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4.2 : Calcul des courbes paramétriques - Mathématiques


Maintenant que nous avons introduit le concept de courbe paramétrée, notre prochaine étape consiste à apprendre à travailler avec ce concept dans le contexte du calcul. Par exemple, si l'on connaît une paramétrisation d'une courbe donnée, est-il possible de calculer la pente d'une tangente à la courbe ? Qu'en est-il de la longueur de l'arc de la courbe? Ou la zone sous la courbe ?

Autre scénario : supposons que nous voudrions représenter l'emplacement d'une balle de baseball après que la balle a quitté la main d'un lanceur. Si la position de la balle de baseball est représentée par la courbe plane ((x(t),y(t))), alors nous devrions pouvoir utiliser le calcul pour trouver la vitesse de la balle à un moment donné. De plus, nous devrions pouvoir calculer la distance parcourue par cette balle en fonction du temps.

Dérivées d'équations paramétriques

On commence par demander comment calculer la pente d'une droite tangente à une courbe paramétrique en un point. Considérons la courbe plane définie par les équations paramétriques

[egin{align} x(t)&=2t+3 label{eq1} y(t)&=3t−4 label{eq2} end{align}]

dans (−2≤t≤3).

Le graphique de cette courbe apparaît dans la figure (PageIndex{1}). C'est un segment de droite commençant à ((−1,−10)) et se terminant par ((9,5).)

Nous pouvons éliminer le paramètre en résolvant d'abord l'équation ef{eq1} pour (t) :

(x(t)=2t+3)

(x−3=2t)

(t=dfrac{x−3}{2}).

En substituant ceci dans (y(t)) (Équation ef{eq2}), nous obtenons

(y(t)=3t−4)

(y=3(dfrac{x−3}{2})−4)

(y=dfrac{3x}{2}−dfrac{9}{2}−4)

(y=dfrac{3x}{2}−dfrac{17}{2}).

La pente de cette droite est donnée par (dfrac{dy}{dx}=dfrac{3}{2}). Ensuite, nous calculons (x′(t)) et (y′(t)). Cela donne (x′(t)=2) et (y′(t)=3). Remarquerez que

[dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt}=dfrac{3}{2}.]

Ce n'est pas un hasard, comme le montre le théorème suivant.

Dérivée d'équations paramétriques

Considérons la courbe plane définie par les équations paramétriques (x=x(t)) et (y=y(t)). Supposons que (x′(t)) et (y′(t)) existent, et supposons que (x′(t)≠0). Alors la dérivée (dfrac{dy}{dx})est donnée par

[dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt}=dfrac{y′(t)}{x′(t)}. label{paraD}]

Preuve

Ce théorème peut être prouvé en utilisant la règle de la chaîne. En particulier, supposons que le paramètre (t) puisse être éliminé, donnant une fonction différentiable (y=F(x)). Alors (y(t)=F(x(t)).) Différencier les deux côtés de cette équation en utilisant la règle de la chaîne donne

[y′(t)=F′(x(t))x′(t),]

donc

[F′(x(t))=dfrac{y′(t)}{x′(t)}.]

Mais (F′(x(t))=dfrac{dy}{dx}), ce qui prouve le théorème.

L'équation peut être utilisée pour calculer les dérivées de courbes planes, ainsi que les points critiques. Rappelons qu'un point critique d'une fonction dérivable (y=f(x)) est tout point (x=x_0) tel que soit (f′(x_0)=0) soit (f′(x_0 )) n'existe pas. L'équation donne une formule pour la pente d'une ligne tangente à une courbe définie paramétriquement, que la courbe puisse être décrite par une fonction (y=f(x)) ou non.

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche de la dérivée d'une courbe paramétrique

Calculez la dérivée (dfrac{dy}{dx}) pour chacune des courbes planes définies paramétriquement suivantes, et localisez les points critiques sur leurs graphiques respectifs.

  1. (x(t)=t^2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4)
  2. (x(t)=2t+1,y(t)=t^3−3t+4,−2≤t≤5)
  3. (x(t)=5cos t,y(t)=5sin t,0≤t≤2π)

Solution

une. Pour appliquer l'équation ef{paraD}, calculez d'abord (x′(t)) et (y′(t)) :

(x′(t)=2t)

(y′(t)=2).

Ensuite, remplacez-les dans l'équation :

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt})

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{2}{2t})

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{1}{t}).

Cette dérivée est indéfinie lorsque (t=0). Le calcul de (x(0)) et (y(0)) donne (x(0)=(0)^2−3=−3) et (y(0)=2(0) −1=−1), qui correspond au point ((−3,−1)) sur le graphe. Le graphe de cette courbe est une parabole s'ouvrant vers la droite, et le point ((−3,−1)) est son sommet comme indiqué.

b. Pour appliquer l'équation ef{paraD}, calculez d'abord (x′(t)) et (y′(t)) :

(x′(t)=2)

(y′(t)=3t^2−3).

Ensuite, remplacez-les dans l'équation :

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt})

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{3t^2−3}{2}).

Cette dérivée est nulle lorsque (t=±1). Quand (t=−1) on a

(x(−1)=2(−1)+1=−1) et (y(−1)=(−1)^3−3(−1)+4=−1+3+4 =6),

qui correspond au point ((−1,6)) sur le graphe. Quand (t=1) on a

(x(1)=2(1)+1=3) et (y(1)=(1)^3−3(1)+4=1−3+4=2,)

qui correspond au point ((3,2)) sur le graphe. Le point ((3,2)) est un minimum relatif et le point ((−1,6)) est un maximum relatif, comme le montre le graphique suivant.

c. Pour appliquer l'équation ef{paraD}, calculez d'abord (x′(t)) et (y′(t)) :

(x′(t)=−5sin t)

(y′(t)=5cos t.)

Ensuite, remplacez-les dans l'équation :

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt})

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{5cos t}{-5sin t})

(dfrac{dy}{dx}=−cot t.)

Cette dérivée est nulle lorsque (cos t=0) et indéfinie lorsque (sin t=0.) Cela donne (t=0,dfrac{π}{2},π,dfrac{ 3π}{2},) et (2π) comme points critiques pour t. En substituant chacun d'eux dans (x(t)) et (y(t)), on obtient

(t)(x(t))(y(t))
050
(dfrac{π}{2})05
(π)−50
(dfrac{3π}{2})0−5
(2π)50

Ces points correspondent aux côtés, en haut et en bas du cercle représenté par les équations paramétriques (Figure). Sur les bords gauche et droit du cercle, la dérivée est indéfinie, et en haut et en bas, la dérivée est égale à zéro.

Exercice (PageIndex{1})

Calculer la dérivée (dy/dx) de la courbe plane définie par les équations

[x(t)=t^2−4t,y(t)=2t^3−6t,−2≤t≤3]

et localiser les points critiques sur son graphique.

Indice

Calculez (x′(t)) et (y′(t)) et utilisez l'équation ef{paraD}.

Répondre

(x′(t)=2t−4) et (y′(t)=6t^2−6), donc (dfrac{dy}{dx}=dfrac{6t^2−6 }{2t−4}=dfrac{3t^2−3}{t−2}).

Cette expression est indéfinie lorsque (t=2) et égale à zéro lorsque (t=±1).

Exemple (PageIndex{2}) : Recherche d'une ligne tangente

Trouver l'équation de la ligne tangente à la courbe définie par les équations

[x(t)=t^2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4]

quand (t=2).

Solution

Trouvez d'abord la pente de la ligne tangente à l'aide de l'équation ef{paraD}, ce qui signifie calculer (x′(t)) et (y′(t)) :

(x′(t)=2t)

(y′(t)=2).

Ensuite, remplacez-les dans l'équation :

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt})

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{2}{2t})

(dfrac{dy}{dx}=dfrac{1}{t}).

Lorsque (t=2, dfrac{dy}{dx}=dfrac{1}{2}), c'est donc la pente de la tangente. Le calcul de (x(2)) et (y(2)) donne

(x(2)=(2)^2−3=1) et (y(2)=2(2)−1=3),

qui correspond au point ((1,3)) sur le graphe (Figure). Utilisez maintenant la forme point-pente de l'équation d'une ligne pour trouver l'équation de la ligne tangente :

(y−y_0=m(x−x_0))

(y−3=dfrac{1}{2}(x−1))

(y−3=dfrac{1}{2}x−dfrac{1}{2})

(y=dfrac{1}{2}x+dfrac{5}{2}).

Exercice (PageIndex{2})

Trouver l'équation de la ligne tangente à la courbe définie par les équations

(x(t)=t^2−4t,y(t)=2t^3−6t,−2≤t≤3) quand (t=5).

Indice

Calculez (x′(t)) et (y′(t)) et utilisez l'équation ef{paraD}.

Répondre

L'équation de la tangente est (y=24x+100.)

Dérivés de second ordre

Notre prochain objectif est de voir comment prendre la dérivée seconde d'une fonction définie paramétriquement. La dérivée seconde d'une fonction (y=f(x)) est définie comme étant la dérivée de la dérivée première ; C'est,

[dfrac{d^2y}{dx^2}=dfrac{d}{dx}left[dfrac{dy}{dx} ight]. label{eqD2}]

Depuis

[dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt},]

nous pouvons remplacer le (y) des deux côtés de l'équation ef{eqD2} par (dfrac{dy}{dx}). Cela nous donne

[dfrac{d^2y}{dx^2}=dfrac{d}{dx} left(dfrac{dy}{dx} ight)=dfrac{(d/dt)(dy/dx )}{dx/dt}.label{paraD2}]

Si nous connaissons (dy/dx) en fonction de (t), alors cette formule est simple à appliquer

Exemple (PageIndex{3}): Recherche d'une seconde dérivée

Calculer la dérivée seconde (d^2y/dx^2) pour la courbe plane définie par les équations paramétriques (x(t)=t^2−3,y(t)=2t−1,−3≤t ≤4.)

Solution

D'après l'exemple, nous savons que (dfrac{dy}{dx}=dfrac{2}{2t}=dfrac{1}{t}). En utilisant l'équation ef{paraD2}, nous obtenons

(dfrac{d^2y}{dx^2}=dfrac{(d/dt)(dy/dx)}{dx/dt}=dfrac{(d/dt)(1/t)}{ 2t}=dfrac{−t^{−2}}{2t}=−dfrac{1}{2t^3}).

Exercice (PageIndex{3})

Calculer la dérivée seconde (d^2y/dx^2) pour la courbe plane définie par les équations

(x(t)=t^2−4t,y(t)=2t^3−6t,−2≤t≤3)

et localiser les points critiques sur son graphique.

Indice

Commencez par la solution du point de contrôle précédent et utilisez l'équation.

Répondre

(dfrac{d^2y}{dx^2}=dfrac{3t^2−12t+3}{2(t−2)^3}). Points critiques ((5,4),(−3,−4)),et ((−4,6).)

Intégrales impliquant des équations paramétriques

Maintenant que nous avons vu comment calculer la dérivée d'une courbe plane, la question suivante est la suivante : comment trouver l'aire sous une courbe définie paramétriquement ? Rappelons la cycloïde définie par ces équations paramétriques

[ egin{align} x(t)&=t−sin t y(t)&=1−cos t. end{aligner}]

Supposons que nous voulions trouver l'aire de la région ombrée dans le graphique suivant.

Pour dériver une formule pour l'aire sous la courbe définie par les fonctions

[egin{align} x&=x(t) y&=y(t) end{align}]

où (a≤t≤b).

Nous supposons que (x(t)) est dérivable et partons d'une partition égale de l'intervalle (a≤t≤b). Supposons (t_0=a

Nous utilisons des rectangles pour approximer l'aire sous la courbe. La hauteur d'un rectangle typique dans ce paramétrage est (y(x(ar{t_i}))) pour une certaine valeur (ar{t_i}) dans le jee sous-intervalle, et la largeur peut être calculée comme (x(t_i)−x(t_{i−1})). Ainsi l'aire de l'ie rectangle est donné par

[A_i=y(x(ar{t_i}))(x(t_i)−x(t_{i−1})).]

Alors une somme de Riemann pour la zone est

[A_n=sum_{i=1}^ny(x(ar{t_i}))(x(t_i)−x(t_{i−1})).]

Multiplier et diviser chaque zone par (t_i−t_{i−1}) donne

[ egin{align} A_n &=sum_{i=1}^ny(x(ar{t_i})) left(dfrac{x(t_i)−x(t_{i−1})} {t_i−t_{i−1}} ight)(t_i−t_{i−1}) &=sum_{i=1}^ny(x(ar{t_i})) left( dfrac{x(t_i)−x(t_{i−1})}{Δt} ight)Δt. end{align} ]

Prendre la limite lorsque (n) tend vers l'infini donne

[A=lim_{n→∞}A_n=∫^b_ay(t)x′(t)dt.]

Cela mène au théorème suivant.

Aire sous une courbe paramétrique

Considérons la courbe plane non auto-sécante définie par les équations paramétriques

[x=x(t),y=y(t),a≤t≤b]

et supposons que (x(t)) est dérivable. L'aire sous cette courbe est donnée par

[A=∫^b_ay(t)x′(t)dt.]

Exemple (PageIndex{4}) : Recherche de l'aire sous une courbe paramétrique

Trouver l'aire sous la courbe de la cycloïde définie par les équations

[x(t)=t−sin t,y(t)=1−cos t,0≤t≤2π.]

Solution

En utilisant l'équation, nous avons

(A=∫baie(t)x′(t)dt)

(=∫^{2π}_0(1−cos t)(1−cos t)dt)

(=∫^{2π}_0(1−2cos t+cos^2t)dt)

(=∫^{2π}_0(1−2cos t+dfrac{1+cos 2t}{2})dt)

(=∫^{2π}_0(dfrac{3}{2}−2cos t+dfrac{cos 2t}{2})dt)

(=dfrac{3t}{2}−2sin t+dfrac{sin 2t}{4}∣^{2π}_0)

(=3π)

Exercice (PageIndex{4})

Trouver l'aire sous la courbe de l'hypocycloïde définie par les équations

[x(t)=3cos t+cos3t,y(t)=3sin t−sin3t,0≤t≤π.]

Indice

Utilisez l'équation, avec les identités (sin αsin β=dfrac{1}{2}[cos(α−β)−cos(α+β)]) et (sin^2t =dfrac{1−cos 2t}{2}).

Répondre

(A=3π) (Notez que la formule intégrale donne en fait une réponse négative. Cela est dû au fait que (x(t)) est une fonction décroissante sur l'intervalle ([0,2π]; ), c'est-à-dire que la courbe est tracée de droite à gauche.)

Longueur d'arc d'une courbe paramétrique

En plus de trouver l'aire sous une courbe paramétrique, nous avons parfois besoin de trouver la longueur d'arc d'une courbe paramétrique. Dans le cas d'un segment de ligne, la longueur de l'arc est la même que la distance entre les extrémités. Si une particule se déplace du point (A) au point (B) le long d'une courbe, alors la distance parcourue par la particule est la longueur de l'arc. Pour développer une formule pour la longueur de l'arc, nous commençons par une approximation par segments de ligne comme le montre le graphique suivant.

Étant donné une courbe plane définie par les fonctions (x=x(t),y=y(t),a≤t≤b), on commence par partitionner l'intervalle ([a,b]) en ( n) sous-intervalles égaux : (t_0=a

[d_1=sqrt{(x(t_1)−x(t_0))^2+(y(t_1)−y(t_0))^2}]

[d_2=sqrt{(x(t_2)−x(t_1))^2+(y(t_2)−y(t_1))^2}etc.]

Ensuite, additionnez-les. On note s la longueur exacte de l'arc et (s_n) l'approximation par n segments de droite :

[s≈sum_{k=1}^ns_k=sum_{k=1}^nsqrt{(x(t_k)−x(t_{k−1}))^2+(y(t_k) −y(t_{k−1}))^2}. label{arc5}]

Si nous supposons que (x(t)) et (y(t)) sont des fonctions dérivables de (t), alors le théorème de la valeur moyenne s'applique, donc dans chaque sous-intervalle ([t_{k−1 },t_k]) il existe (hat{t_k}) et (hat{t˜_k}) tels que

[x(t_k)−x(t_{k−1})=x′(hat{t_k})(t_k−t_{k−1})=x′(hat{t_k})Δt]

[y(t_k)−y(t_{k−1})=y′( ilde{t_k})(t_k−t_{k−1})=y′( ilde{t_k})Δt.]

Par conséquent, l'équation ef{arc5} devient

[egin {align} s ≈sum_{k=1}^ns_k & =sum_{k=1}^nsqrt{(x′(hat{t_k})Δt)^2+(y′ ( ilde{t_k})Δt)^2} & =sum_{k=1}^n(x′( ilde{t_k}))^2(Δt)^2+(y′( ilde {t_k}))^2(Δt)^2 & =(sum_{k=1}^n(x′(hat{t_k}))^2+(y′( ilde{t_k}) )^2Δt end{align} .]

Il s'agit d'une somme de Riemann qui approche la longueur de l'arc sur une partition de l'intervalle ([a,b]). Si nous supposons en outre que les dérivées sont continues et que le nombre de points de la partition augmente sans limite, l'approximation se rapproche de la longueur exacte de l'arc. Cela donne

[ egin{align} s&=lim_{n→∞}sum_{k=1}^ns_k &=lim_{n→∞}(sum_{k=1}^nsqrt{( x′(hat{t_k}))^2+(y′( ilde{t_k}))^2})Δt &=∫^b_asqrt{(x′(t))^2+( y′(t))^2}dt . end{aligner}]

Lors de la prise de la limite, les valeurs de (ar{t_k}) et ( ilde{t_k}) sont toutes deux contenues dans le même intervalle de plus en plus réduit de largeur (Δt), elles doivent donc converger vers la même valeur.

Nous pouvons résumer cette méthode dans le théorème suivant.

Longueur d'arc d'une courbe paramétrique

Considérons la courbe plane définie par les équations paramétriques

[x=x(t),y=y(t),t_1≤t≤t_2]

et supposons que (x(t)) et (y(t)) sont des fonctions dérivables de t. Alors la longueur de l'arc de cette courbe est donnée par

[s=∫^{t_2}_{t_1}sqrt{left(dfrac{dx}{dt} ight)^2+left(dfrac{dy}{dt} ight)^2} dt. label{arcP}]

À ce stade, une dérivation latérale conduit à une formule précédente pour la longueur de l'arc. En particulier, supposons que le paramètre puisse être éliminé, conduisant à une fonction (y=F(x)). Alors (y(t)=F(x(t))) et la règle de la chaîne donne

[y′(t)=F′(x(t))x′(t).]

En substituant ceci dans l'équation ef{arcP} donne

[egin {align} s &=∫^{t_2}_{t_1}sqrt{left(dfrac{dx}{dt} ight)^2+left(F′(x)dfrac{ dx}{dt} ight)^2}dt &=∫^{t_2}_{t_1}sqrt{left(dfrac{dx}{dt} ight)^2(1+left( F′(x) ight)^2)}dt & =∫^{t_2}_{t_1}x′(t)sqrt{1+left(dfrac{dy}{dx} ight) ^2}dt. end{aligner}]

Ici, nous avons supposé que (x′(t)>0), ce qui est une hypothèse raisonnable. La règle de la chaîne donne (dx=x′(t)dt,) et en laissant (a=x(t_1)) et (b=x(t_2)) on obtient la formule

[s=∫^b_asqrt{1+left(dfrac{dy}{dx} ight)^2}dx,]

qui est la formule de la longueur d'arc obtenue dans l'Introduction aux applications de l'intégration.

Exemple (PageIndex{5}): Recherche de la longueur d'arc d'une courbe paramétrique

Trouver la longueur de l'arc du demi-cercle défini par les équations

[x(t)=3cos t,y(t)=3sin t,0≤t≤π.]

Solution

Les valeurs (t=0) à (t=π) tracent la courbe rouge de la figure. Pour déterminer sa longueur, utilisez l'équation ef{arcP} :

(s=∫^{t_2}_{t_1}sqrt{(dfrac{dx}{dt})^2+(dfrac{dy}{dt})^2}dt)

(=∫^π_0sqrt{(−3sin t)^2+(3cos t)^2}dt)

(=∫^π_0sqrt{9sin^2t+9cos^2t}dt)

(=∫^π_0sqrt{9(sin^2t+cos^2t)}dt)

(=∫^π_03dt=3t|^π_0)

(=3π).

Notez que la formule pour la longueur de l'arc d'un demi-cercle est (πr) et le rayon de ce cercle est 3. C'est un excellent exemple d'utilisation du calcul pour dériver une formule connue d'une quantité géométrique.

Exercice (PageIndex{5})

Trouver la longueur de l'arc de la courbe définie par les équations

[x(t)=3t^2,y(t)=2t^3,1≤t≤3.]

Indice

Utilisez l'équation.

Répondre

(s=2(10^{3/2}−2^{3/2})≈57.589)

Revenons maintenant au problème posé au début de la section sur une balle de baseball quittant la main d'un lanceur. Ignorant l'effet de la résistance de l'air (sauf s'il s'agit d'une balle courbe !), la balle parcourt une trajectoire parabolique. En supposant que la main du lanceur est à l'origine et que la balle se déplace de gauche à droite dans la direction de l'axe x positif, les équations paramétriques de cette courbe peuvent être écrites comme

[x(t)=140t,y(t)=−16t^2+2t]

t représente le temps. Nous calculons d'abord la distance parcourue par la balle en fonction du temps. Cette distance est représentée par la longueur de l'arc. Nous pouvons modifier légèrement la formule de longueur d'arc. Réécrivez d'abord les fonctions (x(t)) et (y(t)) en utilisant v comme variable indépendante, afin d'éliminer toute confusion avec le paramètre t :

[x(v)=140v,y(v)=−16v^2+2v.]

Ensuite, nous écrivons la formule de longueur d'arc comme suit :

(s(t)=∫^t_0sqrt{(dfrac{dx}{dv})^2+(dfrac{dy}{dv})^2}dv)

(=∫^t_0sqrt{140^2+(−32v+2)^2}dv).

La variable v agit comme une variable muette qui disparaît après intégration, laissant la longueur de l'arc en fonction du temps (t). Pour intégrer cette expression, nous pouvons utiliser une formule de l'annexe A,

[∫sqrt{a^2+u^2}du=dfrac{u}{2}sqrt{a^2+u^2}+dfrac{a^2}{2}ln u+ sqrt{a^2+u^2}∣+C.]

On pose (a=140) et (u=−32v+2.) Cela donne (du=−32dv,) donc (dv=−dfrac{1}{32}du.) Par conséquent

[∫sqrt{140^2+(−32v+2)^2}dv=−dfrac{1}{32}∫sqrt{a^2+u^2}du]

[=−dfrac{1}{32}[dfrac{(−32v+2)}{2}sqrt{140^2+(−32v+2)^2}+dfrac{140^2} {2}ln ∣(−32v+2)+sqrt{140^2+(−32v+2)^2}]|+C]

et

(s(t)=−dfrac{1}{32}[dfrac{(−32t+2)}{2}sqrt{140^2+(−32t+2)^2}+dfrac{ 140^2}{2}ln ∣(−32t+2)+sqrt{140^2+(−32t+2)^2}∣]+dfrac{1}{32}[sqrt{140^ 2+2^2}+dfrac{140^2}{2}ln ∣2+sqrt{140^2+2^2}∣]=(dfrac{t}{2}−dfrac{1 }{32})sqrt{1024t^2−128t+19604}−dfrac{1225}{4}ln ∣(−32t+2)+sqrt{1024t^2−128t+19604}∣+dfrac {sqrt{19604}}{32}+dfrac{1225}{4}ln (2+sqrt{19604}).)

Cette fonction représente la distance parcourue par la balle en fonction du temps. Pour calculer la vitesse, prenez la dérivée de cette fonction par rapport à (t). Bien que cela puisse sembler une tâche ardue, il est possible d'obtenir la réponse directement à partir du théorème fondamental du calcul :

[dfrac{d}{dx}∫^x_af(u)du=f(x).]

Par conséquent

(s′(t)=dfrac{d}{dt}[s(t)])

(=dfrac{d}{dt}[∫^t_0sqrt{140^2+(−32v+2)^2}dv])

(=sqrt{140^2+(−32t+2)^2})

(=sqrt{1024t^2−128t+19604})

(=2sqrt{256t^2−32t+4901}).

Un tiers de seconde après que le ballon a quitté la main du lanceur, la distance qu'il parcourt est égale à

(s(dfrac{1}{3})=(dfrac{1/3}{2}−dfrac{1}{32})sqrt{1024(dfrac{1}{3})^ 2−128(dfrac{1}{3})+19604}−dfrac{1225}{4}ln ∣(−32(dfrac{1}{3})+2)+sqrt{1024( dfrac{1}{3})^2−128(dfrac{1}{3})+19604}∣+dfrac{sqrt{19604}}{32}+dfrac{1225}{4} ln (2+sqrt{19604})≈46.69)pieds.

Cette valeur est un peu plus des trois quarts du chemin vers le marbre. La vitesse de la balle est

(s′(dfrac{1}{3})=2sqrt{256(dfrac{1}{3})^2−16(dfrac{1}{3})+4901}≈140.34 ) pi/s.

Cette vitesse se traduit par environ 95 mph, une balle rapide des ligues majeures.

Surface générée par une courbe paramétrique

Rappelez-vous le problème de trouver la surface d'un volume de révolution. Dans Longueur de courbe et surface, nous avons dérivé une formule pour trouver la surface d'un volume généré par une fonction (y=f(x)) de (x=a) à (x=b,) tournait autour de l'axe des x :

[S=2π∫^b_af(x)sqrt{1+(f′(x))^2}dx.]

Considérons maintenant un volume de révolution généré par la rotation d'une courbe définie paramétriquement (x=x(t),y=y(t),a≤t≤b) autour de l'axe des x comme le montre la figure (PageIndex {9}).

La formule analogue pour une courbe définie paramétriquement est

[S=2π∫^b_ay(t)sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}dt]

à condition que (y(t)) ne soit pas négatif sur ([a,b]).

Exemple (PageIndex{6}): Recherche de la surface

Trouvez la surface d'une sphère de rayon (r) centrée à l'origine.

Solution

On part de la courbe définie par les équations

[x(t)=rcos t,y(t)=rsin t,0≤t≤π.]

Cela génère un demi-cercle supérieur de rayon r centré à l'origine comme indiqué dans le graphique suivant.

Lorsque cette courbe tourne autour du X-axis, il génère une sphère de rayon (r). Pour calculer la surface de la sphère, nous utilisons l'équation :

(S=2π∫^b_ay(t)sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}dt)

(=2π∫^π_0rsin tsqrt{(−rsin t)^2+(rcos t)^2}dt)

(=2π∫^π_0rsin tsqrt{r^2sin^2t+r^2cos^2t}dt)

(=2π∫^π_0rsin tsqrt{r^2(sin^2t+cos^2t)}dt)

(=2π∫^π_0r^2sin tdt)

(=2πr^2(−cos t|^π_0))

(=2πr^2(−cosπ+cos0))

(=4πr^2.)

C'est en fait la formule de la surface d'une sphère.

Exercice (PageIndex{6})

Trouver la surface générée lorsque la courbe plane définie par les équations

[x(t)=t^3,y(t)=t^2,0≤t≤1]

tourne autour de l'axe des x.

Indice

Utilisez l'équation. Lors de l'évaluation de l'intégrale, utilisez une substitution en u.

Répondre

[A=dfrac{π(494sqrt{13}+128)}{1215}]

Concepts clés

  • La dérivée de la courbe définie paramétriquement (x=x(t)) et (y=y(t)) peut être calculée en utilisant la formule (dfrac{dy}{dx}=dfrac{y′ (t)}{x′(t)}).En utilisant la dérivée, nous pouvons trouver l'équation d'une ligne tangente à une courbe paramétrique.
  • L'aire entre une courbe paramétrique et l'axe des x peut être déterminée en utilisant la formule (A=∫^{t_2}_{t_1}y(t)x′(t)dt.)
  • La longueur de l'arc d'une courbe paramétrique peut être calculée en utilisant la formule (s=∫^{t_2}_{t_1}(dfrac{dx}{dt})^2+(dfrac{dy}{dt}) ^2dt).
  • La surface d'un volume de révolution tourné autour de l'axe des x est donnée par (S=2π∫^b_ay(t)sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2 }dt).
  • Si la courbe tourne autour de l'axe des y, alors la formule est (S=2π∫^b_asqrt{x(t)(x′(t))^2+(y′(t))^2} dt.)

Équations clés

  • Dérivée d'équations paramétriques

[dfrac{dy}{dx}=dfrac{dy/dt}{dx/dt}=dfrac{y′(t)}{x′(t)}]

  • Dérivée du second ordre des équations paramétriques

[dfrac{d^2y}{dx^2}=dfrac{d}{dx}(dfrac{dy}{dx})=dfrac{(d/dt)(dy/dx)}{dx /dt}]

  • Aire sous une courbe paramétrique

[A=∫^b_ay(t)x′(t)dt]

  • Longueur d'arc d'une courbe paramétrique

[s=∫^{t_2}_{t_1}sqrt{(dfrac{dx}{dt})^2+(dfrac{dy}{dt})^2}dt]

  • Surface générée par une courbe paramétrique

[S=2π∫^b_ay(t)sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2}dt]


Voir la vidéo: Maths: courbes paramétrées - définition et exemples (Décembre 2021).