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49 : Expressions rationnelles complexes


49 : Expressions rationnelles complexes

Simplifier une expression rationnelle complexe en l'écrivant sous forme de division

Nous avons déjà vu cette expression rationnelle complexe plus tôt dans ce tutoriel.

Nous avons noté que les barres de fraction nous disent de diviser, alors réécrivez-le en tant que problème de division

Ensuite, nous avons multiplié la première expression rationnelle par l'inverse de la seconde, comme nous le faisons lorsque nous divisons deux fractions.

C'est une méthode pour simplifier les expressions rationnelles. Nous l'écrivons comme si nous divisons deux fractions.


Examen mathématique des expressions rationnelles complexes

Une expression rationnelle complexe contient une fraction dans une fraction. En langage mathématique, c'est une expression rationnelle qui a une ou plusieurs expressions rationnelles contenues dans le numérateur, le dénominateur ou les deux. Il peut contenir ou non des variables. Les fractions du numérateur ou du dénominateur doivent d'abord être simplifiées, avant de pouvoir aborder l'autre expression rationnelle.

Définitions

Une expression rationnelle est un rapport. Des exemples de ratios simples qui ne contiennent pas de variables sont 2/3, 6/7 et 7/8. Les expressions rationnelles peuvent également inclure des variables, telles que (3x)/7, (9z + 2)/4 ou 3/(y + 1). Ils peuvent être simplifiés en une ou deux étapes. Les expressions rationnelles complexes (également appelées expressions fractionnaires complexes) sont des rapports qui contiennent des fractions dans des fractions. Les simplifier nécessite souvent plus d'une ou deux étapes.

Figure 1 : Une fraction complexe sous forme de symbole.

Simplifier le numérateur

Supposons qu'une expression rationnelle contienne les termes (2/3 + 1/4) au numérateur et 5 au dénominateur. Dans une méthode, la première étape pour simplifier l'expression rationnelle consiste à trouver le LCM pour les fractions du numérateur, en changeant chaque fraction en dénominateur commun équivalent et en effectuant l'opération. Dans cet exemple, 2/3 devient 8/12 et devient 3/12. Ajouter 8/12 et 3/12 équivaut à 11/12. Si une ou plusieurs variables dans l'expression rationnelle sont dans le numérateur, le processus est similaire. Supposons qu'une autre expression rationnelle complexe contienne une variable dans le numérateur, de sorte que les termes soient ([4x]/7 + x/9)/2. Dans ce cas, la première étape serait similaire : le LCM de 7 et 9 est 63, donc le numérateur devient 36x/63 + 7x/63 ou 43x/63. Le dénominateur est toujours 2.

Figure 2 : Simplification du rapport lorsqu'une fraction est dans le numérateur.

Simplifier le dénominateur

Si l'expression rationnelle est au dénominateur, le processus est similaire à la résolution de l'expression rationnelle au dénominateur. Cependant, s'il y a une variable dans le dénominateur, le dénominateur ne peut pas être égal à zéro. Ce serait la même chose que diviser par zéro, ce qui n'est pas défini par définition. Supposons que le numérateur soit 3 et que le dénominateur soit 11/12 + 1/20. En utilisant la même méthode, le LCM est de 60, donc les fractions du dénominateur deviennent 55/60 + 3/60 ou 58/60. (À son tour, 58/60 peut être simplifié en 29/30.) L'expression rationnelle devient 3/(29/30).

Figure 3 : Simplification du rapport lorsqu'une fraction est au dénominateur.

Simplifier l'ensemble du ratio

Que l'expression soit (11/12)/5, (43x/63)/2, 3/(29/30), 12/(3x + 1)/2, ou même (3/(2x + 1)/1 /2), la résolution du rapport au numérateur ou au dénominateur n'est qu'une partie du processus. Le rapport n'est pas entièrement simplifié tant que la fraction à l'intérieur de la fraction n'est pas terminée. Supposons que l'expression soit (11/12)/5. Cela équivaut à 11/12 1/5 = 11/60. De même, (43x/63)2 signifie la même chose que 43x/63 ∙ ½ ou 43x/126.

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L'étudiant doit être capable de :
Exécuter des compétences dans trois catégories : algèbre, géométrie/trigonométrie, représentation graphique et calculatrice graphique.

Remarque : Tout au long du cours, les étudiants doivent résoudre des problèmes appliqués liés aux sujets du cours.

  1. Utilisez des radians pour mesurer des angles.
  2. Trouvez des angles de référence pour les angles mesurés en degrés et en radians.
  3. Trouvez les fonctions trigonométriques pour un angle général.
  4. Utilisez des identités trigonométriques réciproques, pythagoriciennes et à double angle.
  5. Résoudre des équations trigonométriques.
  6. Effectuer des opérations et factoriser des expressions trigonométriques.
  7. Utilisez les formules de distance et de point médian.
  1. Identifier et représenter graphiquement les familles de relations suivantes :
  1. Représentez graphiquement des fonctions et des relations en utilisant diverses techniques graphiques : symétrie, réflexion et translation.
  2. Graphique des fonctions inverses.

Feuille de travail sur les expressions rationnelles complexes Pdf

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Simplifiez les fractions complexes en multipliant chaque terme par le plus petit dénominateur commun. Simplifiez en effaçant les fractions à l'aide de l'écran LCD de toutes les fractions de l'expression. Suivez ces étapes pour simplifier une expression rationnelle complexe en divisant.

Si nécessaire, ajoutez ou soustrayez pour obtenir une seule expression rationnelle. 7 5 expressions rationnelles complexes Les expressions rationnelles complexes ont des numérateurs ou des dénominateurs contenant une ou plusieurs expressions rationnelles. Les fractions complexes ont des fractions au numérateur ou au dénominateur ou généralement les deux.

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Tout ce que je sais, c'est que l'écran LCD est (x+5)(x+1)(x-2) et quand je multiplie dans chaque fraction, j'obtiens ceci.
(X+5)(X-2)(X-2) - (X+5)(X+1)(X+1)
-------------------------------------
(X+5)(X+1)(X+1) - (X+5)(X-2)(X-2)

vous avez raison. Continuez. est-ce que quelque chose s'annule ?

êtes-vous autorisé à annuler des équations algébriques similaires ?? quelle condition faut-il mettre pour annuler le terme commun au dénominateur et au numérateur

vous avez raison. Continuez. est-ce que quelque chose s'annule ?

êtes-vous autorisé à annuler des équations algébriques similaires ?? quelle condition faut-il mettre pour annuler le terme commun au dénominateur et au numérateur

Donc je les factorise que je multiplie par le LCD qui (x+5)(x+1)(x-2)

Ensuite, j'ai soustrait des termes similaires (x + 5), ce qui m'a laissé cela.

J'annule comme des termes qui sont tout donc j'ai eu ça

A votre avis, qu'est-ce que ça a l'air bien

J'ai déjà entendu cela avant et quand ils l'ont vu, les enseignants sont venus et ont crédité un supplément.

Je pense que c'est un point positif, une vertu et un avantage, d'être capable de reconnaître ce qui est spécial dans une expression ou un problème, et si le but est plutôt de pouvoir faire le problème général, alors les enseignants devraient poser une question qui ne peut être traité de manière générale.

Cependant, si vous pensez que vous ne pouvez pas vous permettre de le présenter d'une autre manière, faites au moins le calcul de la manière la plus simple d'abord, car vous serez alors en mesure de reconnaître votre erreur lorsque vous l'avez fait à la dure et de la corriger également !


Comment diviser des expressions rationnelles ?

La division d'expressions rationnelles suit la même règle de division de deux fractions numériques.

Les étapes impliquées dans la division de deux expressions rationnelles sont :

  • Factorisez à la fois les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction. Vous devez savoir factoriser des équations quadratiques et cubiques.
  • Passez du signe de division au signe de multiplication et inversez les expressions rationnelles après le signe d'opération.
  • Simplifiez les fractions en annulant les termes communs aux numérateurs et aux dénominateurs. Veillez à annuler les facteurs et non les termes.
  • Enfin, réécrivez les expressions restantes.

Voici quelques exemples qui expliqueront mieux la technique d'expression rationnelle divisante.

[(x 2 + 3x – 28)/ ​​(x 2 + 4x + 4)] ÷ [(x 2 – 49)/ (x 2 – 5x- 14)]

= (x 2 + 3x – 28)/ ​​(x 2 + 4x + 4)] ÷ [(x 2 – 49)/ (x 2 – 5x – 14)

Factorisez à la fois les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction.

x 2 – 49 = x 2 – 7 2 = (x – 7) (x + 7)

= [(x – 4) (x + 7)/ (x + 2) (x + 2)] ÷ [(x -7) (x + 7)/ (x – 7) (x + 2 )]

Maintenant, multipliez la première fraction par l'inverse de la deuxième fraction.

= [(x – 4) (x + 7)/ (x + 2) (x + 2)] * [(x – 7) (x + 2)/ (x – 7) (x + 7)]

En annulant les termes communs et en réécrivant les facteurs restants pour obtenir

Diviser [(2t 2 + 5t + 3)/ (2t 2 +7t +6)] ÷ [(t 2 + 6t + 5)/ (-5t 2 – 35t – 50)]

Factorisez les numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction.

⟹ -5t 2 – 35t -50 = -5(t 2 + 7t + 10)

= [(t + 1) (2t + 3)/ (2t + 3) (t + 2)] ÷ [(t + 1) (t + 5)/-5(t + 2) (t + 5)]

Multipliez par l'inverse de la deuxième expression rationnelle.

= [(t + 1) (2t + 3)/ (2t + 3) (t + 2)] * [-5(t + 2) (t + 5)/ (t + 1) (t + 5)]

Factoriser les numérateurs de la deuxième fraction

Multiplier par la réciproque

En annulant les termes communs, nous obtenons la réponse comme

Simplifier [(12a 2 – 22a + 8)/3a] ÷ [(3a 2 + 2a – 8)/ (2a 2 + 4a)]

⟹ 12 ans 2 – 22 ans + 8 = 2 (6 ans 2 – 11 ans + 4)

= [(12a 2 – 22a + 8)/3a] ÷ [(3a 2 + 2a – 8)/ (2a 2 + 4a)]

= [2(3a – 4) (a – 1)/3a] ÷ [a + 2) (3a – 4)/2a (a + 2)]

= [2(3a – 4) (2a – 1)/3a] * [a (a + 2)/ (a + 2) (3a – 4)]


3.2 Expressions rationnelles

Soient (p) et (q) des fonctions polynomiales de (x) et (p) n'est pas une fonction constante. On appelle la fonction (r(x)=frac) une fonction rationnelle. Le domaine de (r) est () . L'expression (frac) est appelé un expression rationnelle, le polynôme (q(x)) est appelé le numérateur, et le polynôme (q(x)) est appelé le dénominateur. Une expression rationnelle est simplifié si le numérateur et le dénominateur n'ont pas d'autre facteur commun que (1) .

Soit (p(x)) , (q(x)) des polynômes avec (q(x) eq 0) et (c(x)) une expression non nulle. Alors [ dfrac<


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49 : Expressions rationnelles complexes

Division d'expressions rationnelles (page 2 de 2)

Pour diviser des expressions rationnelles, vous utiliserez la même méthode que celle que vous avez utilisée pour diviser des fractions numériques : lors de la division par une fraction, vous retournez-n-multipliez. Par exemple:

Pour simplifier cette division, je vais la convertir en multiplication en retournant ce que je divise, c'est-à-dire, je vais passer de la division par une fraction à la multiplication par l'inverse de cette fraction. Ensuite je vais simplifier comme d'habitude :

Les 2 peuvent-ils s'annuler à partir des 20 ? Non! C'est aussi simplifié que la fraction obtient.

Pour simplifier cela, je vais d'abord flip-n-multiply. Ensuite, pour simplifier la multiplication, je factoriserai les numérateurs et les dénominateurs, puis j'annulerai tous les facteurs dupliqués. Mon travail ressemble à ceci :

Alors la réponse est : Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 Tous droits réservés

Tout d'abord, je vais devoir retourner la deuxième fraction et passer de la division à la multiplication. Ensuite, je vais prendre en compte, et voir si quelque chose s'annule.

(Pouvez-vous annuler les 6 ? ou les X 's? Non! Ce qui précède est aussi simplifié que cela devient !)

Pour des raisons qui deviendront claires lors de l'addition et de la soustraction de rationnels , le numérateur est généralement multiplié ("simplifié" pour se débarrasser des parenthèses), tandis que le dénominateur est généralement laissé sous forme factorisée.

Assurez-vous de savoir comment factoriser les quadratiques et les cubiques , car, comme vous l'avez vu, cela est nécessaire pour la plupart des problèmes que vous allez faire. Assurez-vous également de ne supprimer que les facteurs, pas les termes. Si vous pouvez garder cela droit, alors vous vous en sortirez probablement bien.


Nombres rationnels

Julia a un type de nombre rationnel pour représenter des rapports exacts d'entiers. Les rationnels sont construits à l'aide de l'opérateur // :

Si le numérateur et le dénominateur d'un rationnel ont des facteurs communs, ils sont réduits aux termes les plus bas tels que le dénominateur est non négatif :

Cette forme normalisée pour un rapport d'entiers est unique, donc l'égalité des valeurs rationnelles peut être testée en vérifiant l'égalité du numérateur et du dénominateur. Le numérateur et le dénominateur normalisés d'une valeur rationnelle peuvent être extraits à l'aide des fonctions numérateur et dénominateur :

La comparaison directe du numérateur et du dénominateur n'est généralement pas nécessaire, car les opérations arithmétiques et de comparaison standard sont définies pour des valeurs rationnelles :

Les rationnels peuvent facilement être convertis en nombres à virgule flottante :

La conversion de rationnel en virgule flottante respecte l'identité suivante pour toutes les valeurs entières de a et b , à l'exception du cas a == 0 et b == 0 :

Construire des valeurs rationnelles infinies est acceptable :

Cependant, essayer de construire une valeur rationnelle NaN n'est pas valide :

Comme d'habitude, le système de promotion facilite les interactions avec d'autres types numériques :


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