. Indiquez la différence sous la forme la plus simple.

Trouvez la factorisation première de chaque dénominateur. t + 1 ne peut plus être factorisé, mais peut être. Rappelez-vous que t ne peut pas être -1 ou 2 car les dénominateurs seraient 0.

Trouvez le plus petit commun multiple. t + 1 apparaît exactement une fois dans les deux expressions, donc il apparaîtra une fois dans le plus petit dénominateur commun. t – 2 apparaît également une fois.

Cela signifie que (t - 2)(t + 1) est le plus petit commun multiple. Dans ce cas, il est plus facile de laisser le multiple commun en termes de facteurs, vous ne le multiplierez donc pas.

Utilisez le plus petit commun multiple pour votre nouveau dénominateur commun, ce sera l'écran LCD.

Comparez chaque dénominateur original et le nouveau dénominateur commun. Réécrivez maintenant les expressions rationnelles pour qu'elles aient chacune le dénominateur commun de (t + 1)(t – 2).

Il faut multiplier t + 1 par t – 2 pour obtenir l'écran LCD, multipliez donc l'expression rationnelle entière par .

La deuxième expression a déjà un dénominateur de (t + 1)(t – 2), vous n'avez donc pas besoin de le multiplier par quoi que ce soit.

Réécrivez ensuite le problème de soustraction avec le dénominateur commun.

Soustraire les numérateurs et simplifier. N'oubliez pas que les parenthèses doivent être incluses autour de la seconde (t – 2) au numérateur car toute la quantité est soustraite. Sinon, vous soustrayez seulement le t.”

Le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun de t - 2, donc l'expression rationnelle peut être simplifiée.

Jusqu'à présent, toutes les expressions rationnelles que vous avez ajoutées et soustraites ont partagé certains facteurs. Que se passe-t-il lorsqu'ils n'ont pas de points communs ?

Soustraire. Indiquez la différence sous la forme la plus simple.

LCM = (2oui - 1)(oui - 5)

Ni 2 oui – 1 ni oui - 5 peut être factorisé. Parce qu'ils n'ont pas de facteurs communs, le plus petit commun multiple, qui deviendra le plus petit dénominateur commun, est le produit de ces dénominateurs. Rappelez-vous que y ne peut pas être ½ ou 5 car les dénominateurs seraient 0.

Multipliez chaque expression par l'équivalent de 1 qui lui donnera le dénominateur commun.

Réécrivez ensuite le problème de soustraction avec le dénominateur commun. Il est logique de conserver le dénominateur sous forme factorisée afin de vérifier les facteurs communs.

Ajouter. Énoncez la somme sous la forme la plus simple.

UNE)

B)

C)

RÉ)

UNE)

Incorrect. L'approche est correcte, mais la réponse n'a pas été simplifiée. Le numérateur de l'expression rationnelle peut être simplifié en multipliant et en combinant des termes similaires. La bonne réponse est .

B)

Incorrect. Pour ajouter des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents, vous devez d'abord trouver un dénominateur commun. Le dénominateur commun de ces expressions rationnelles est car les dénominateurs n'ont pas de facteurs communs. Écrivez les deux additifs avec un dénominateur commun, , puis simplifier. La bonne réponse est .

C)

Incorrect. Vous ne pouvez simplifier le numérateur et le dénominateur que lorsqu'il y a comme les facteurs, pas comme termes. Vous ne pouvez pas annuler le X 2 termes et 12's. La bonne réponse est .

RÉ)

Corriger. Trouvez d'abord un dénominateur commun, (X + 4)(X – 3), et réécrivez chaque addend en utilisant ce dénominateur : . Multipliez et ajoutez les numérateurs : .

Combinaison de plusieurs expressions rationnelles

Vous devrez peut-être combiner plus de deux expressions rationnelles. Bien que cela puisse sembler assez simple s'ils ont tous le même dénominateur, que se passe-t-il s'ils ne le font pas ?

Dans l'exemple ci-dessous, remarquez comment un dénominateur commun est trouvé pour trois expressions rationnelles. Une fois cela fait, l'addition et la soustraction des termes sont les mêmes que précédemment, lorsque vous n'aviez affaire qu'à deux termes.

Simplifier. Donnez le résultat sous la forme la plus simple.

X 2 – 4 = (X + 2)(X – 2)

LCM = (X + 2)(X – 2)

Trouvez le plus petit commun multiple en factorisant chaque dénominateur. Multipliez chaque facteur par le nombre maximum de fois où il apparaît dans une seule factorisation. Rappelez-vous que X ne peut pas être 2 ou -2 car les dénominateurs seraient 0.

(X + 2) apparaît au maximum une fois, de même que (X – 2). Cela signifie que le LCM est (X + 2)(X – 2).

Le LCM devient le dénominateur commun. Multipliez chaque expression par l'équivalent de 1 qui lui donnera le dénominateur commun.

Réécrivez le problème initial avec le dénominateur commun. Il est logique de conserver le dénominateur sous forme factorisée afin de vérifier les facteurs communs.

Recherchez la forme la plus simple. Puisque ni l'un ni l'autre ni est un facteur de , cette expression est sous sa forme la plus simple.

Simplifier. Donnez le résultat sous la forme la plus simple.

3oui = 3 • oui

LCM = 3 • 3 • Xoui

Trouvez le plus petit commun multiple en factorisant chaque dénominateur. Multipliez chaque facteur par le nombre maximum de fois où il apparaît dans une seule factorisation. Rappelez-vous que X et oui ne peut pas être 0 car les dénominateurs seraient 0.

Le LCM devient le dénominateur commun. Multipliez chaque expression par l'équivalent de 1 qui lui donnera le dénominateur commun.


Comment trouver l'ajout et la soustraction d'expressions rationnelles ?

Ajout d'expressions rationnelles : On peut additionner les numérateurs et les dénominateurs puis simplifier le produit.

  • Si les valeurs du dénominateur sont les mêmes, additionnez les numérateurs et exprimez l'expression rationnelle dans sa forme la plus simple.
  • Si les valeurs du dénominateur sont différentes, trouvez le LCM des dénominateurs pour les rendre égaux, puis ajoutez les numérateurs.

Par exemple, ajoutez 4 / 5 et 9 / 5 = 4 / 5 + 9 / 5 = 13 / 5 . Il en va de même pour les expressions rationnelles.

Soustraction d'expressions rationnelles : On peut soustraire les numérateurs et les dénominateurs et ensuite simplifier le produit.

  • Si les valeurs du dénominateur sont les mêmes, soustrayez les numérateurs et exprimez l'expression rationnelle dans sa forme la plus simple.
  • Si les valeurs du dénominateur sont différentes, trouvez le LCM des dénominateurs pour les rendre égaux, puis soustrayez les numérateurs.

Par exemple, soustraire 2 / 3 et 5 / 9 = 2 / 3 - 9 / 5 = -17 / 15 . La même chose peut être appliquée aux expressions rationnelles.

Exemple résolu :

Trouver la somme de deux expressions rationnelles données (x + 3) / (x + 1) et (x + 2) / (x + 1)

Solution:

Additionner (x + 3) / (x + 1) et (x + 2) / (x + 1)

De même, vous pouvez essayer la calculatrice pour trouver l'addition et la soustraction d'expressions rationnelles pour


Addition et soustraction d'expressions rationnelles Math Maze

Les élèves s'entraînent à ajouter et à soustraire des expressions rationnelles en complétant un labyrinthe mathématique !

Ils dessinent des flèches pour indiquer le chemin qu'ils ont emprunté pour se rendre du début du labyrinthe à la sortie.

Ce téléchargement contient trois labyrinthes différents que les enseignants peuvent utiliser pour différencier leur enseignement.

Les questions du labyrinthe de niveau 1 ont été conçues pour les étudiants qui ont du mal à comprendre ce concept. Tous les problèmes de ce labyrinthe ont un dénominateur commun.

Les questions du labyrinthe de niveau 2 ont été conçues pour l'étudiant moyen. Afin de résoudre les problèmes de ce labyrinthe, les élèves devront d'abord trouver un dénominateur commun.

Les questions du labyrinthe de niveau 3 ont été conçues pour les élèves plus forts en tant qu'activité d'enrichissement. Avant d'ajouter ou de soustraire les expressions rationnelles dans ce labyrinthe, les élèves devront d'abord trouver un dénominateur commun par factorisation.


AJOUT ET SOUSTRACTION D'EXPRESSIONS RATIONNELLES

(ii) Écrivez la somme ou la différence des numérateurs trouvés à l'étape (i) sur le dénominateur commun.

(iii) Réduire l'expression rationnelle résultante dans sa forme la plus basse

Ajouter et soustraire des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents :

(i) Déterminer le plus petit commun multiple du dénominateur.

(ii) Réécrire chaque fraction comme une fraction équivalente avec le LCM obtenu à l'étape (i). Cela se fait en multipliant à la fois les numérateurs et le dénominateur de chaque expression par tous les facteurs nécessaires pour obtenir le LCM.

(iii) Suivez les mêmes étapes données pour faire l'addition ou la soustraction de l'expression rationnelle avec les mêmes dénominateurs.

Puisque le dénominateur des deux fractions est le même, nous devons mettre un seul dénominateur et additionner les fractions.

Par conséquent, la valeur de l'expression rationnelle donnée est (x 2 +xy+y 2 ).

(i)  [(2x + 1)(x - 2)/(x - 4)] - [(2x 2 - 5x + 2)/(x - 4)]

  =  [(2x 2 - 4x + x - 2) -  (2x 2  - 5x + 2)]/(x - 4)

  =  4x/(x + 1)(x - 1)  - (x + 1)(x + 1)/(x - 1)(x + 1)

  =  [4x - (x + 1) 2 ]/(x + 1)(x - 1)

  =  [4x - (x 2 + 2x + 1)]/(x + 1)(x - 1)

  =  (-x 2 + 2x - 1) /(x + 1)(x - 1)

  =  -(x 2  - 2x + 1) /(x + 1)(x - 1)

  =  -(x - 1)(x - 1) /(x + 1)(x - 1)

  =  -(x - 1)/(x + 1)

  =  (1 - x)/(1 + x)

Soustraire 1/(x 2 + 2) de (2x 3 + x 2 + 3)/(x 2 + 2) 2

=  (2x 3 + x 2 + 3 - x 2 - 2)/(x 2  + 2) 2

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Objectifs : Contenu du cours PCC et guide des résultats

Dans la dernière section, nous avons appris à multiplier et à diviser des expressions rationnelles. Dans cette section, nous allons apprendre à additionner et à soustraire des expressions rationnelles.

Figure 12.3.1. Leçon vidéo alternative

Sous-section 12.3.1 Introduction

Exemple 12.3.2 .

Julia emmène sa famille faire un voyage en bateau sur (12) milles le long de la rivière et vice-versa. La rivière coule à une vitesse de (2) milles à l'heure et elle veut conduire le bateau à une vitesse constante, (v) milles à l'heure en aval et en amont. En raison du courant de la rivière, la vitesse réelle de déplacement est de (v+2) milles à l'heure en aval et de (v-2) milles à l'heure en amont. Si Julia prévoit de passer (8) heures pour tout le voyage, à quelle vitesse doit-elle conduire le bateau ?

Nous devons revoir trois formes de la formule du mouvement à vitesse constante :

où (d) représente la distance, (v) représente la vitesse et (t) représente le temps. Selon la troisième forme, le temps que met le bateau à descendre est (frac<12> ext<,>) et le temps qu'il faut pour remonter en amont est (frac<12> exte<.>)

La fonction pour modéliser le temps de tout le trajet est

où (t) représente le temps en heures, et (v) est la vitesse du bateau en miles par heure. Regardons le graphique de cette fonction sur la figure 12.3.3. Notez que puisque la vitesse (v) et le temps (t(v)) doivent être positifs dans le contexte, c'est seulement le premier quadrant de la figure 12.3.3 qui compte.

Pour trouver la vitesse à laquelle Julia doit conduire le bateau pour que l'aller-retour dure (8) heures, nous pouvons utiliser la technologie graphique pour résoudre l'équation

graphiquement et nous voyons que (v=4 ext<.>) Cela nous indique qu'une vitesse de (4) miles par heure donnera un temps total de (8) heures pour terminer le voyage. Pour aller en aval il faudrait (frac<12>=frac<12><4+2>=2) heures et pour remonter il faudrait (frac<12>=frac<12><4-2>=6) heures.

Le but de cette section est de travailler avec des expressions comme (frac<12>+frac<12> ext<,>) où deux expressions rationnelles sont ajoutées (ou soustraites). Il y a des moments où il est utile de les combiner en une seule fraction. Nous apprendrons que l'expression (frac<12>+frac<12>) est égal à l'expression (frac<24v> ext<,>) et nous allons apprendre à faire cette simplification.

Sous-section 12.3.2 Addition et soustraction d'expressions rationnelles ayant le même dénominateur

Le processus d'addition et de soustraction d'expressions rationnelles sera très similaire au processus d'addition et de soustraction de fractions purement numériques.

Si les deux expressions ont le même dénominateur, alors nous pouvons nous appuyer sur la propriété d'additionner et de soustraire des fractions et simplifier ce résultat.

Voyons comment additionner des fractions avec le même dénominateur :

Nous pouvons ajouter et soustraire des expressions rationnelles de la même manière :

Déterminez le plus petit dénominateur commun de tous les dénominateurs.

Si nécessaire, construisez chaque expression de manière à ce que les dénominateurs soient les mêmes.

Simplifiez autant que possible l'expression rationnelle résultante. Cela peut nécessiter la factorisation du numérateur.

Exemple 12.3.5 .

Ajoutez les expressions rationnelles : (dfrac<2x>+dfrac<2y> exte<.>)

Ces expressions ont déjà un dénominateur commun :

Notez que nous ne nous sommes pas arrêtés à (frac<2x+2y> ext<.>) Si possible, il faut simplifier le numérateur et le dénominateur. Comme il s'agit d'une expression à plusieurs variables, ce manuel ignore les restrictions de domaine lors de l'annulation.

Sous-section 12.3.3 Addition et soustraction d'expressions rationnelles avec des dénominateurs différents

Pour ajouter des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents, nous devrons construire chaque fraction au plus petit dénominateur commun, de la même manière que nous le faisons avec les fractions numériques. Passons brièvement en revue ce processus en ajoutant (frac<3><5>) et (frac<1><6> ext<:>)

Cette méthode exacte peut être utilisée lors de l'ajout d'expressions rationnelles contenant des variables. La clé est que les expressions doit ont le même dénominateur avant de pouvoir être additionnés ou soustraits. S'ils ne l'ont pas initialement, nous identifierons le plus petit dénominateur commun et construirons chaque expression de sorte qu'elle ait ce dénominateur.

Appliquons ceci à l'addition des deux expressions avec des dénominateurs qui sont (v-2) et (v+2) de l'exemple 12.3.2.

Exemple 12.3.6 .

Ajoutez les expressions rationnelles et simplifiez complètement la fonction donnée par (t(v)=frac<12>+frac<12> exte<.>)

Exemple 12.3.7 .

Ajoutez les expressions rationnelles : (dfrac<2><5x^2y>+dfrac<3><20xy^2>)

Le plus petit dénominateur commun de (5x^2y) et (20xy^2) doit inclure deux (x) et deux (y), ainsi que (20 ext<. >) Thus it is (20x^2y^2 ext<.>) We will build both denominators to (20x^2y^2) before doing addition.

Let's look at a few more complicated examples.

Example 12.3.8 .

Subtract the rational expressions: (dfrac-dfrac<8y-8>)

To start, we'll make sure each denominator is factored. Then we'll find the least common denominator and build each expression to that denominator. Then we will be able to combine the numerators and simplify the expression.

Note that we must factor the numerator in (frac<(y+2)(y-2)>) and try to reduce the fraction (which we did).

Warning 12.3.9 .

In Example 12.3.8, be careful to subtract the entire numerator of (8y-8 ext<.>) When this expression is in the numerator of (frac<8y-8><(y+2)(y-2)> ext<,>) it's implicitly grouped and doesn't need parentheses. But once (8y-8) is subtracted from (y^2+2y ext<,>) we need to add parentheses so the entire expression is subtracted.

In the next example, we'll look at adding a rational expression to a polynomial. Much like adding a fraction and an integer, we'll rely on writing that expression as itself over one in order to build its denominator.

Example 12.3.10 .

Add the expressions: (-dfrac<2>+r)

Note that we factored the numerator to reduce the fraction if possible. Even though it was not possible in this case, leaving it in factored form makes it easier to see that it is reduced.

Example 12.3.11 .

To start, we'll need to factor each of the denominators. After that, we'll identify the LCD and build each denominator accordingly. Then we can combine the numerators and simplify the resulting expression.

Reading Questions 12.3.4 Reading Questions

Describe how to add two rational expressions when they have the same denominator.

Suppose you are adding two rational expressions where one of them has a quadratic denominator, and the other has a linear denominator. What is the first thing you should try to do with respect to the quadratic denominator?


Adding Rational Expressions

Adding and subtracting rational expressions are similar to adding and subtracting numerical ratios.

In order to add or subtract a rational expression, a common denominator must be found first, and then the operation can be carried out in the numerator.

Avec like denominators , simply add the two numerators to find the sum.

4 x + 1 + x x + 1         =         x + 4 x + 1 Add the numerators (the denominator does not change).

Avec unlike denominators

D'abord find the common denominator

Par multiplying denominators

Example 2: Single Term Ratios 3 2 x + 5 7
7 7 × 3 2 x + 2 x 2 x × 5 7 Multiply each ratio by one using the other denominator.

21 14 x + 10 x 14 x Multiply across.

10 x + 21 14 x Add the numerators.

Par finding least common multiple of the denominators

Example 3: Single Term Ratios 7 8 x + 16 5 x
The least common multiple (LCM) from 8x and 5x is 40x

5 5 × 7 8 x     +     8 8 × 16 5 x Multiply the ratios by one to get a common denominator.

35 40 x + 128 40 x Multiply across.

163 40 x Add the numerators, simplify if possible.

163 and 40 are relatively prime, so this ratio cannot be simplified.

Example 4: Factoring trinomials in the denominator.

2 x x 2 + 5 x − 24 + 4 x − 3
x 2 + 5x - 24 = (x + 8)(x - 3) Factor the denominator.

2 x ( x + 8 ) ( x − 3 ) + ( x + 8 ) ( x + 8 ) × 4 ( x − 3 ) Multiply the second ratio to obtain a common denominator.

2 x + 4 ( x + 8 ) ( x + 8 ) ( x − 3 ) Add the numerators.

2 x + 4 x + 32 ( x + 8 ) ( x − 3 ) Use the distributive property to combine like terms.

6 x + 32 ( x + 8 ) ( x − 3 ) Rewrite in simplified form.

Example 5: Special products in the denominator.

x x 2 − 4 + x + 2 x 2 + 4 x + 4
x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2) and x 2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) Factor the denominators.

( x + 2 ) ( x + 2 ) × x ( x + 2 ) ( x − 2 )     +     ( x − 2 ) ( x − 2 ) × ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) Multiply the ratios to obtain common denominators.

x ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) Rewrite.

x ( x + 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Add the numerators.

( x + ( x − 2 ) ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Regroup the terms to factor the numerator.

( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Eliminate common factors.

( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Rewrite in simplified form.

Example 6: Subtraction x + 3 x 2 − 2 x − 8 − x − 5 x 2 − 12 x + 32
x 2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) Factor the denominators.

( x − 8 ) ( x − 8 ) × ( x + 3 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) − ( x + 2 ) ( x + 2 ) × ( x − 5 ) ( x − 8 ) ( x − 4 ) Multiply the ratios to obtain common denominators.

x 2 − 5 x − 24 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) − x 2 − 3 x − 10 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) Multiply to determine new numerators

− 2 x − 14 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) Subtract the second numerator from the first.

With -2x - 14 = -2(x + 7) there are no common factors to simplify the ratio keep the ratio as is.

Example 7: Addition and subtraction together

x + 3 x 2 − 25 + x − 1 x − 5 − 2 x + 5
x 2 - 25 = (x + 5)(x - 5) Factor the denominator.

( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) + ( x + 5 ) ( x + 5 ) × ( x − 1 ) ( x − 5 ) − ( x − 5 ) ( x − 5 ) × 2 ( x + 5 ) Multiply the ratios to obtain a common denominator.

  ( x + 3 ) + ( x 2 + 4 x − 5 ) − ( 2 x − 10 ) ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Rewrite the numerator.

x 2 + 3 x + 8 ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Combine like terms.

Now that you can add and subtract rational expressions, you are ready to start solving rational equations.

To link to this Adding Rational Expressions page, copy the following code to your site:


To divide two Rational Expressions, first flip the second expression over (make it a reciprocal) and then do a multiply like above:

Exemple:

First flip the second one over and make it a multiply:

2x &minus 2 / 3x+1 = 2x &minus 2 &fois x+13

2 x &minus 2 &fois x+13 = 2(x+1)3(x &minus 2)


Adding and Subtracting Rational Expressions with Unlike Denominators

There are a few steps to follow when you add or subtract rational expressions with unlike denominators.

  1. To add or subtract rational expressions with unlike denominators, first find the LCM of the denominator. The LCM of the denominators of fraction or rational expressions is also called least common denominator , or LCD.
  2. Write each expression using the LCD. Make sure each term has the LCD as its denominator.
  3. Add or subtract the numerators.
  4. Simplify as needed.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Since 3 a and 4 b have no common factors, the LCM is simply their product: 3 a &sdot 4 b .

That is, the LCD of the fractions is 12 a b .

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Here, the GCF of 4 x 2 and 6 x y 2 is 2 x . So, the LCM is the product divided by 2 x :

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of a and a &minus 5 is a ( a &minus 5 ) .

That is, the LCD of the fractions is a ( a &minus 5 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

2 a &minus 3 a &minus 5 = 2 ( a &minus 5 ) a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

= 2 a &minus 10 a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of c + 2 and c &minus 3 is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

That is, the LCD of the fractions is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

5 c + 2 + 6 c &minus 3 = 5 ( c &minus 3 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 ( c + 2 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

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1) Make the denominators of the rational expressions the same by finding the Least Common Denominator (LCD).

Note: The Least Common Denominator is the same as the Least Common Multiple (LCM) of the given denominators.

2) Next, combine the numerators by the indicated operations (add and/or subtract) then copy the common denominator.

Note: Don’t forget to simplify further the rational expression by canceling common factors, if possible.

As they say, practice makes perfect. So we will go over six (6) worked examples in this lesson to illustrate how it is being done. Let’s get started!

Examples of Adding and Subtracting Rational Expressions

Exemple 1: Add and subtract the rational expressions below.

In this case, we are adding and subtracting rational expressions with unlike denominators. Our goal is to make them all the same.

Since I have monomials in the denominators, the LCD can be obtained by simply taking the Least Common Multiple of the coefficients, where LCM ( 3 , 6 ) = 6 , and multiply that to the variable x with the highest exponent.

The LCD should be (LCM of coefficients) times (LCM of variable x ) which gives us left( 6 ight)left( <> ight) = 6 .

The “blue fractions” are the appropriate multipliers to do the job!

Now that we have the same denominators, it is easy to simplify.

Combine similar terms (see the x variables?).

  • When you reach the point of having a single rational expression, your next critical step is to factor the top and the bottom completely.

The reason is that you may have common factors, which can be canceled out.

To make this a better answer, I will exclude the value of x that can make the original rational expression undefined.

I can add the condition that x e 0 .

Exemple 2 : Add the rational expressions below.

This problem contains like denominators. We want this because it is the LCD itself – the given denominator of the rational expression.

So then the LCD that we are going to use is 2x + 1 .

Conseil: Don’t rush by immediately doing all the calculations in your head. I suggest that you place each term inside the parenthesis before performing the required operation. This extra step may be your lifesaver to avoid careless mistakes.

  • Unless you have a good grasp on how to effectively combine like terms, I suggest you take another “baby step” as an additional precaution.

Do you see how I decided to place the like terms side-by-side on the numerator?

To prevent the original rational expression to have a denominator of zero, we say that x e - <1 over 2>.

Exemple 3 : Add the rational expressions below.

This time I have the same trinomial in both denominators. This is similar to problem #2 but the quadratic trinomial adds a layer of fun. Later, I can factor out the denominator to see if there are common factors to cancel against the numerator.

  • Copy the common denominator and set it up just like this – placing each numerator in the parenthesis before adding them.
  • Rearrange the terms in such a way that similar terms are next to each other for ease of computation later.

You may say that x e - ,4 and x e + ,5 from the original denominator.

Exemple 4 : Subtract the rational expressions below.

This is a good example because the denominators are different. I need to find the LCD by doing the following steps.

Factor each denominator completely, and line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • In this step, I haven’t done anything but factor out the denominator of the first rational expression.

The first denominator is okay but the second one is lacking left( ight) .

This is why I multiply it by the blue fraction .

  • Put them all together in one fraction with a common denominator of left( droite gauche( ight) . However, keep each numerator inside a parenthesis.

Group similar terms together before simplifying them.

  • We got it! You may include the restrictions that x e 5 and x e - ,5 based on the original denominator of the given rational expression. This is to prevent the division of zero, which is not good.

Exemple 5 : Subtract and add the rational expressions below.

This problem is definitely interesting. To solve this, hold on to the things that you already know. Find the LCD by doing the steps below.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • Combine them in one fraction while keeping each numerator within a parenthesis. Make sure to copy the indicated operations correctly.
  • Now, we’ll factor out the numerator and hope to see common factors between the numerator and denominator that can be canceled.
  • We now have our final answer. Add the restrictions x e 4 and x e - ,3 to avoid dividing by zero.

Example 6: Subtract and add the rational expressions below.

This is our last example in this lesson. I must say this is very similar to example 5. By now, you should already have a solid understanding of how to add and subtract rational expressions.

Let’s start finding the LCD again.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.


Voir la vidéo: Pré-Calcul 11 - U4 - RAS#5 - Addition des expressions rationnelles (Décembre 2021).