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2.2 : Fonctions et notation des fonctions - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Déterminer si une relation représente une fonction.
  • Trouver la valeur d'une fonction.
  • Déterminez si une fonction est un-à-un.
  • Utilisez le test de la ligne verticale pour identifier les fonctions.
  • Représentez graphiquement les fonctions répertoriées dans la bibliothèque de fonctions.

Un avion de ligne change d'altitude à mesure que sa distance par rapport au point de départ d'un vol augmente. Il existe une relation entre les deux quantités que nous pouvons décrire, analyser et utiliser pour faire des prédictions. Dans cette section, nous analyserons ces relations.

Déterminer si une relation représente une fonction

Une relation est un ensemble de paires ordonnées. L'ensemble des premières composantes de chaque paire ordonnée est appelé le domaine et l'ensemble des deuxièmes composantes de chaque paire ordonnée est appelé la plage. Considérez l'ensemble suivant de paires ordonnées. Les premiers nombres de chaque paire sont les cinq premiers nombres naturels. Le deuxième nombre de chaque paire est le double du premier.

[{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} ag{1.1.1}]

Le domaine est ({1, 2, 3, 4, 5}). La plage est ({2, 4, 6, 8, 10}).

Notez que chaque valeur du domaine est également appelée un contribution valeur, ou variable indépendante, et est souvent étiqueté avec la lettre minuscule (x). Chaque valeur de la plage est également appelée valeur de sortie, ou variable dépendante, et est souvent étiqueté en minuscule (y).

Une fonction (f) est une relation qui attribue une valeur unique dans la plage à chaque valeur du domaine. En d'autres termes, aucune valeur x n'est répétée. Pour notre exemple qui relie les cinq premiers nombres naturels pour que les nombres doublent leurs valeurs, cette relation est une fonction car chaque élément du domaine, {1, 2, 3, 4, 5}, est apparié avec exactement un élément de la plage, ({2, 4, 6, 8, 10}).

Considérons maintenant l'ensemble de paires ordonnées qui relie les termes « pair » et « impair » aux cinq premiers nombres naturels. Il apparaîtrait comme

[mathrm{{(impair, 1), (pair, 2), (impair, 3), (pair, 4), (impair, 5)}} ag{1.1.2}]

Notez que chaque élément du domaine, {pair, impair} n'est pas associé à exactement un élément de la plage, ({1, 2, 3, 4, 5}). Par exemple, le terme « impair » correspond à trois valeurs du domaine, ({1, 3, 5}) et le terme « pair » correspond à deux valeurs de la plage, ({2, 4 }). Cela viole la définition d'une fonction, donc cette relation n'est pas une fonction.

La figure (PageIndex{1}) compare les relations qui sont des fonctions et non des fonctions.

Une fonction

UNE une fonction est une relation dans laquelle chaque valeur d'entrée possible conduit à exactement une valeur de sortie. Nous disons « la sortie est fonction de l'entrée ».

le contribution les valeurs constituent le domaine, et le production les valeurs constituent le intervalle.

Mode d'emploi : étant donné une relation entre deux quantités, déterminez si la relation est une fonction

  1. Identifiez les valeurs d'entrée.
  2. Identifiez les valeurs de sortie.
  3. Si chaque valeur d'entrée ne conduit qu'à une seule valeur de sortie, classez la relation en tant que fonction. Si une valeur d'entrée conduit à deux sorties ou plus, ne classez pas la relation en tant que fonction.

Exemple (PageIndex{1}) : Déterminer si les listes de prix des menus sont des fonctions

Le menu du café, illustré à la figure (PageIndex{2}) se compose d'articles et de leurs prix.

  1. Le prix est-il fonction de l'article ?
  2. L'article est-il fonction du prix ?

Solution

  1. Commençons par considérer l'entrée comme les éléments du menu. Les valeurs de sortie sont alors les prix. Voir la figure (PageIndex{3}).

Chaque élément du menu n'a qu'un seul prix, donc le prix est fonction de l'élément.

  1. Deux éléments du menu ont le même prix. Si nous considérons les prix comme les valeurs d'entrée et les articles comme la sortie, alors la même valeur d'entrée pourrait avoir plus d'une sortie associée. Voir la figure (PageIndex{4}).

Par conséquent, l'article n'est pas fonction du prix.

Exemple (PageIndex{2}) : déterminer si les règles de notation de classe sont des fonctions

Dans une classe de mathématiques particulière, la note globale en pourcentage correspond à une moyenne pondérée cumulative. La moyenne pondérée cumulative est-elle fonction de la note en pourcentage ? La note en pourcentage est-elle fonction de la moyenne pondérée cumulative ? Le tableau (PageIndex{1}) montre une règle possible pour attribuer des notes.

Tableau (PageIndex{1}) : notes de la classe.
Pourcentage de note0–5657–6162–6667–7172–7778–8687–9192–100
Moyenne pondérée cumulative0.01.01.52.02.53.03.54.0

Solution

Pour toute note en pourcentage obtenue, il existe une moyenne pondérée cumulative associée, de sorte que la moyenne pondérée cumulative est fonction de la note en pourcentage. En d'autres termes, si nous saisissons la note en pourcentage, le résultat est une moyenne pondérée cumulative spécifique.

Dans le système de notation donné, il existe une gamme de notes en pourcentage qui correspondent à la même moyenne pondérée cumulative. Par exemple, les élèves qui reçoivent une moyenne pondérée cumulative de 3,0 pourraient avoir une variété de notes en pourcentage allant de 78 à 86. Ainsi, la note en pourcentage n'est pas fonction de la moyenne pondérée cumulative.

Exercice (PageIndex{2})

Le tableau (PageIndex{2}) répertorie les cinq plus grands joueurs de baseball de tous les temps par ordre de classement.

Tableau (PageIndex{2}) : cinq plus grands joueurs de baseball.
JoueurRang
Babe Ruth1
Willie Mays2
Ty Cobb3
Walter Johnson4
Hank Aaron5
  1. Le rang est-il fonction du nom du joueur ?
  2. Le nom du joueur est-il fonction du rang ?
Répondre à un

Oui

Réponse b

Oui. (Remarque : si deux joueurs avaient été à égalité pour, disons, la 4e place, alors le nom n'aurait pas été fonction du rang.)

Utilisation de la notation de fonction

Une fois que nous avons déterminé qu'une relation est une fonction, nous devons afficher et définir les relations fonctionnelles afin de pouvoir les comprendre et les utiliser, et parfois aussi afin de pouvoir les programmer dans des ordinateurs. Il existe différentes manières de représenter les fonctions. Une notation de fonction standard est une représentation qui facilite le travail avec les fonctions.

Pour représenter « la taille est fonction de l'âge », nous commençons par identifier les variables descriptives (h) pour la taille et (a) pour l'âge. Les lettres (f), (g) et (h) sont souvent utilisées pour représenter des fonctions tout comme nous utilisons (x), (y) et (z) pour représenter nombres et (A), (B) et (C) pour représenter des ensembles.

[egin{array}{ll} h ext{ est } f ext{ of }a ;;;;;; & ext{Nous nommons la fonction }f ext{; la taille est fonction de l'âge.} h=f(a) & ext{Nous utilisons des parenthèses pour indiquer l'entrée de la fonction.} f(a) & ext{Nous nommons la fonction }f ext{ ; l'expression est lue comme " }f ext{ of }a ext{."}end{array}]

N'oubliez pas que nous pouvons utiliser n'importe quelle lettre pour nommer la fonction ; la notation (h(a)) nous montre que (h) dépend de (a). La valeur (a) doit être mise dans la fonction (h) pour obtenir un résultat. Les parenthèses indiquent que l'âge est entré dans la fonction ; ils n'indiquent pas la multiplication.

Nous pouvons également donner une expression algébrique en entrée d'une fonction. Par exemple (f(a+b)) signifie « ajoutez d'abord (a) et (b), et le résultat est l'entrée pour la fonction (f). » Les opérations doivent être effectuées dans cet ordre pour obtenir le résultat correct.

Notation de fonction

La notation (y=f(x)) définit une fonction nommée (f). Ceci est lu comme "(y) est une fonction de (x)." La lettre (x) représente la valeur d'entrée, ou variable indépendante. La lettre (y), ou (f(x)), représente la valeur de sortie ou la variable dépendante.

Exemple (PageIndex{3}) : Utilisation de la notation de fonction pour les jours d'un mois

Utilisez la notation de fonction pour représenter une fonction dont l'entrée est le nom d'un mois et la sortie est le nombre de jours de ce mois.

Solution

Utilisation de la notation de fonction pour les jours d'un mois

Utilisez la notation de fonction pour représenter une fonction dont l'entrée est le nom d'un mois et la sortie est le nombre de jours de ce mois.

Le nombre de jours dans un mois est fonction du nom du mois, donc si on nomme la fonction (f), on écrit (mathrm{days=f(month)}) ou (mathrm {d=f(m)}). Le nom du mois est l'entrée d'une « règle » qui associe un nombre spécifique (la sortie) à chaque entrée.

Par exemple, (mathrm{f(March)=31}), car mars a 31 jours. La notation (d=f(m)) nous rappelle que le nombre de jours, (d) (la sortie), dépend du nom du mois, (m) (l'entrée).

Analyse

Notez que les entrées d'une fonction ne doivent pas nécessairement être des nombres ; les entrées de fonction peuvent être des noms de personnes, des étiquettes d'objets géométriques ou tout autre élément qui détermine un type de sortie. Cependant, la plupart des fonctions avec lesquelles nous travaillerons dans ce livre auront des nombres comme entrées et sorties.

Exemple (PageIndex{3B}) : Interprétation de la notation de fonction

Une fonction (N=f(y)) donne le nombre de policiers, (N), dans une ville en l'année (y). Que représente (f(2005)=300) ?

Solution

Lorsque nous lisons (f(2005)=300), nous voyons que l'année d'entrée est 2005. La valeur pour la sortie, le nombre de policiers ((N)), est 300. Rappelez-vous, (N =f(y)). La déclaration (f(2005)=300) nous dit qu'en 2005, il y avait 300 policiers dans la ville.

Exercice (PageIndex{3})

Utilisez la notation fonctionnelle pour exprimer le poids d'un porc en livres en fonction de son âge en jours (d).

Répondre

(w=f(d))

Questions et réponses

Au lieu d'une notation telle que (y=f(x)), pourrions-nous utiliser le même symbole pour la sortie que pour la fonction, comme (y=y(x)), ce qui signifie « y est une fonction de x ?"

Oui, cela se fait souvent, en particulier dans les matières appliquées qui utilisent des mathématiques supérieures, telles que la physique et l'ingénierie. Cependant, en explorant les mathématiques elles-mêmes, nous aimons maintenir une distinction entre une fonction telle que (F), qui est une règle ou une procédure, et la sortie y que nous obtenons en appliquant (F) à une entrée particulière (X). C'est pourquoi nous utilisons généralement des notations telles que (y=f(x),P=W(d)), etc.

Représentation de fonctions à l'aide de tables

Une méthode courante de représentation des fonctions est sous la forme d'un tableau. Les lignes ou colonnes du tableau affichent les valeurs d'entrée et de sortie correspondantes. Dans certains cas, ces valeurs représentent tout ce que nous savons sur la relation ; d'autres fois, le tableau fournit quelques exemples choisis d'une relation plus complète.

Le tableau (PageIndex{3}) répertorie le numéro d'entrée de chaque mois ((janvier=1), (février=2), et ainsi de suite) et la valeur de sortie du nombre de jours de ce mois . Ces informations représentent tout ce que nous savons sur les mois et les jours d'une année donnée (qui n'est pas une année bissextile). Notez que, dans ce tableau, nous définissons une fonction jours dans un mois (f) où (D=f(m)) identifie les mois par un entier plutôt que par un nom.

Tableau (PageIndex{3}) : mois et nombre de jours par mois.

Numéro du mois, (m) (entrée)

123456789101112
Jours du mois, (D) (sortie)312831303130313130313031

La table (PageIndex{4}) définit une fonction (Q=g(n)) Rappelez-vous, cette notation nous dit que (g) est le nom de la fonction qui prend l'entrée (n) et donne la sortie (Q).

Tableau (PageIndex{4}): Fonction (Q=g(n))

(n)

12345
(Q)86768

Le tableau (PageIndex{5}) affiche l'âge des enfants en années et leurs tailles correspondantes. Ce tableau présente quelques-unes des données disponibles pour la taille et l'âge des enfants. On voit tout de suite que ce tableau ne représente pas une fonction car la même valeur d'entrée, 5 ans, a deux valeurs de sortie différentes, 40 pouces et 42 pouces.

Tableau (PageIndex{5}): Âge des enfants et leurs tailles correspondantes.

Âge en années, (a) (entrée)

55678910
Hauteur en pouces, (h) (sortie)40424447505254

Comment : Étant donné un tableau de valeurs d'entrée et de sortie, déterminez si le tableau représente une fonction

  1. Identifiez les valeurs d'entrée et de sortie.
  2. Vérifiez si chaque valeur d'entrée est associée à une seule valeur de sortie. Si c'est le cas, la table représente une fonction.

Exemple (PageIndex{5}) : Identification des tables qui représentent des fonctions

Quelle table, la table (PageIndex{6}), la table (PageIndex{7}) ou la table (PageIndex{8}), représente une fonction (le cas échéant) ?

Tableau (PageIndex{6})
Contribution

Production

21
53
86
Tableau (PageIndex{7})
Contribution

Production

-35
01
45
Tableau (PageIndex{8})
Contribution

Production

10
52
54

Solution

La table (PageIndex{6}) et la table (PageIndex{7}) définissent des fonctions. Dans les deux cas, chaque valeur d'entrée correspond à exactement une valeur de sortie. La table (PageIndex{8}) ne définit pas de fonction car la valeur d'entrée de 5 correspond à deux valeurs de sortie différentes.

Lorsqu'un tableau représente une fonction, les valeurs d'entrée et de sortie correspondantes peuvent également être spécifiées à l'aide de la notation de fonction.

La fonction représentée par Table (PageIndex{6}) peut être représentée en écrivant

[f(2)=1 ext{, }f(5)=3 ext{ et }f(8)=6 onumber]

De même, les déclarations

[g(−3)=5 ext{, }g(0)=1 ext{ et }g(4)=5 onumber]

représentent la fonction dans le tableau (PageIndex{7}).

La table (PageIndex{8}) ne peut pas être exprimée de la même manière car elle ne représente pas une fonction.

Exercice (PageIndex{5})

La table (PageIndex{9}) représente-t-elle une fonction ?

Tableau (PageIndex{9})
Contribution

Production

110
2100
31000
Répondre

Oui

Recherche des valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction

Lorsque nous connaissons une valeur d'entrée et que nous voulons déterminer la valeur de sortie correspondante pour une fonction, nous évaluons la fonction. L'évaluation produira toujours un résultat car chaque valeur d'entrée d'une fonction correspond à exactement une valeur de sortie.

Lorsque nous connaissons une valeur de sortie et que nous voulons déterminer les valeurs d'entrée qui produiraient cette valeur de sortie, nous définissons la sortie égale à la formule de la fonction et résolvons l'entrée. La résolution peut produire plusieurs solutions car différentes valeurs d'entrée peuvent produire la même valeur de sortie.

Évaluation des fonctions dans les formes algébriques

Lorsque nous avons une fonction sous forme de formule, il est généralement simple d'évaluer la fonction. Par exemple, la fonction (f(x)=5−3x^2) peut être évaluée en mettant au carré la valeur d'entrée, en multipliant par 3, puis en soustrayant le produit de 5.

Comment : Étant donné la formule d'une fonction, évaluez.

Étant donné la formule d'une fonction, évaluer.

  1. Remplacez la variable d'entrée dans la formule par la valeur fournie.
  2. Calculer le résultat.

Exemple (PageIndex{6A}): Évaluation de fonctions à des valeurs spécifiques

1. Évaluer (f(x)=x^2+3x−4) à

  1. (2)
  2. (une)
  3. (a+h)

2. Évaluer (frac{f(a+h)−f(a)}{h})

Solution

Remplacez le x dans la fonction par chaque valeur spécifiée.

une. Parce que la valeur d'entrée est un nombre, 2, nous pouvons utiliser une algèbre simple pour simplifier.

[egin{align}f(2)&=2^2+3(2)−4&=4+6−4 &=6end{align}]

b. Dans ce cas, la valeur d'entrée est une lettre, nous ne pouvons donc pas simplifier davantage la réponse.

[f(a)=a^2+3a−4]

c. Avec une valeur d'entrée de (a+h), nous devons utiliser la propriété distributive.

[egin{align}f(a+h)&=(a+h)^2+3(a+h)−4&=a^2+2ah+h^2+3a+3h−4 end{aligner}]

ré. Dans ce cas, nous appliquons les valeurs d'entrée à la fonction plus d'une fois, puis effectuons des opérations algébriques sur le résultat. On a déjà trouvé ça

[f(a+h)=a^2+2ah+h^2+3a+3h−4]

et nous savons que

[f(a)=a^2+3a−4 ]

Maintenant, nous combinons les résultats et simplifions.

[egin{align}dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}&=dfrac{(a^2+2ah+h^2+3a+3h−4)−(a ^2+3a−4)}{h} &=dfrac{(ah+h^2+3h)}{h} &=dfrac{h(a+h+3)}{h} & ext{Factor out h.} &=2a+h+3 & ext{Simplify.}end{align}]

Exemple (PageIndex{6B}) : évaluation de fonctions

Étant donné la fonction (h(p)=p^2+2p), évaluer (h(4)).

Solution

Pour évaluer (h(4)), nous substituons la valeur 4 à la variable d'entrée p dans la fonction donnée.

[egin{align}h(p)&=p^2+2ph(4)&=(4)^2+2(4) &=16+8&=24end {aligner}]

Par conséquent, pour une entrée de 4, nous avons une sortie de 24.

Exercice (PageIndex{6})

Étant donné la fonction (g(m)=sqrt{m−4}), évaluer (g(5)).

Répondre

(g(5)=1)

Exemple (PageIndex{7}): Fonctions de résolution

Étant donné la fonction (h(p)=p^2+2p), résolvez pour (h(p)=3).

Solution

[egin{array}{rl} h(p)=3p^2+2p=3 & ext{Remplacer la fonction originale} p^2+2p−3=0 & ext{Soustraire 3 de chaque côté.}(p+3)(p−1)=0& ext{Factor.}end{array}]

Si ((p+3)(p−1)=0), soit ((p+3)=0) soit ((p−1)=0) (ou les deux valent 0) . Nous allons définir chaque facteur égal à 0 et résoudre pour (p) dans chaque cas.

[(p+3)=0,; p=−3 onuméro ]

[(p−1)=0,, p=1 onumber]

Cela nous donne deux solutions.La sortie (h(p)=3) lorsque l'entrée est soit (p=1) soit (p=−3). Nous pouvons également vérifier en graphique comme dans la figure (PageIndex{6}). Le graphe vérifie que (h(1)=h(−3)=3) et (h(4)=24).

Exercice (PageIndex{7})

Étant donné la fonction (g(m)=sqrt{m−4}), résolvez (g(m)=2).

Répondre

(m=8)

Évaluation des fonctions exprimées dans les formules

Certaines fonctions sont définies par des règles ou procédures mathématiques exprimées en équation forme. S'il est possible d'exprimer la fonction de sortie avec une formule impliquant la quantité d'entrée, alors nous pouvons définir une fonction sous forme algébrique. Par exemple, l'équation (2n+6p=12) exprime une relation fonctionnelle entre (n) et (p). Nous pouvons le réécrire pour décider si (p) est une fonction de (n).

Comment : Étant donnée une fonction sous forme d'équation, écrivez sa formule algébrique.

  1. Résolvez l'équation pour isoler la variable de sortie d'un côté du signe égal, avec l'autre côté comme une expression qui implique uniquement la variable d'entrée.
  2. Utilisez toutes les méthodes algébriques habituelles pour résoudre des équations, telles que l'addition ou la soustraction de la même quantité des deux côtés, ou la multiplication ou la division des deux côtés de l'équation par la même quantité.

Exemple (PageIndex{8A}): Recherche d'une équation d'une fonction

Exprimez la relation (2n+6p=12) sous la forme d'une fonction (p=f(n)), si possible.

Solution

Pour exprimer la relation sous cette forme, nous devons être capables d'écrire la relation où (p) est une fonction de (n), ce qui signifie l'écrire sous la forme (p= ext{[expression impliquant n] }).

[egin{align*}2n+6p&=12 6p&=12−2n & ext{Soustraire 2n des deux côtés.} p&=dfrac{12−2n}{6} & ext{Diviser les deux côtés par 6 et simplifier.} p&=frac{12}{6}−frac{2n}{6} p&=2−frac{1}{3}nend{align*} ]

Par conséquent, (p) en fonction de (n) s'écrit sous la forme

[p=f(n)=2−13n onumber]

Analyse

Il est important de noter que toutes les relations exprimées par une équation ne peuvent pas également être exprimées sous forme de fonction avec une formule.

Exemple (PageIndex{8B}) : exprimer l'équation d'un cercle en tant que fonction

L'équation (x^2+y^2=1) représente-t-elle une fonction avec (x) en entrée et (y) en sortie ? Si c'est le cas, exprimez la relation sous la forme d'une fonction (y=f(x)).

Solution

Tout d'abord, nous soustrayons (x^2) des deux côtés.

[y^2=1−x^2]

Nous essayons maintenant de résoudre pour (y) dans cette équation.

[y=pmsqrt{1−x^2}]

[=pmsqrt{1−x^2}; ext{and};−sqrt{1−x^2}]

Nous obtenons deux sorties correspondant à la même entrée, donc cette relation ne peut pas être représentée comme une seule fonction (y=f(x)).

Exercice (PageIndex{8})

Si (x−8y^3=0), exprimer (y) en fonction de (x).

Répondre

(y=f(x)=dfrac{sqrt[3]{x}}{2})

Questions et réponses

Existe-t-il des relations exprimées par une équation qui représentent une fonction mais qui ne peuvent toujours pas être représentées par une formule algébrique ?

Oui, cela peut arriver. Par exemple, étant donné l'équation (x=y+2^y), si nous voulons exprimer y en fonction de x, il n'y a pas de formule algébrique simple impliquant seulement (x) qui vaut (y) . Cependant, chaque (x) détermine une valeur unique pour (y), et il existe des procédures mathématiques par lesquelles (y) peut être trouvé avec la précision souhaitée. Dans ce cas, nous disons que l'équation donne une règle implicite (implicite) pour (y) en fonction de (x), même si la formule ne peut pas être écrite explicitement.

Évaluation d'une fonction donnée sous forme tabulaire

Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons représenter des fonctions dans des tableaux. Inversement, nous pouvons utiliser des informations dans des tableaux pour écrire des fonctions, et nous pouvons évaluer des fonctions à l'aide des tableaux. Par exemple, dans quelle mesure nos animaux de compagnie se souviennent-ils des bons souvenirs que nous partageons avec eux ? Il existe une légende urbaine selon laquelle un poisson rouge a une mémoire de 3 secondes, mais ce n'est qu'un mythe. Le poisson rouge peut se souvenir jusqu'à 3 mois, tandis que le poisson bêta a une mémoire allant jusqu'à 5 mois. Et tandis que la durée de mémoire d'un chiot ne dépasse pas 30 secondes, le chien adulte peut se souvenir pendant 5 minutes. C'est maigre comparé à un chat, dont la mémoire dure 16 heures.

La fonction qui relie le type d'animal à la durée de sa mémoire est plus facilement visualisée à l'aide d'un tableau (Table (PageIndex{10})).

Tableau (PageIndex{10})

Mémoire d'animal de compagnie

durée en heures

Chiot0.008
Chien adulte0.083
Chat3
Poisson rouge2160
Poisson bêta3600

Parfois, l'évaluation d'une fonction sous forme de tableau peut être plus utile que l'utilisation d'équations. Appelons ici la fonction (P). Le domaine de la fonction est le type d'animal et la plage est un nombre réel représentant le nombre d'heures de mémoire de l'animal. Nous pouvons évaluer la fonction (P) à la valeur d'entrée de « poisson rouge ». On écrirait (P(poisson rouge)=2160). Notez que, pour évaluer la fonction sous forme de tableau, nous identifions la valeur d'entrée et la valeur de sortie correspondante à partir de la ligne pertinente du tableau. La forme tabulaire de la fonction P semble parfaitement adaptée à cette fonction, plus que de l'écrire sous forme de paragraphe ou de fonction.

HowTo : étant donné une fonction représentée par un tableau, identifiez des valeurs de sortie et d'entrée spécifiques

1. Recherchez l'entrée donnée dans la ligne (ou la colonne) des valeurs d'entrée.
2. Identifiez la valeur de sortie correspondante associée à cette valeur d'entrée.
3. Recherchez les valeurs de sortie données dans la ligne (ou la colonne) des valeurs de sortie, en notant chaque fois que cette valeur de sortie apparaît.
4. Identifiez la ou les valeurs d'entrée correspondant à la valeur de sortie donnée.

Exemple (PageIndex{9}) : évaluation et résolution d'une fonction tabulaire

Utilisation du tableau (PageIndex{11}),

une. Évaluez (g(3)).
b. Résoudre (g(n)=6).

Tableau (PageIndex{11})

(n)

12345
(g(n))86768

Solution

une. Évaluer (g(3)) revient à déterminer la valeur de sortie de la fonction (g) pour la valeur d'entrée de (n=3). La valeur de sortie du tableau correspondant à (n=3) est 7, donc (g(3)=7).
b. Résoudre (g(n)=6) signifie identifier les valeurs d'entrée, n, qui produisent une valeur de sortie de 6. Le tableau (PageIndex{12}) montre deux solutions : 2 et 4.

Tableau (PageIndex{12})

(n)

12345
(g(n))86768

Lorsque nous saisissons 2 dans la fonction (g), notre sortie est 6. Lorsque nous saisissons 4 dans la fonction (g), notre sortie est également 6.

Exercice (PageIndex{1})

À l'aide de la table (PageIndex{12}), évaluez (g(1)).

Répondre

(g(1)=8)

Recherche de valeurs de fonction à partir d'un graphique

Évaluer une fonction à l'aide d'un graphique nécessite également de trouver la valeur de sortie correspondante pour une valeur d'entrée donnée, seulement dans ce cas, nous trouvons la valeur de sortie en regardant le graphique. Résoudre une équation de fonction à l'aide d'un graphique nécessite de trouver toutes les instances de la valeur de sortie donnée sur le graphique et d'observer la ou les valeurs d'entrée correspondantes.

Exemple (PageIndex{10}) : Lecture de valeurs de fonction à partir d'un graphique

Étant donné le graphique de la figure (PageIndex{7}),

  1. Évaluez (f(2)).
  2. Résoudre (f(x)=4).

Solution

Pour évaluer (f(2)), localisez le point sur la courbe où (x=2), puis lisez la coordonnée y de ce point. Le point a pour coordonnées ((2,1)), donc (f(2)=1). Voir la figure (PageIndex{8}).

Pour résoudre (f(x)=4), nous trouvons la valeur de sortie 4 sur l'axe vertical. En se déplaçant horizontalement le long de la ligne (y=4), nous localisons deux points de la courbe avec la valeur de sortie 4: ((−1,4)) et ((3,4)). Ces points représentent les deux solutions de (f(x)=4) : −1 ou 3. Cela signifie (f(−1)=4) et (f(3)=4), ou lorsque l'entrée est -1 ou 3, la sortie est 4. Voir Figure (PageIndex{9}).

Exercice (PageIndex{10})

Étant donné le graphique de la figure (PageIndex{7}), résolvez (f(x)=1).

Répondre

(x=0) ou (x=2)

Déterminer si une fonction est un-à-un

Certaines fonctions ont une valeur de sortie donnée qui correspond à deux ou plusieurs valeurs d'entrée. Par exemple, dans le graphique boursier présenté dans la figure au début de ce chapitre, le cours de l'action était de 1 000 $ à cinq dates différentes, ce qui signifie qu'il y avait cinq valeurs d'entrée différentes qui ont toutes abouti à la même valeur de sortie de 1 000 $.

Cependant, certaines fonctions n'ont qu'une seule valeur d'entrée pour chaque valeur de sortie, ainsi qu'une seule sortie pour chaque entrée. Nous appelons ces fonctions des fonctions un-à-un. À titre d'exemple, considérons une école qui utilise uniquement des notes en lettres et des équivalents décimaux, comme indiqué dans le tableau (PageIndex{13}).

Tableau (PageIndex{13}) : notes alphabétiques et équivalents décimaux.
Classement par lettreMoyenne pondérée cumulative
UNE4.0
B3.0
C2.0
1.0

Ce système de notation représente une fonction un-à-un, car chaque entrée de lettre donne une sortie de moyenne pondérée cumulative particulière et chaque moyenne pondérée cumulative correspond à une lettre d'entrée.

Pour visualiser ce concept, examinons à nouveau les deux fonctions simples esquissées dans les figures (PageIndex{1a}) et (PageIndex{1b}). La fonction de la partie (a) montre une relation qui n'est pas une fonction un à un car les entrées (q) et (r) donnent toutes deux la sortie (n). La fonction de la partie (b) montre une relation qui est une fonction un à un car chaque entrée est associée à une seule sortie.

Fonctions individuelles

UNE fonction un à un est une fonction dans laquelle chaque valeur de sortie correspond à exactement une valeur d'entrée.

Exemple (PageIndex{11}) : déterminer si une relation est une fonction un-à-un

L'aire d'un cercle est-elle fonction de son rayon ? Si oui, la fonction est-elle individuelle ?

Solution

Un cercle de rayon (r) a une mesure d'aire unique donnée par (A={pi}r^2), donc pour toute entrée, (r), il n'y a qu'une seule sortie, (A ). L'aire est fonction du rayon(r).

Si la fonction est un à un, la valeur de sortie, la zone, doit correspondre à une valeur d'entrée unique, le rayon. Toute mesure d'aire (A) est donnée par la formule (A={pi}r^2). Les aires et les rayons étant des nombres positifs, il existe exactement une solution :(sqrt{frac{A}{pi}}). Ainsi, l'aire d'un cercle est une fonction un à un du rayon du cercle.

Exercice (PageIndex{11A})

  1. Un solde est-il fonction du numéro de compte bancaire ?
  2. Un numéro de compte bancaire est-il fonction du solde ?
  3. Un solde est-il une fonction univoque du numéro de compte bancaire ?
Répondre

une. oui, car chaque compte bancaire a un seul solde à un moment donné ;

b. non, car plusieurs numéros de compte bancaire peuvent avoir le même solde ;

c. non, car une même sortie peut correspondre à plusieurs entrées.

Exercice (PageIndex{11B})

Évaluez les éléments suivants :

  1. Si chaque note en pourcentage obtenue dans un cours se traduit par une note en une lettre, la note en lettres est-elle fonction de la note en pourcentage ?
  2. Si oui, la fonction est-elle un-à-un ?
Répondre

une. Oui, la note alphabétique est fonction de la note en pourcentage ;
b. Non, ce n'est pas un à un. Il y a 100 nombres de pourcentage différents que nous pourrions obtenir, mais seulement environ cinq notes de lettres possibles, il ne peut donc pas y avoir qu'un seul nombre de pourcentage qui correspond à chaque note de lettre.

Utilisation du test de ligne verticale

Comme nous l'avons vu dans certains exemples ci-dessus, nous pouvons représenter une fonction à l'aide d'un graphe. Les graphiques affichent un grand nombre de paires d'entrées-sorties dans un petit espace. Les informations visuelles qu'ils fournissent rendent souvent les relations plus faciles à comprendre. Par convention, les graphiques sont généralement construits avec les valeurs d'entrée le long de l'axe horizontal et les valeurs de sortie le long de l'axe vertical.

Les graphiques les plus courants nomment la valeur d'entrée (x) et la sortie (y), et nous disons que (y) est une fonction de (x), ou (y=f(x) ) lorsque la fonction est nommée (f). Le graphe de la fonction est l'ensemble de tous les points ((x,y)) dans le plan qui satisfait l'équation (y=f(x)). Si la fonction n'est définie que pour quelques valeurs d'entrée, le graphique de la fonction ne comprend que quelques points, où la coordonnée x de chaque point est une valeur d'entrée et la coordonnée y de chaque point est la valeur de sortie correspondante. Par exemple, les points noirs sur le graphique de la figure (PageIndex{10}) nous indiquent que (f(0)=2) et (f(6)=1). Cependant, l'ensemble de tous les points ((x,y)) satisfaisant (y=f(x)) est une courbe. La courbe affichée comprend ((0,2)) et ((6,1)) car la courbe passe par ces points

Le test de la ligne verticale peut être utilisé pour déterminer si un graphique représente une fonction. Si nous pouvons tracer une ligne verticale qui coupe un graphique plus d'une fois, alors le graphique ne définit pas de fonction car une fonction n'a qu'une seule valeur de sortie pour chaque valeur d'entrée. Voir la figure (PageIndex{11}).

Howto: Étant donné un graphique, utilisez le test de la ligne verticale pour déterminer si le graphique représente une fonction

  1. Inspectez le graphique pour voir si une ligne verticale tracée croiserait la courbe plus d'une fois.
  2. S'il existe une telle ligne, déterminez que le graphique ne représente pas une fonction.

Exemple (PageIndex{12}) : Application du test de ligne verticale

Lequel des graphiques de la figure (PageIndex{12}) représente(nt) une fonction (y=f(x)) ?

Solution

Si une ligne verticale coupe plusieurs fois un graphique, la relation représentée par le graphique n'est pas une fonction. Notez que toute ligne verticale passerait par un seul point des deux graphiques illustrés dans les parties (a) et (b) de la figure (PageIndex{12}). De cela, nous pouvons conclure que ces deux graphiques représentent des fonctions. Le troisième graphique ne représente pas une fonction car, au plus des valeurs x, une ligne verticale croiserait le graphique en plusieurs points, comme le montre la figure (PageIndex{13}).

Exercice (PageIndex{12})

Le graphique de la figure (PageIndex{14}) représente-t-il une fonction ?

Répondre

Oui

Utilisation du test de ligne horizontale

Une fois que nous avons déterminé qu'un graphique définit une fonction, un moyen simple de déterminer s'il s'agit d'une fonction un-à-un est d'utiliser le essai de ligne horizontale. Tracez des lignes horizontales à travers le graphique. Si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois, alors le graphique ne représente pas une fonction un-à-un.

Howto: Étant donné un graphique d'une fonction, utilisez le test de la ligne horizontale pour déterminer si le graphique représente une fonction un-à-un

  1. Inspectez le graphique pour voir si une ligne horizontale tracée croiserait la courbe plus d'une fois.
  2. S'il existe une telle ligne, déterminez que la fonction n'est pas un-à-un.

Exemple (PageIndex{13}) : Application du test de ligne horizontale

Considérez les fonctions illustrées dans la figure (PageIndex{12a}) et la figure (PageIndex{12b}). L'une ou l'autre des fonctions est-elle individuelle ?

Solution

La fonction de la figure (PageIndex{12a}) n'est pas un-à-un. La ligne horizontale illustrée à la figure (PageIndex{15}) coupe le graphique de la fonction en deux points (et nous pouvons même trouver des lignes horizontales qui la coupent en trois points.)

La fonction de la figure (PageIndex{12b}) est un-à-un. Toute ligne horizontale croisera une ligne diagonale au plus une fois.

Exercice (PageIndex{13})

Le graphique illustré à la figure (PageIndex{13}) est-il univoque ?

Répondre

Non, car il ne passe pas le test de la ligne horizontale.

Dans ce texte, nous explorerons les fonctions - les formes de leurs graphiques, leurs caractéristiques uniques, leurs formules algébriques et comment résoudre des problèmes avec elles. Lorsque nous apprenons à lire, nous commençons par l'alphabet. Lorsque nous apprenons à faire de l'arithmétique, nous commençons par les nombres. Lorsque vous travaillez avec des fonctions, il est également utile d'avoir un ensemble de base d'éléments de blocs de construction. Nous les appelons nos « fonctions de boîte à outils », qui forment un ensemble de fonctions nommées de base dont nous connaissons le graphique, la formule et les propriétés spéciales. Certaines de ces fonctions sont programmées sur des boutons individuels sur de nombreuses calculatrices. Pour ces définitions, nous utiliserons x comme variable d'entrée et (y=f(x)) comme variable de sortie.

Nous verrons ces fonctions de boîte à outils, des combinaisons de fonctions de boîte à outils, leurs graphiques et leurs transformations fréquemment tout au long de ce livre. Ce sera très utile si nous pouvons reconnaître rapidement ces fonctions de la boîte à outils et leurs caractéristiques par nom, formule, graphique et propriétés de base du tableau. Les graphiques et les exemples de valeurs de tableau sont inclus avec chaque fonction affichée dans le tableau (PageIndex{14}).

Tableau (PageIndex{14}) : Fonctions de la boîte à outils
NomUne fonctionGraphique
Constant(f(x)=c) où (c) est une constante
Identité(f(x)=x)
Valeur absolue(f(x)=|x|)
Quadratique(f(x)=x^2)
Cubique(f(x)=x^3)
réciproque(f(x)=dfrac{1}{x})
Réciproque au carré(f(x)=dfrac{1}{x^2})
Racine carrée(f(x)=sqrt{x})
racine cubique(f(x)=sqrt[3]{x})

Équations clés

  • Fonction constante (f(x)=c), où (c) est une constante
  • Fonction d'identité (f(x)=x)
  • Fonction valeur absolue (f(x)=|x|)
  • Fonction quadratique (f(x)=x^2)
  • Fonction cubique (f(x)=x^3)
  • Fonction réciproque (f(x)=dfrac{1}{x})
  • Fonction carrée réciproque (f(x)=frac{1}{x^2})
  • Fonction racine carrée (f(x)=sqrt{x})
  • Fonction racine cubique (f(x)=3sqrt{x})

Concepts clés

  • Une relation est un ensemble de paires ordonnées. Une fonction est un type spécifique de relation dans lequel chaque valeur de domaine, ou entrée, conduit à exactement une valeur de plage, ou sortie. Voir Exemple et Exemple.
  • La notation de fonction est une méthode abrégée pour relier l'entrée à la sortie sous la forme y=f(x). Voir Exemple et Exemple.
  • Sous forme de tableau, une fonction peut être représentée par des lignes ou des colonnes qui se rapportent aux valeurs d'entrée et de sortie. Voir Exemple.
  • Pour évaluer une fonction, nous déterminons une valeur de sortie pour une valeur d'entrée correspondante. Les formes algébriques d'une fonction peuvent être évaluées en remplaçant la variable d'entrée par une valeur donnée. Voir Exemple et Exemple.
  • Pour résoudre une valeur de fonction spécifique, nous déterminons les valeurs d'entrée qui donnent la valeur de sortie spécifique. Voir Exemple.
  • Une forme algébrique d'une fonction peut être écrite à partir d'une équation. Voir Exemple et Exemple.
  • Les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction peuvent être identifiées à partir d'un tableau. Voir Exemple.
  • Relier les valeurs d'entrée aux valeurs de sortie sur un graphique est une autre façon d'évaluer une fonction. Voir Exemple.
  • Une fonction est un à un si chaque valeur de sortie correspond à une seule valeur d'entrée. Voir Exemple.
  • Un graphique représente une fonction si une ligne verticale tracée sur le graphique coupe le graphique en un seul point. Voir Exemple.
  • Le graphique d'une fonction un-à-un réussit le test de la ligne horizontale. Voir Exemple.

Glossaire

variable dépendante
une variable de sortie

domaine
l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée possibles pour une relation

une fonction
une relation dans laquelle chaque valeur d'entrée donne une valeur de sortie unique

essai de ligne horizontale
une méthode pour tester si une fonction est un à un en déterminant si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois

variable indépendante
une variable d'entrée

contribution
chaque objet ou valeur dans un domaine qui se rapporte à un autre objet ou valeur par une relation connue sous le nom de fonction

fonction un à un
une fonction pour laquelle chaque valeur de la sortie est associée à une valeur d'entrée unique

production
chaque objet ou valeur dans la plage qui est produit lorsqu'une valeur d'entrée est entrée dans une fonction

intervalle
l'ensemble des valeurs de sortie qui résultent des valeurs d'entrée dans une relation

relation
un ensemble de paires ordonnées

essai de ligne verticale
une méthode pour tester si un graphique représente une fonction en déterminant si une ligne verticale coupe le graphique pas plus d'une fois


2.2 : Fonctions et notation des fonctions - Mathématiques

Le sujet avec les fonctions que nous devons traiter est la combinaison de fonctions. Pour la plupart, cela signifie effectuer des opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication et division) avec des fonctions. Il existe une nouvelle façon de combiner des fonctions que nous devrons également examiner.

Commençons par l'arithmétique de base des fonctions. Étant donné deux fonctions (fleft( x ight)) et (gleft( x ight)) nous avons la notation et les opérations suivantes.

[commencerla gauche( ight)left( x ight) & = fleft( x ight) + gleft( x ight) & hspace<0.25in>hspace<0.25in>left( ight)left( x ight) & = fleft( x ight) - gleft( x ight) left( ight)left( x ight) & = fleft( x ight)gleft( x ight) & hspace<0.25in>hspace<0.25in>left( > ight)left( x ight) & = frac<><>fin]

Parfois, nous laisserons tomber la partie (left( x ight)) et écrirons simplement ce qui suit,

[commencerf + g & = fleft( x ight) + gleft( x ight) & hspace<0.25in>hspace<0.25in>f - g & = fleft( x ight) - g left( x ight) fg & = fleft( x ight)gleft( x ight) & hspace<0.25in>hspace<0.25in>frac & = frac<><>fin]

Notez également que nous mettons les (x) entre parenthèses, mais nous mettrons souvent aussi des nombres. Jetons un coup d'œil rapide à un exemple.

  1. (la gauche( ight)left( 4 ight))
  2. (g - f)
  3. (la gauche( ight)left( x ight))
  4. (displaystyle left( > ight)left( 0 ight))

Par évaluer, nous entendons l'une des deux choses en fonction de ce qui est entre parenthèses. S'il y a un nombre entre parenthèses, alors nous voulons un nombre. S'il y a un (x) (ou pas de parenthèse, puisque cela implique un (x)) alors nous effectuerons l'opération et simplifierons autant que possible.

Dans ce cas, nous avons un nombre, nous devons donc faire une évaluation de la fonction.

Ici nous n'avons pas de (x) ou de nombre donc cela implique la même chose que s'il y avait un (x) entre parenthèses. Par conséquent, nous allons soustraire les deux fonctions et simplifier. Notez également que cela est écrit dans l'ordre inverse des définitions ci-dessus, mais cela fonctionne de la même manière.

Comme pour la dernière partie, cela a un (x) entre parenthèses, nous allons donc multiplier puis simplifier.

Dans cette dernière partie, nous avons un numéro, nous allons donc à nouveau procéder à l'évaluation des fonctions.

Nous devons maintenant discuter de la nouvelle méthode de combinaison de fonctions. La nouvelle méthode de combinaison de fonctions s'appelle composition de fonction. Voici la définition.

Étant donné deux fonctions (fleft( x ight)) et (gleft( x ight)) nous avons les deux définitions suivantes.

  1. le composition de (fleft( x ight)) et (gleft( x ight)) (notez l'ordre ici) est,
    (la gauche( ight)left( x ight) = fleft[ droite])

Nous devons noter ici quelques éléments concernant la composition des fonctions. C'est d'abord NE PAS multiplication. Indépendamment de ce que la notation peut vous suggérer, ce n'est tout simplement pas une multiplication.

Deuxièmement, l'ordre dans lequel nous avons répertorié les deux fonctions est très important car le plus souvent, nous obtiendrons des réponses différentes en fonction de l'ordre dans lequel nous les avons répertoriées.

Enfin, la composition de fonctions n'est en réalité rien de plus qu'une évaluation de fonctions. Tout ce que nous faisons vraiment, c'est de brancher la deuxième fonction répertoriée dans la première fonction répertoriée. Dans les définitions, nous avons utilisé (left[ <> ight]) pour l'évaluation de la fonction au lieu du standard (left( <> ight)) pour éviter toute confusion avec trop de jeux de parenthèses, mais l'évaluation fonctionnera de la même manière.

Jetons un coup d'œil à quelques exemples.

Ce sont les mêmes fonctions que nous avons utilisées dans le premier ensemble d'exemples et nous avons déjà fait cette partie là donc nous ne refaire pas tout le travail ici. C'est ici seulement pour prouver le point que la composition de fonctions n'est PAS une multiplication de fonctions.

Voici la multiplication de ces deux fonctions.

[la gauche( ight)left( x ight) = - 2 + 7 + x - 2]

Maintenant, pour la composition de fonctions, tout ce que vous devez retenir, c'est que nous allons brancher la deuxième fonction répertoriée dans la première fonction répertoriée. Si vous vous en souvenez, vous devriez toujours pouvoir écrire la formule de base de la composition.

Voici cette composition de fonction.

Maintenant, notez que puisque nous avons une formule pour (gleft( x ight)), nous avons commencé et l'avons branchée en premier. De plus, nous avons fait ce type d'évaluation de fonction dans la première section que nous avons examinée pour les fonctions. À l'époque, il ne semblait probablement pas très utile d'examiner ce type d'évaluation de fonction, mais le voici.

Finissons ce problème.

Remarquez que c'est très différent de la multiplication ! N'oubliez pas que la composition de fonctions n'est PAS une multiplication de fonctions.

Nous n'entrerons pas dans les détails dans cette partie car elle fonctionne essentiellement de la même manière que la partie précédente.

Notez que ce n'est PAS la même réponse que celle de la deuxième partie. Dans la plupart des cas, l'ordre dans lequel nous effectuons la composition des fonctions donnera des réponses différentes.

Les idées de l'exemple précédent sont suffisamment importantes pour être refaites. Premièrement, la composition de fonctions n'est PAS une multiplication de fonctions. Deuxièmement, l'ordre dans lequel nous fonctionnons la composition est important. Dans la plupart des cas, nous obtiendrons des réponses différentes avec un ordre différent. Notez cependant qu'il y a des moments où nous obtiendrons la même réponse quelle que soit la commande.

Travaillons quelques exemples supplémentaires.

  1. (la gauche( ight)left( x ight))
  2. (la gauche( ight)left( x ight))
  3. (la gauche( ight)left( x ight))
  4. (la gauche( ight)left( 8 ight))
  5. (la gauche( ight)left( 4 ight))

Pas grand chose à faire ici à part parcourir la formule.

Encore une fois, pas grand chose à faire ici.

Maintenant, dans ce cas, ne vous réjouissez pas du fait que les deux fonctions ici sont les mêmes. La composition fonctionne de la même manière.

Dans ce cas, contrairement à tous les exemples précédents, nous avons un nombre entre parenthèses au lieu d'un (x), mais cela fonctionne exactement de la même manière.

Encore une fois, nous avons un numéro ici. Cette fois, il y a en fait deux façons de faire cette évaluation. La première consiste simplement à utiliser les résultats de la première partie puisqu'il s'agit d'une formule pour la composition générale de la fonction.

Si nous faisons le problème de cette façon, nous obtenons,

[la gauche( ight)left( 4 ight) = 4 - 2 = 2]

Nous pourrions aussi faire l'évaluation directement comme nous l'avons fait dans la partie précédente. Les réponses devraient être les mêmes, quelle que soit la façon dont nous les obtenons. Donc, pour obtenir un autre exemple de ce type d'évaluation, faisons également l'évaluation directement.

Donc, bien sûr, nous avons obtenu la même réponse, bien qu'il ait fallu plus de travail pour l'obtenir.

Espérons qu'à ce stade, ce ne soit pas trop mal.

On dirait que les choses se sont considérablement simplifiées ici.

Tout ce que nous avons à faire ici est d'utiliser la formule, alors faisons-le.

Donc, dans ce cas, nous obtenons la même réponse quel que soit l'ordre dans lequel nous avons fait la composition.

Ainsi, comme nous l'avons vu dans ce dernier exemple, il est possible d'obtenir la même réponse des deux compositions à l'occasion. En fait lorsque la réponse des deux compositions est (x), comme c'est le cas dans ce cas, nous savons que ces deux fonctions sont des fonctions très spéciales. En fait, elles sont si spéciales que nous allons consacrer toute la section suivante à ce genre de fonctions. Passons donc à la section suivante.


Fonctions et notation des fonctions

Un avion de ligne change d'altitude à mesure que sa distance par rapport au point de départ d'un vol augmente. Le poids d'un enfant en pleine croissance augmente avec le temps. Dans chaque cas, une quantité dépend d'une autre. Il existe une relation entre les deux quantités que nous pouvons décrire, analyser et utiliser pour faire des prédictions. Dans cette section, nous analyserons ces relations.

Déterminer si une relation représente une fonction

UNE relation est un ensemble de paires ordonnées. L'ensemble des premiers composants de chaque paire ordonnée est appelé le domaine et l'ensemble des seconds composants de chaque paire ordonnée est appelé le intervalle. Considérez l'ensemble suivant de paires ordonnées. Les premiers nombres de chaque paire sont les cinq premiers nombres naturels. Le deuxième nombre de chaque paire est le double du premier.

Notez que chaque valeur du domaine est également appelée un contribution valeur, ou variable indépendante, et est souvent étiqueté avec la lettre minuscule x .

Chaque valeur de la plage est également appelée valeur production valeur, ou variable dépendante, et est souvent étiqueté lettre minuscule y .

est une relation qui attribue une valeur unique dans la plage à chaque valeur du domaine. En d'autres termes, non X-les valeurs sont répétées. Pour notre exemple qui relie les cinq premiers nombres naturels aux nombres doubler leurs valeurs, cette relation est une fonction car chaque élément du domaine, < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 >,

est associé à exactement un élément de la plage, < 2 , 4 , 6 , 8 , 10 >.

Considérons maintenant l'ensemble de paires ordonnées qui relie les termes « pair » et « impair » aux cinq premiers nombres naturels. Il apparaîtrait comme

Notez que chaque élément du domaine,

est ne pas associé à exactement un élément de la plage, < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 >.

Par exemple, le terme « impair » correspond à trois valeurs du domaine,

et le terme « pair » correspond à deux valeurs de la plage, < 2 , 4 >.

Cela viole la définition d'une fonction, donc cette relation n'est pas une fonction.

[lien] compare les relations qui sont des fonctions et non des fonctions.

UNE une fonction est une relation dans laquelle chaque valeur d'entrée possible conduit à exactement une valeur de sortie. Nous disons « la sortie est fonction de l'entrée ».

le contribution les valeurs constituent le domaine, et le production les valeurs constituent le intervalle.

Étant donné une relation entre deux quantités, déterminez si la relation est une fonction.

  1. Identifiez les valeurs d'entrée.
  2. Identifiez les valeurs de sortie.
  3. Si chaque valeur d'entrée ne conduit qu'à une seule valeur de sortie, classez la relation en tant que fonction. Si une valeur d'entrée conduit à deux sorties ou plus, ne classez pas la relation en tant que fonction.

Le menu du café, affiché dans [lien] se compose d'articles et de leurs prix.

Commençons par considérer l'entrée comme les éléments du menu. Les valeurs de sortie sont alors les prix. Voir [lien].

Chaque élément du menu n'a qu'un seul prix, donc le prix est fonction de l'élément.

Deux éléments du menu ont le même prix. Si nous considérons les prix comme les valeurs d'entrée et les articles comme la sortie, alors la même valeur d'entrée pourrait avoir plus d'une sortie associée. Voir [lien].

Par conséquent, l'article n'est pas fonction du prix.

Dans une classe de mathématiques particulière, la note globale en pourcentage correspond à une moyenne pondérée cumulative. La moyenne pondérée cumulative est-elle fonction de la note en pourcentage ? La note en pourcentage est-elle fonction de la moyenne pondérée cumulative? [lien] montre une règle possible pour attribuer des points de note.

Pourcentage de note 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
Moyenne pondérée cumulative 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

Pour toute note en pourcentage obtenue, il existe une moyenne pondérée cumulative associée, de sorte que la moyenne pondérée cumulative est fonction de la note en pourcentage. En d'autres termes, si nous saisissons la note en pourcentage, le résultat est une moyenne pondérée cumulative spécifique.

Dans le système de notation donné, il existe une gamme de notes en pourcentage qui correspondent à la même moyenne pondérée cumulative. Par exemple, les élèves qui reçoivent une moyenne pondérée cumulative de 3,0 pourraient avoir une variété de notes en pourcentage allant de 78 à 86. Ainsi, la note en pourcentage n'est pas fonction de la moyenne pondérée cumulative.

[link] 1 répertorie les cinq plus grands joueurs de baseball de tous les temps par ordre de classement.

une. Oui B. Oui. (Remarque : si deux joueurs avaient été à égalité pour, disons, la 4e place, alors le nom n'aurait pas été fonction du rang.)

Utilisation de la notation de fonction

Une fois que nous avons déterminé qu'une relation est une fonction, nous devons afficher et définir les relations fonctionnelles afin de pouvoir les comprendre et les utiliser, et parfois aussi pour pouvoir les programmer dans des ordinateurs. Il existe différentes manières de représenter les fonctions. Une référence notation de fonction est une représentation qui facilite le travail avec les fonctions.

Pour représenter « la taille est fonction de l'âge », nous commençons par identifier les variables descriptives h

sont souvent utilisés pour représenter des fonctions tout comme nous utilisons x , y ,

pour représenter des nombres et A , B ,

Rappelez-vous, nous pouvons utiliser n'importe quelle lettre pour nommer la fonction la notation h ( a )

doit être mis dans la fonction h

pour obtenir un résultat. Les parenthèses indiquent que l'âge est entré dans la fonction, elles n'indiquent pas la multiplication.

Nous pouvons également donner une expression algébrique en entrée d'une fonction. Par exemple f ( a + b )

signifie "ajouter d'abord une et b, et le résultat est l'entrée pour la fonction F. " Les opérations doivent être effectuées dans cet ordre pour obtenir le résultat correct.

définit une fonction nommée f .

représente la valeur d'entrée, ou variable indépendante. La lettre y,

représente la valeur de sortie, ou variable dépendante.

Utilisez la notation de fonction pour représenter une fonction dont l'entrée est le nom d'un mois et la sortie est le nombre de jours de ce mois. Supposons que le domaine n'inclue pas les années bissextiles.

Le nombre de jours dans un mois est fonction du nom du mois, donc si nous nommons la fonction f ,

Le nom du mois est l'entrée d'une « règle » qui associe un nombre spécifique (la sortie) à chaque entrée.

Par exemple, f ( mars ) = 31 ,

car mars a 31 jours. La notation d = f ( m )

nous rappelle que le nombre de jours, d

(la sortie), dépend du nom du mois, m

Notez que les entrées d'une fonction ne doivent pas nécessairement être des nombres. Les entrées de fonction peuvent être des noms de personnes, des étiquettes d'objets géométriques ou tout autre élément qui détermine un type de sortie. Cependant, la plupart des fonctions avec lesquelles nous travaillerons dans ce livre auront des nombres comme entrées et sorties.

donne le nombre de policiers, N ,

Quand on lit f ( 2005 ) = 300 ,

nous voyons que l'année d'entrée est 2005. La valeur pour la sortie, le nombre de policiers ( N ) ,

L'énoncé f (2005) = 300

nous dit qu'en 2005, il y avait 300 policiers dans la ville.

Utilisez la notation fonctionnelle pour exprimer le poids d'un porc en livres en fonction de son âge en jours d .

**Au lieu d'une notation telle que y = f ( x ),

pourrions-nous utiliser le même symbole pour la sortie que pour la fonction, comme y = y ( x ),

sens "oui est fonction de X?”**

*Oui, cela se fait souvent, en particulier dans les matières appliquées qui utilisent des mathématiques supérieures, telles que la physique et l'ingénierie. Cependant, en explorant les mathématiques elles-mêmes, nous aimons maintenir une distinction entre une fonction telle que f ,

qui est une règle ou une procédure, et la sortie y

C'est pourquoi nous utilisons généralement des notations telles que y = f ( x ) , P = W ( d ) ,

Représentation de fonctions à l'aide de tables

Une méthode courante de représentation des fonctions est sous la forme d'un tableau. Les lignes ou colonnes du tableau affichent les valeurs d'entrée et de sortie correspondantes. Dans certains cas, ces valeurs représentent tout ce que nous savons sur la relation d'autres fois, le tableau fournit quelques exemples choisis d'une relation plus complète.

[lien] répertorie le nombre d'entrée de chaque mois (janvier = 1, février = 2, et ainsi de suite) et la valeur de sortie du nombre de jours de ce mois. Ces informations représentent tout ce que nous savons sur les mois et les jours d'une année donnée (qui n'est pas une année bissextile). Notez que, dans ce tableau, nous définissons une fonction jours dans un mois f

identifie les mois par un nombre entier plutôt que par un nom.

**Numéro de mois, m
(contribution)** 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
** Jours du mois, J
(production)** 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

[lien] définit une fonction Q = g ( n ) .

Rappelez-vous, cette notation nous dit que g

est le nom de la fonction qui prend l'entrée n

m 1 2 3 4 5
Q 8 6 7 6 8

[lien] affiche l'âge des enfants en années et leurs tailles correspondantes. Ce tableau présente quelques-unes des données disponibles pour la taille et l'âge des enfants. On voit tout de suite que ce tableau ne représente pas une fonction car la même valeur d'entrée, 5 ans, a deux valeurs de sortie différentes, 40 pouces et 42 pouces.

Âge en années, a (entrée) 5 5 6 7 8 9 10
Hauteur en pouces, h (sortie) 40 42 44 47 50 52 54

Étant donné un tableau de valeurs d'entrée et de sortie, déterminez si le tableau représente une fonction.

  1. Identifiez les valeurs d'entrée et de sortie.
  2. Vérifiez si chaque valeur d'entrée est associée à une seule valeur de sortie. Si c'est le cas, la table représente une fonction.

Quelle table, [lien], [lien] ou [lien], représente une fonction (le cas échéant) ?

Contribution Production
2 1
5 3
8 6
Contribution Production
–3 5
0 1
4 5
Contribution Production
1 0
5 2
5 4

[link] et [link] définissent des fonctions. Dans les deux cas, chaque valeur d'entrée correspond à exactement une valeur de sortie. [lien] ne définit pas de fonction car la valeur d'entrée de 5 correspond à deux valeurs de sortie différentes.

Lorsqu'un tableau représente une fonction, les valeurs d'entrée et de sortie correspondantes peuvent également être spécifiées à l'aide de la notation de fonction.

La fonction représentée par [lien] peut être représentée en écrivant

représentent la fonction dans [lien].

[lien] ne peut pas être exprimé de la même manière car il ne représente pas une fonction.

[lien] représente-t-il une fonction ?

Contribution Production
1 10
2 100
3 1000

Recherche des valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction

Lorsque nous connaissons une valeur d'entrée et que nous voulons déterminer la valeur de sortie correspondante pour une fonction, nous évaluer la fonction. L'évaluation produira toujours un résultat car chaque valeur d'entrée d'une fonction correspond à exactement une valeur de sortie.

Lorsque nous connaissons une valeur de sortie et que nous voulons déterminer les valeurs d'entrée qui produiraient cette valeur de sortie, nous définissons la sortie égale à la formule de la fonction et résoudre pour l'entrée. La résolution peut produire plusieurs solutions car différentes valeurs d'entrée peuvent produire la même valeur de sortie.

Évaluation des fonctions dans les formes algébriques

Lorsque nous avons une fonction sous forme de formule, il est généralement simple d'évaluer la fonction. Par exemple, la fonction f ( x ) = 5 − 3 x 2

peut être évalué en mettant au carré la valeur d'entrée, en multipliant par 3, puis en soustrayant le produit de 5.

Étant donné la formule d'une fonction, évaluer.

  1. Remplacez la variable d'entrée dans la formule par la valeur fournie.
  2. Calculer le résultat.

Évaluer f ( x ) = x 2 + 3 x − 4

dans la fonction avec chaque valeur spécifiée.

    Parce que la valeur d'entrée est un nombre, 2, nous pouvons utiliser une algèbre simple pour simplifier.

nous devons utiliser la propriété distributive.

Maintenant, nous combinons les résultats et simplifions.

Étant donné la fonction h ( p ) = p 2 + 2 p ,

nous substituons la valeur 4 à la variable d'entrée p

Par conséquent, pour une entrée de 4, nous avons une sortie de 24.

Étant donné la fonction g ( m ) = m − 4 ,

Étant donné la fonction h ( p ) = p 2 + 2 p ,

(ou les deux sont égaux à 0). Nous allons définir chaque facteur égal à 0 et résoudre pour p

Cela nous donne deux solutions. La sortie h ( p ) = 3

lorsque l'entrée est soit p = 1

Nous pouvons également vérifier en graphique comme dans [link]. Le graphique vérifie que h ( 1 ) = h ( − 3 ) = 3

Étant donné la fonction g ( m ) = m − 4 ,

Évaluation des fonctions exprimées dans les formules

Certaines fonctions sont définies par des règles ou procédures mathématiques exprimées en équation forme. S'il est possible d'exprimer la sortie de la fonction avec un formule impliquant la quantité d'entrée, alors nous pouvons définir une fonction sous forme algébrique. Par exemple, l'équation 2 n + 6 p = 12

exprime une relation fonctionnelle entre n

Nous pouvons le réécrire pour décider si p

Étant donnée une fonction sous forme d'équation, écrivez sa formule algébrique.

  1. Résolvez l'équation pour isoler la variable de sortie d'un côté du signe égal, avec l'autre côté comme une expression qui implique seul la variable d'entrée.
  2. Utilisez toutes les méthodes algébriques habituelles pour résoudre des équations, telles que l'addition ou la soustraction de la même quantité des deux côtés, ou la multiplication ou la division des deux côtés de l'équation par la même quantité.

Exprimer la relation 2 n + 6 p = 12

Pour exprimer la relation sous cette forme, nous devons être capables d'écrire la relation où p

ce qui signifie l'écrire comme p = [expression impliquant n].

Il est important de noter que toutes les relations exprimées par une équation ne peuvent pas également être exprimées sous forme de fonction avec une formule.

L'équation x 2 + y 2 = 1

représenter une fonction avec x

en sortie ? Si c'est le cas, exprimez la relation sous la forme d'une fonction y = f ( x ) .

Essayons maintenant de résoudre pour y

Nous obtenons deux sorties correspondant à la même entrée, donc cette relation ne peut pas être représentée comme une seule fonction y = f ( x ) .

Existe-t-il des relations exprimées par une équation qui représentent une fonction mais qui ne peuvent toujours pas être représentées par une formule algébrique ?

*Oui, cela peut arriver. Par exemple, étant donné l'équation x = y + 2 y ,

il n'y a pas de formule algébrique simple impliquant seulement x

détermine une valeur unique pour y ,

et il existe des procédures mathématiques par lesquelles y

peut être trouvé avec la précision souhaitée. Dans ce cas, nous disons que l'équation donne une règle implicite (implicite) pour y

même si la formule ne peut pas être écrite explicitement.*

Évaluation d'une fonction donnée sous forme tabulaire

Comme nous l'avons vu plus haut, nous pouvons représenter des fonctions dans des tableaux. Inversement, nous pouvons utiliser des informations dans des tableaux pour écrire des fonctions, et nous pouvons évaluer des fonctions à l'aide des tableaux. Par exemple, dans quelle mesure nos animaux de compagnie se souviennent-ils des bons souvenirs que nous partageons avec eux ? Il existe une légende urbaine selon laquelle un poisson rouge a une mémoire de 3 secondes, mais ce n'est qu'un mythe. Le poisson rouge peut se souvenir jusqu'à 3 mois, tandis que le poisson bêta a une mémoire allant jusqu'à 5 mois. Et tandis que la durée de mémoire d'un chiot ne dépasse pas 30 secondes, le chien adulte peut se souvenir pendant 5 minutes. C'est maigre comparé à un chat, dont la mémoire dure 16 heures.

La fonction qui relie le type d'animal à la durée de sa mémoire est plus facilement visualisée à l'aide d'un tableau. Voir [lien]. 2

Animaux Durée de mémoire en heures
Chiot 0.008
Chien adulte 0.083
Chat 16
Poisson rouge 2160
Poisson bêta 3600

Parfois, l'évaluation d'une fonction sous forme de tableau peut être plus utile que l'utilisation d'équations. Appelons ici la fonction P .

le domaine de la fonction est le type d'animal et la plage est un nombre réel représentant le nombre d'heures de mémoire de l'animal. On peut évaluer la fonction P

à la valeur d'entrée de « poisson rouge ». On écrirait P ( poisson rouge ) = 2160.

Notez que, pour évaluer la fonction sous forme de tableau, nous identifions la valeur d'entrée et la valeur de sortie correspondante à partir de la ligne pertinente du tableau. La forme tabulaire de la fonction P

semble parfaitement adapté à cette fonction, plus que de l'écrire sous forme de paragraphe ou de fonction.

Étant donné une fonction représentée par un tableau, identifiez des valeurs de sortie et d'entrée spécifiques.

  1. Recherchez l'entrée donnée dans la ligne (ou la colonne) des valeurs d'entrée.
  2. Identifiez la valeur de sortie correspondante associée à cette valeur d'entrée.
  3. Recherchez les valeurs de sortie données dans la ligne (ou la colonne) des valeurs de sortie, en notant chaque fois que cette valeur de sortie apparaît.
  4. Identifiez la ou les valeurs d'entrée correspondant à la valeur de sortie donnée.

signifie déterminer la valeur de sortie de la fonction

La valeur de sortie du tableau correspondant à

des moyens identifiant les valeurs d'entrée,

qui produisent une valeur de sortie de 6. [lien] montre deux solutions :

Lorsque nous entrons 2 dans la fonction g ,

notre sortie est 6. Lorsque nous entrons 4 dans la fonction g ,

Recherche de valeurs de fonction à partir d'un graphique

Évaluer une fonction à l'aide d'un graphique nécessite également de trouver la valeur de sortie correspondante pour une valeur d'entrée donnée, seulement dans ce cas, nous trouvons la valeur de sortie en regardant le graphique. Résoudre une équation de fonction à l'aide d'un graphique nécessite de trouver toutes les instances de la valeur de sortie donnée sur le graphique et d'observer la ou les valeurs d'entrée correspondantes.

localisez le point de la courbe où

puis lisez le oui-coordonnée de ce point. Le point a des coordonnées

Voir [lien].

sur l'axe vertical. Se déplacer horizontalement le long de la ligne

on localise deux points de la courbe avec la valeur de sortie

Ces points représentent les deux solutions de

Voir [lien].

Déterminer si une fonction est un-à-un

Certaines fonctions ont une valeur de sortie donnée qui correspond à deux ou plusieurs valeurs d'entrée. Par exemple, dans le graphique boursier présenté dans [lien] au début de ce chapitre, le cours de l'action était de 1 000 $ à cinq dates différentes, ce qui signifie qu'il y avait cinq valeurs d'entrée différentes qui ont toutes abouti à la même valeur de sortie de 1 000 $.

Cependant, certaines fonctions n'ont qu'une seule valeur d'entrée pour chaque valeur de sortie, ainsi qu'une seule sortie pour chaque entrée. Nous appelons ces fonctions des fonctions un-à-un. À titre d'exemple, considérons une école qui utilise uniquement des notes en lettres et des équivalents décimaux, comme indiqué dans [lien].

Classement par lettre Moyenne pondérée cumulative
UNE 4.0
B 3.0
C 2.0
1.0

Ce système de notation représente une fonction un-à-un, car chaque entrée de lettre donne une sortie de moyenne pondérée cumulative particulière et chaque moyenne pondérée cumulative correspond à une lettre d'entrée.

Pour visualiser ce concept, regardons à nouveau les deux fonctions simples esquissées dans [link](une) et [lien](b). La fonction de la partie (a) montre une relation qui n'est pas une fonction un à un car les entrées q

La fonction de la partie (b) montre une relation qui est une fonction un à un car chaque entrée est associée à une seule sortie.

UNE fonction un à un est une fonction dans laquelle chaque valeur de sortie correspond à exactement une valeur d'entrée.

L'aire d'un cercle est-elle fonction de son rayon ? Si oui, la fonction est-elle individuelle ?

a une unique mesure de surface donnée par A = π r 2 ,

il n'y a qu'une seule sortie, A .

L'aire est fonction du rayon r.

Si la fonction est un à un, la valeur de sortie, la zone, doit correspondre à une valeur d'entrée unique, le rayon. Toute surface mesure A

est donnée par la formule A = π r 2 .

Comme les aires et les rayons sont des nombres positifs, il existe exactement une solution : A π .

Ainsi, l'aire d'un cercle est une fonction un à un du rayon du cercle.

  1. Un solde est-il fonction du numéro de compte bancaire ?
  2. Un numéro de compte bancaire est-il fonction du solde ?
  3. Un solde est-il une fonction univoque du numéro de compte bancaire ?

une. oui, car chaque compte bancaire a un seul solde à un moment donné b. non, car plusieurs numéros de compte bancaire peuvent avoir le même solde c. non, car une même sortie peut correspondre à plusieurs entrées.

  1. Si chaque note en pourcentage obtenue dans un cours se traduit par une note en une lettre, la note en lettres est-elle fonction de la note en pourcentage ?
  2. Si oui, la fonction est-elle un-à-un ?
  1. Oui, la note en lettres est fonction de la note en pourcentage
  2. Non, ce n'est pas un à un. Il y a 100 pourcentages différents que nous pourrions obtenir, mais seulement environ cinq notes de lettres possibles, il ne peut donc pas y avoir qu'un seul pourcentage de pourcentage qui correspond à chaque note de lettre.

Utilisation du test de ligne verticale

Comme nous l'avons vu dans certains exemples ci-dessus, nous pouvons représenter une fonction à l'aide d'un graphe. Les graphiques affichent un grand nombre de paires d'entrées-sorties dans un petit espace. Les informations visuelles qu'ils fournissent rendent souvent les relations plus faciles à comprendre. Par convention, les graphiques sont généralement construits avec les valeurs d'entrée le long de l'axe horizontal et les valeurs de sortie le long de l'axe vertical.

Les graphiques les plus courants nomment la valeur d'entrée x

lorsque la fonction est nommée f .

Le graphique de la fonction est l'ensemble de tous les points ( x , y )

dans le plan qui satisfait l'équation y = f ( x ) .

Si la fonction n'est définie que pour quelques valeurs d'entrée, alors le graphique de la fonction n'est que de quelques points, où le X-la coordonnée de chaque point est une valeur d'entrée et la oui-coordonnée de chaque point est la valeur de sortie correspondante. Par exemple, les points noirs sur le graphique dans [lien] nous indiquent que f ( 0 ) = 2

Cependant, l'ensemble de tous les points ( x , y )

est une courbe. La courbe représentée comprend ( 0 , 2 )

car la courbe passe par ces points.

le essai de ligne verticale peut être utilisé pour déterminer si un graphique représente une fonction. Si nous pouvons tracer une ligne verticale qui coupe un graphique plus d'une fois, alors le graphique ne ne pas définir une fonction car une fonction n'a qu'une seule valeur de sortie pour chaque valeur d'entrée. Voir [lien].

Étant donné un graphique, utilisez le test de la ligne verticale pour déterminer si le graphique représente une fonction.

  1. Inspectez le graphique pour voir si une ligne verticale tracée croiserait la courbe plus d'une fois.
  2. S'il existe une telle ligne, déterminez que le graphique ne représente pas une fonction.

Lequel des graphiques de [lien] représente(nt) une fonction y = f ( x ) ?

Si une ligne verticale coupe plusieurs fois un graphique, la relation représentée par le graphique n'est pas une fonction. Notez que toute ligne verticale passerait par un seul point des deux graphiques montrés dans les parties (a) et (b) de [lien]. De cela, nous pouvons conclure que ces deux graphiques représentent des fonctions. Le troisième graphique ne représente pas une fonction car, tout au plus X-values, une ligne verticale croiserait le graphique à plus d'un point, comme indiqué dans [lien].

Le graphique dans [lien] représente-t-il une fonction ?

Utilisation du test de ligne horizontale

Une fois que nous avons déterminé qu'un graphique définit une fonction, un moyen simple de déterminer s'il s'agit d'une fonction un-à-un est d'utiliser le essai de ligne horizontale. Tracez des lignes horizontales à travers le graphique. Si une ligne horizontale coupe le graphique plus d'une fois, alors le graphique ne représente pas une fonction un-à-un.

Étant donné le graphique d'une fonction, utilisez le test de la ligne horizontale pour déterminer si le graphique représente une fonction un à un.

  1. Inspectez le graphique pour voir si une ligne horizontale tracée croiserait la courbe plus d'une fois.
  2. S'il existe une telle ligne, déterminez que la fonction n'est pas un-à-un.

Considérez les fonctions présentées dans [link](une) et [lien](b). L'une ou l'autre des fonctions est-elle individuelle ?

La fonction dans [lien](une) n'est pas un à un. La ligne horizontale montrée dans [link] coupe le graphique de la fonction en deux points (et nous pouvons même trouver des lignes horizontales qui la coupent en trois points.)

La fonction dans [lien](b) est un à un. Toute ligne horizontale croisera une ligne diagonale au plus une fois.

Le graphique présenté dans [link] est-il un à un ?

Non, car il ne passe pas le test de la ligne horizontale.

Identification des fonctions de base de la boîte à outils

Dans ce texte, nous explorerons les fonctions - les formes de leurs graphiques, leurs caractéristiques uniques, leurs formules algébriques et comment résoudre des problèmes avec elles. Lorsque nous apprenons à lire, nous commençons par l'alphabet. Lorsque nous apprenons à faire de l'arithmétique, nous commençons par les nombres. Lorsque vous travaillez avec des fonctions, il est également utile d'avoir un ensemble de base d'éléments de blocs de construction. Nous les appelons nos « fonctions de boîte à outils », qui forment un ensemble de fonctions nommées de base dont nous connaissons le graphique, la formule et les propriétés spéciales. Certaines de ces fonctions sont programmées sur des boutons individuels sur de nombreuses calculatrices. Pour ces définitions, nous utiliserons x

comme variable d'entrée et y = f ( x )

Nous verrons ces fonctions de boîte à outils, des combinaisons de fonctions de boîte à outils, leurs graphiques et leurs transformations fréquemment tout au long de ce livre. Ce sera très utile si nous pouvons reconnaître rapidement ces fonctions de la boîte à outils et leurs caractéristiques par nom, formule, graphique et propriétés de base du tableau. Les graphiques et les exemples de valeurs de tableau sont inclus avec chaque fonction illustrée dans [lien].

Fonctions de la boîte à outils
Nom Une fonction Graphique
Constant f ( x ) = c , où c est une constante
Identité f ( x ) = x
Valeur absolue f ( x ) = | x |
Quadratique f ( x ) = x 2
Cubique f ( x ) = x 3
Réciproque f ( x ) = 1 x
Réciproque au carré f ( x ) = 1 x 2
Racine carrée f ( x ) = x
racine cubique f ( x ) = x 3

Accédez aux ressources en ligne suivantes pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec les fonctions.

Équations clés

Fonction constante f ( x ) = c , où c est une constante
Fonction d'identité f ( x ) = x
Fonction valeur absolue f ( x ) = | x |
Fonction quadratique f ( x ) = x 2
Fonction cubique f ( x ) = x 3
Fonction réciproque f ( x ) = 1 x
Fonction carrée réciproque f ( x ) = 1 x 2
Fonction racine carrée f ( x ) = x
Fonction racine cubique f ( x ) = x 3

Concepts clés

  • Une relation est un ensemble de paires ordonnées. Une fonction est un type spécifique de relation dans lequel chaque valeur de domaine, ou entrée, conduit à exactement une valeur de plage, ou sortie. Voir [lien] et [lien].
  • La notation de fonction est une méthode abrégée pour relier l'entrée à la sortie sous la forme y = f(x).

Section Exercices

Verbal

Quelle est la différence entre une relation et une fonction ?

Une relation est un ensemble de paires ordonnées. Une fonction est un type particulier de relation dans laquelle deux paires ordonnées n'ont pas la même première coordonnée.

Quelle est la différence entre l'entrée et la sortie d'une fonction ?

Pourquoi le test de la ligne verticale nous dit-il si le graphique d'une relation représente une fonction ?

Lorsqu'une ligne verticale coupe le graphique d'une relation plus d'une fois, cela indique que pour cette entrée il y a plus d'une sortie. A n'importe quelle valeur d'entrée particulière, il ne peut y avoir qu'une seule sortie si la relation doit être une fonction.

Comment pouvez-vous déterminer si une relation est une fonction un-à-un ?

Pourquoi le test de la ligne horizontale nous dit-il si le graphique d'une fonction est un à un ?

Lorsqu'une ligne horizontale coupe le graphique d'une fonction plus d'une fois, cela indique que pour cette sortie, il y a plus d'une entrée. Une fonction est un-à-un si chaque sortie correspond à une seule entrée.

Algébrique

Pour les exercices suivants, déterminez si la relation représente une fonction.


Le but de la tâche est d'identifier explicitement une erreur courante commise par de nombreux élèves, lorsqu'ils utilisent l'"identité" $f(x + h) = f(x) + f(h).$ Une fonction $f$ ne peut en général être réparti sur une somme d'entrées. C'est une erreur facile à faire car $ f(x+h) = f(x) + f(h) $ est une déclaration vraie si $f,x,h$ sont des nombres réels et les opérations impliquées par les parenthèses sont des multiplications . La tâche demande aux élèves de trouver un seul exemple explicite pour lequel l'identité est fausse, mais il convient de souligner qu'en fait, l'identité échoue pour la grande majorité des fonctions. Parmi les fonctions continues, la seul les fonctions satisfaisant l'identité pour tout $x$ et $h$ sont les fonctions $f(x)=ax$ pour une constante $a$.

L'énoncé n'est pas vrai pour toutes les fonctions.

Une fonction pour laquelle il tient est la fonction $f$ donnée par $f(a) = 5a$. Si $f(a) = 5a$, alors $f(x+h) = 5(x+h) = 5 cdot x + 5 cdot h = f(x) + f(h).$
Une fonction pour laquelle l'instruction ne tient pas est la fonction $f$ donnée par $f(a) = a^2$. Si $f(a) = a^2$, alors $f(x+h) = (x+h)^2=x^2 + 2xh + h^2.$ Ceci diffère de $f(x)+f (h)=x^2 + h^2$ par $2xh$. Ce terme moyen n'est pas nul à moins que $x$ ou $h$ soient nuls.


Comment écris-tu des équations en notation fonctionnelle ?

La plupart des étudiants seront initiés à la notation des fonctions après avoir étudié les fonctions linéaires pendant un certain temps.

Par exemple, #y = 2x + 3# est ma fonction linéaire préférée. Nous aimons pouvoir repérer facilement la pente, #m = 2# , ainsi que l'ordonnée à l'origine, #b = 3# . La représentation graphique est également simplifiée grâce à ces informations.

Cette équation est également écrite sous la forme #f(x) = 2x + 3# , ce qui signifie que cette fonction dépend de #x# , et est définie en doublant #x# et en ajoutant 3 au résultat. Trop de mots!

Cependant, cette notation permet à quelqu'un de dire "trouver f(1)", ce qui signifie évaluer la fonction lorsque #x = 1# .

(ça prend moins de mots de cette façon !) Donc, #f(1) = 2(1) + 3 = 5# .

La paire ordonnée #(1,5)# est un point sur votre graphique.

Et si quelqu'un disait "trouver #x# quand #f(x) = 9#".
Cela signifie, résoudre #9 = 2x + 3# . (remplacer #f(x)# par 9)

#(3, 9)# serait la paire ordonnée sur le graphique.

Comme note supplémentaire, je dis aux étudiants que parfois vous pouvez voir des lettres différentes de #f(x)# . "F" signifie fonction, littéralement. D'autres lettres pourraient être utilisées comme g(x), h(x), etc. pour des problèmes d'algèbre typiques.

Dans un contexte scientifique, vous pourriez rencontrer quelque chose comme h(t) qui pourrait signifier "la hauteur par rapport au temps". Ou, la hauteur est fonction du temps.

Peut-être avez-vous vu P(T) qui pourrait signifier que la pression dépend de la température. Qu'en est-il de d(t), ou de la distance par rapport au temps ? (la distance que vous allez parcourir dépend de combien de temps vous avez voyagé.)


2.2 : Fonctions et notation des fonctions - Mathématiques

Nous avons discuté de l'analyse asymptotique et des pires, moyennes et meilleures hypothèses d'algorithmes. L'idée principale de l'analyse asymptotique est d'avoir une mesure de l'efficacité des algorithmes qui ne dépendent pas de constantes spécifiques à la machine et ne nécessitent pas la mise en œuvre d'algorithmes et le temps pris par les programmes pour être comparés. Les notations asymptotiques sont des outils mathématiques pour représenter la complexité temporelle des algorithmes d'analyse asymptotique. Les 3 notations asymptotiques suivantes sont principalement utilisées pour représenter la complexité temporelle des algorithmes.

1) Notation : La notation thêta délimite une fonction d'en haut et d'en bas, elle définit donc un comportement asymptotique exact.
Un moyen simple d'obtenir la notation Theta d'une expression est de supprimer les termes d'ordre inférieur et d'ignorer les constantes principales. Par exemple, considérons l'expression suivante.
3n 3 + 6n 2 + 6000 = (n 3 )
L'abandon des termes d'ordre inférieur est toujours correct car il y aura toujours un nombre (n) après lequel Θ(n 3 ) a des valeurs supérieures à Θ(n 2 ) quelles que soient les constantes impliquées.
Pour une fonction donnée g(n), on note que Θ(g(n)) est l'ensemble de fonctions suivant.

La définition ci-dessus signifie que si f(n) est theta de g(n), alors la valeur f(n) est toujours comprise entre c1*g(n) et c2*g(n) pour les grandes valeurs de n (n >= n0). La définition de thêta exige également que f(n) soit non négatif pour les valeurs de n supérieures à n0.

2) Grande notation O : La notation Big O définit une borne supérieure d'un algorithme, elle délimite une fonction uniquement par le haut. Par exemple, considérons le cas du tri par insertion. Il faut un temps linéaire dans le meilleur des cas et un temps quadratique dans le pire des cas. Nous pouvons dire sans risque que la complexité temporelle du tri par insertion est O(n^2). Notez que O(n^2) couvre également le temps linéaire.
Si nous utilisons la notation Θ pour représenter la complexité temporelle du tri par insertion, nous devons utiliser deux instructions pour le meilleur et le pire des cas :
1. La complexité temporelle la plus défavorable du tri par insertion est Θ(n^2).
2. Le meilleur cas de complexité temporelle du tri par insertion est Θ(n).

La notation Big O est utile lorsque nous n'avons que la limite supérieure de la complexité temporelle d'un algorithme. Plusieurs fois, nous trouvons facilement une limite supérieure en regardant simplement l'algorithme.

3) Notation : Tout comme la notation Big O fournit une borne supérieure asymptotique sur une fonction, la notation Ω fournit une borne inférieure asymptotique.
La notation peut être utile lorsque nous avons une limite inférieure de complexité temporelle d'un algorithme. Comme discuté dans le post précédent, les meilleures performances d'un algorithme ne sont généralement pas utiles, la notation Omega est la notation la moins utilisée parmi les trois.

Pour une fonction donnée g(n), on note (g(n)) l'ensemble des fonctions.

Considérons ici le même exemple de tri par insertion. La complexité temporelle du tri par insertion peut être écrite sous la forme Ω(n), mais ce n'est pas une information très utile sur le tri par insertion, car nous nous intéressons généralement au pire des cas et parfois au cas moyen.

Propriétés des notations asymptotiques :
Comme nous avons parcouru la définition de ces trois notations, discutons maintenant de certaines propriétés importantes de ces notations.

1. Propriétés générales :

Si f(n) est O(g(n)) alors a*f(n) est aussi O(g(n)) où a est une constante.

Exemple : f(n) = 2n²+5 est O(n²)
alors 7*f(n) = 7(2n²+5) = 14n²+35 est aussi O(n²) .

De même, cette propriété satisfait à la fois pour les notations Θ et .

Nous pouvons dire
Si f(n) est (g(n)) alors a*f(n) est aussi Θ(g(n)) où a est une constante.
Si f(n) est (g(n)) alors a*f(n) est aussi Ω (g(n)) où a est une constante.

2. Propriétés transitives :

Si f(n) est O(g(n)) et g(n) est O(h(n)) alors f(n) = O(h(n)) .

Exemple : si f(n) = n, g(n) = n² et h(n)=n³
n est O(n²) et n² est O(n³)
alors n est O(n³)

De même, cette propriété satisfait à la fois pour les notations Θ et .

Nous pouvons dire
Si f(n) est Θ(g(n)) et g(n) est Θ(h(n)) alors f(n) = Θ(h(n)) .
Si f(n) est Ω (g(n)) et g(n) est Ω (h(n)) alors f(n) = Ω (h(n))

3. Propriétés réflexives :

Les propriétés réflexives sont toujours faciles à comprendre après le transitif.

Si f(n) est donné alors f(n) est O(f(n)). Depuis LA VALEUR MAXIMALE DE f(n) sera f(n) LUI-MÊME !

Donc x = f(n) et y = O(f(n) se lient toujours dans une relation réflexive.

Exemple: f(n) = n² O(n²) soit O(f(n))

De même, cette propriété satisfait à la fois pour les notations Θ et .

Si f(n) est donné alors f(n) est (f(n)).

Si f(n) est donné alors f(n) est (f(n)).

4. Propriétés symétriques :

Si f(n) est (g(n)) alors g(n) est Θ(f(n)) .

Exemple : f(n) = n² et g(n) = n²
alors f(n) = (n²) et g(n) = Θ(n²)

Cette propriété ne satisfait que pour la notation .

5. Transposer les propriétés symétriques :

Si f(n) est O(g(n)) alors g(n) est Ω (f(n)).

Exemple: f(n) = n , g(n) = n²
alors n est O(n²) et n² est Ω (n)

Cette propriété ne satisfait que pour les notations O et Ω.

6. Quelques autres propriétés :

1.) Si f(n) = O(g(n)) et f(n) = Ω(g(n)) alors f(n) = Θ(g(n))

2.) Si f(n) = O(g(n)) et d(n)=O(e(n))
alors f(n) + d(n) = O( max( g(n), e(n) ))
Exemple: f(n) = n c'est-à-dire O(n)
d(n) = n² soit O(n²)
alors f(n) + d(n) = n + n² soit O(n²)

3.) Si f(n)=O(g(n)) et d(n)=O(e(n))
alors f(n) * d(n) = O( g(n) * e(n) )
Exemple: f(n) = n c'est-à-dire O(n)
d(n) = n² soit O(n²)
alors f(n) * d(n) = n * n² = n³ soit O(n³)

_______________________________________________________________________________

Exercer:
Laquelle des affirmations suivantes est/sont valides ?
1. La complexité temporelle de QuickSort est Θ(n^2)
2. La complexité temporelle de QuickSort est O(n^2)
3. Pour deux fonctions f(n) et g(n), on a f(n) = Θ(g(n)) si et seulement si f(n) = O(g(n)) et f(n) = (g(n)).
4. La complexité temporelle de tous les algorithmes informatiques peut être écrite sous la forme Ω(1)

  • Il y a deux autres notations appelées petit o et petit oméga. Little o fournit une limite supérieure stricte (la condition d'égalité est supprimée de Big O) et little omega fournit une limite inférieure stricte (la condition d'égalité est supprimée de big omega)

Cet article est contribué par Abhay Rathi. Veuillez écrire des commentaires si vous trouvez quelque chose d'incorrect ou si vous souhaitez partager plus d'informations sur le sujet abordé ci-dessus.

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Notation de fonction

Dans la leçon précédente, vous avez appris à identifier une fonction en analysant le domaine et la plage et en utilisant le test de la ligne verticale.

Maintenant, nous allons jeter un oeil à notation de fonction et comment il est utilisé en algèbre.

La notation typique pour une fonction est f(x). Ceci est lu comme "f de x" Cela ne signifie PAS f fois x. Il s'agit d'une notation spéciale utilisée uniquement pour les fonctions.

Cependant, f(x) n'est pas la seule variable utilisée dans la notation des fonctions. Vous pouvez voir g(x), ou h(x), ou même b(a). Vous pouvez utiliser n'importe quelles lettres, mais elles doivent être dans le même format - une variable suivie d'une autre variable entre parenthèses.

La notation de fonction f(x) a été utilisée pour la première fois par un mathématicien nommé Leonhard Euler dans les années 1700.

Souvent, les fonctions sont écrites sous forme d'abréviation. Par exemple, si vous écrivez une équation pour calculer le carré de x. Vous pouvez l'écrire sous forme de fonction et la nommer s(x). Ceci est lu comme "s de x" pour le "carré de x".

Un autre exemple serait si j'écrivais une équation pour déterminer la distance parcourue par une voiture en fonction d'un certain temps de conduite. Je peux écrire la fonction comme d(t) pour "la distance basée sur le temps". De cette façon, je sais que t, qui représente le "temps" est ma variable indépendante et d(t) est le résultat.

Ok.. qu'est-ce que cela signifie vraiment ?

Rappelez-vous quand nous avons représenté graphiquement des équations linéaires ? Chaque équation a été écrite comme y = . Eh bien, maintenant au lieu de y = , vous allez voir f(x) .

f(x) est une autre façon de représenter la variable "y" dans une équation.

Jetons un coup d'oeil à un exemple.

Notez que y est remplacé par f(x), g(x), voire h(a).

C'est ce qu'on appelle la notation de fonction. Ils signifient tous exactement la même chose. Vous tracez tous ces graphiques exactement comme vous le feriez avec y = 2x +3. Nous utilisons simplement une notation différente.

Continuez à me suivre et vous apprendrez à évaluer des fonctions à l'aide de la notation fonctionnelle dans la prochaine leçon.

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Comme ces propriétés sont valables pour les notations asymptotiques, on peut faire une analogie entre la comparaison asymptotique de deux fonctions f et g et la comparaison de deux nombres réels a et b :

Trichotomie : pour deux nombres réels a et b , exactement l'un des nombres suivants doit être respecté : a < b , a = b , ou a > b .

Bien que deux nombres réels puissent être comparés, toutes les fonctions ne sont pas asymptotiquement comparables. Autrement dit, pour deux fonctions ( n ) et g ( n ), il se peut que ni ( n ) = O ( g ( n )) ni ( n ) = ( g ( n )) ne soient vérifiés. Par exemple, les fonctions n et n 1 + sin n ne peuvent pas être comparées en notation asymptotique, puisque la valeur de l'exposant dans n 1 + sin n oscille entre 0 et 2, prenant toutes les valeurs intermédiaires.


2.2 : Fonctions et notation des fonctions - Mathématiques

Dans la section 2.2.1, nous avons implémenté un algorithme de tri simple, tri par recherche minimale. Nous l'avons utilisé là-bas pour trier les caractères, nous pouvions également trier des nombres ou des chaînes avec, car il n'est basé que sur des comparaisons et des échanges. Tout ce que nous avons à faire pour trier les chaînes avec le même algorithme est de remplacer le nom du type tableau<char> dans le code source par tableau&chaînelt> . et nous pouvons trier un annuaire téléphonique complet : l'annuaire téléphonique de Sarrebruck, de Munich, d'Allemagne. Pouvons-nous vraiment?

Complexité temporelle

Combien de temps dure ce programme de tri ? Il faut peut-être beaucoup de temps sur les entrées volumineuses (c'est-à-dire plusieurs chaînes) jusqu'à ce que le programme ait terminé son travail et donne à nouveau signe de vie. Parfois, il est logique de pouvoir estimer le temps de fonctionnement avant que démarrage d'un programme. Personne ne veut attendre un annuaire téléphonique trié pendant des années ! Bien entendu, le temps d'exécution dépend du nombre n de chaînes à trier. Pouvons-nous trouver une formule pour le temps d'exécution qui dépend de n ?

En regardant de près le programme, nous remarquons qu'il se compose de deux boucles for imbriquées. Dans les deux boucles, les variables vont de 0 à n, mais la variable interne commence là où se trouve la variable externe. Un si avec une comparaison et certaines affectations pas nécessairement exécutées résident à l'intérieur des deux boucles. Une bonne mesure du temps d'exécution est le nombre de comparaisons exécutées. [11] Dans la première itération n comparaisons ont lieu, dans la seconde n-1, puis n-2, puis n-3 etc. Donc 1+2+ . +n comparaisons sont effectuées au total. Selon la formule de somme gaussienne bien connue, il s'agit exactement de comparaisons 1/2·(n-1)·n. La figure 2.8 illustre cela. La zone tramée correspond au nombre de comparaisons exécutées. Cela correspond apparemment à env. à la moitié de l'aire d'un carré de côté n. Cela représente donc env. 1/2&moyen 2 .

Graphique 2.8. Analyse du temps d'exécution du tri par recherche minimale

Comment juger cette expression ? Est-ce bon ou mauvais? Si on double le nombre de chaînes à trier, le temps de calcul quadruple ! Si nous l'augmentons par dix, cela prend même 100 = 10 2 fois plus longtemps jusqu'à ce que le programme soit terminé ! Tout cela est causé par l'expression n 2 . L'un dit : le tri par recherche minimale a complexité quadratique. Cela nous donne le pressentiment que cette méthode n'est pas adaptée pour de grandes quantités de données car elle prend tout simplement beaucoup trop de temps.

Il serait donc fallacieux de dire ici : “ Pour beaucoup d'argent, on achètera simplement une machine qui est deux fois plus rapide, puis on pourra trier deux fois plus de cordes (en même temps). ” Les considérations de temps d'exécution théorique offrent une protection contre de telles erreurs.

Le nombre d'instructions (machine) qu'un programme exécute pendant son exécution est appelé son complexité temporelle en informatique. Ce nombre dépend principalement de la taille de l'entrée du programme, c'est-à-dire approximativement du nombre de chaînes à trier (et de leur longueur) et de l'algorithme utilisé. Donc approximativement, la complexité temporelle du programme “ trier un tableau de n chaînes par recherche minimale ” est décrite par l'expression c·n 2 .

c est une constante qui dépend du langage de programmation utilisé, de la qualité du compilateur ou de l'interpréteur, du CPU, de la taille de la mémoire principale et du temps d'accès à celle-ci, de la connaissance du programmeur, et enfin et surtout au moins sur l'algorithme lui-même, qui peut nécessiter des instructions machine simples mais aussi chronophages. (Par souci de simplicité, nous avons dessiné le facteur 1/2 dans c ici.) Ainsi, alors que l'on peut réduire c en améliorant les circonstances extérieures (et en investissant ainsi souvent beaucoup d'argent), le terme n 2 , cependant, toujours reste inchangé.

La notation O

Autrement dit : c'est pas vraiment important pour la description du temps d'exécution ! Pour tenir compte de cette circonstance, les complexités de temps d'exécution sont toujours spécifiées dans ce que l'on appelle O-notation en informatique. L'un dit : la méthode de tri a un temps d'exécution O(n 2 ). L'expression O est aussi appelée Le symbole de Landau.

Mathématiquement parlant, O(n 2 ) représente un ensemble de fonctions, exactement pour toutes les fonctions qui, “ à long terme ”, ne croissent pas plus vite que la fonction n 2 , c'est-à-dire pour les fonctions pour lesquelles la fonction n 2 est une borne supérieure (à part un facteur constant.) Pour être précis, ce qui suit est vrai : Une fonction f est un élément de l'ensemble O(n 2 ) s'il y a un facteur c et un nombre entier n0 tel que pour tout n égal ou supérieur à ce n0 les points suivants sont retenus :

La fonction n 2 est alors appelée un borne supérieure asymptotique pour f. Généralement, la notation f(n)=O(g(n)) dit que la fonction f est asymptotiquement bornée par le haut par la fonction g. [12]

Une fonction f de O(n 2 ) peut croître considérablement plus lentement que n 2 de sorte que, mathématiquement parlant, le quotient f / n 2 converge vers 0 lorsque n augmente. Un exemple de ceci est la fonction f(n)=n. Cependant, cela ne vaut pas pour la fonction f qui décrit le temps d'exécution de notre méthode de tri. Cette méthode toujours nécessite n 2 comparaisons (hormis un facteur constant de 1/2). n 2 est donc aussi un borne inférieure asymptotiquement pour f. Ce f se comporte à long terme exactement comme n 2 . Exprimé mathématiquement : il y a des facteurs c1 et C2 et un nombre entier n0 tel que pour tout n égal ou supérieur à n0 les points suivants sont retenus :

Donc f est borné par n 2 d'en haut et par le bas. Il existe également une notation propre pour l'ensemble de ces fonctions : Θ(n 2 ).

La figure 2.9 oppose une fonction f qui est bornée par le haut par O(g(n)) à une fonction dont le comportement asymptotique est décrit par Θ(g(n)) : cette dernière se situe dans un tube autour de g(n) , qui résulte des deux facteurs c1 et C2.

Graphique 2.9. Les bornes asymptotiques O et Θ

Ces notations apparaissent encore et encore dans le manuel LEDA à la description des opérations non triviales. On peut ainsi estimer la ordre de grandeur de la méthode utilisée en général, cependant, nous ne pouvons pas faire une prédiction exacte du temps de fonctionnement. (Parce qu'en général on ne connaît pas c, qui dépend de trop de facteurs, même s'il peut souvent être déterminé expérimentalement voir aussi l'exercice 8 à ce sujet.)

Souvent, la déclaration se trouve dans le manuel qu'une opération prend “ temps constant ”. On entend par là que cette opération est exécutée avec un nombre constant d'instructions machine, indépendamment de la taille de l'entrée. La fonction décrivant le comportement du temps d'exécution est donc en O(1). Les expressions “ temps linéaire ” et “ temps logarithmique ” décrire les comportements de temps d'exécution correspondants : au moyen de la notation O, cela est souvent exprimé par “ prend du temps Au) et O(log(n)) ”, respectivement.

De plus, l'expression “ heure prévue ” O(g(n)) apparaît souvent dans le manuel. Cela signifie que le temps d'exécution d'une opération peut varier d'une exécution à l'autre, que la valeur attendue du temps d'exécution est cependant asymptotiquement limitée par le haut par la fonction g(n).

Revenons à notre algorithme de tri : un temps d'exécution de Θ(n 2 ) indique qu'une entrée suffisamment importante mettra toujours le système à genoux concernant son temps d'exécution. Ainsi, au lieu d'investir beaucoup d'argent et d'efforts dans une réduction du facteur c, nous devrions plutôt commencer à rechercher un meilleur algorithme. Grâce à LEDA, nous n'avons pas besoin de passer beaucoup de temps à le chercher : toutes les méthodes de tri efficaces connues sont intégrées dans LEDA.

Pour donner un exemple, nous lisons sur la page de manuel de déployer dans la section “ Implémentation ” que la méthode sorte() de tableaux implémente le connu Algorithme de tri rapide dont la complexité (attendue) est O(n·log(n)) qui (vu asymptotiquement) est fondamentalement meilleure que Θ(n 2 ). Cela signifie que Quicksort défait le tri par recherche minimale à long terme : si n est suffisamment grand, l'expression c1·n·log(n) devient certainement plus petit que l'expression c2·n 2 , indépendamment de la taille des deux constantes dépendantes du système c1 et C2 des deux méthodes sont en fait le quotient des deux expressions converge vers 0. (Pour petit n, cependant, c1·n·log(n) peut certainement être plus grand que c2·n 2 en effet, Quicksort ne paie pas sur de très petits tableaux par rapport au tri par recherche minimale.)

Revenons maintenant à la question initiale : pouvons-nous trier les annuaires téléphoniques avec notre algorithme de tri dans un délai acceptable ? Cela dépend, conformément à ce que nous avons dit plus haut, uniquement du nombre d'entrées (c'est-à-dire du nombre d'habitants de la ville) et de la constante système c. Appliqué aux machines d'aujourd'hui : l'annuaire téléphonique de Sarrebruck en tout cas, celui de Munich peut-être dans quelques heures, mais sûrement pas celui de l'Allemagne. Avec la méthode sorte() de la classe déployer, cependant, le dernier problème n'est pas un problème non plus.

Complexité spatiale

Plus la complexité temporelle d'un algorithme est élevée, plus l'algorithme effectuera son travail rapidement dans la pratique. Outre la complexité temporelle, son complexité spatiale est également important : il s'agit essentiellement du nombre de cellules mémoire dont un algorithme a besoin. Un bon algorithme maintient également ce nombre aussi petit que possible.

Il y a souvent un compromis espace-temps impliqué dans un problème, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être résolu avec peu de temps de calcul et faible consommation de mémoire. Il faut alors faire un compromis et échanger du temps de calcul contre une consommation mémoire ou inversement, selon l'algorithme que l'on choisit et comment on le paramètre.

Analyse amortie

Parfois, nous trouvons la déclaration dans le manuel qu'une opération prend temps amorti O(f(n)). Cela signifie que le temps total pour n de telles opérations est borné asymptotiquement par le haut par une fonction g(n) et que f(n)=O(g(n)/n). Le temps amorti est donc (une borne pour) le durée moyenne d'une opération dans le pire des cas .

Le cas particulier d'un temps amorti de O(1) signifie qu'une séquence de n telles opérations ne prend que le temps O(n). On appelle alors cela temps d'amortissement constant.

De telles déclarations sont souvent le résultat d'une analyse amortie: chacune des n opérations ne prend pas autant de temps, certaines opérations sont gourmandes en temps d'exécution et font beaucoup de “ pré-travail ” (ou aussi “ post-travail ”), quoi, cependant , est récompensé par le fait que, grâce au pré-travail effectué, les opérations restantes peuvent être effectuées si rapidement qu'un temps total de O(g(n)) n'est pas dépassé. Donc l'investissement dans le pré-travail ou l'après-travail amortit lui-même.

Des exercices

Créez un tableau de 10 000 nombres entiers. Triez-le avec l'algorithme de la section 2.2.1. Mesurer le temps d'exécution et déterminer le facteur c expérimentalement avec celui-ci. Sur cette base, faites des prédictions sur la durée du tri d'un tableau avec 100 000 éléments (Saarbrücken), 1 000 000 éléments (Munich) et 10 000 000 éléments (Allemagne). Testez votre prédiction pour un tableau composé de 1 000 000 d'éléments.

Remplacez ensuite l'algorithme par celui de LEDA sorte() méthode et mesurer à nouveau les temps d'exécution.

Astuce : la fonction temps_utilisé(), qui est décrit au paragraphe 2.11.5, propose ses services de mesure des temps de parcours.

Une autre méthode de tri qui ne prend également que le temps O(n·log((n)) est Tri par fusion. Cela fonctionne de manière récursive : on divise le tableau à trier en deux moitiés, trie chacune des deux moitiés de manière récursive, puis fusionne les moitiés triées en un tableau trié.

Que signifie “ fusionner ” ? La fusion est effectuée en comparant deux à deux les éléments des deux sous-tableaux déjà triés. Deux variables d'index sont utilisées ici, qui s'étendent de gauche à droite sur les sous-tableaux à fusionner. L'élément respectivement plus petit (ou plus grand dans un tri décroissant) est écrit dans un tableau temporaire. La variable d'index pointant vers la plus petite des deux valeurs est avancée d'une position vers la droite.

Travaillez les détails. Pourquoi cette méthode ne prend-elle toujours que le temps O(n·log(n)) ? Mettre en œuvre cette méthode et la laisser concurrencer les LEDA sorte() et tri par recherche minimale.

Pour ajouter arbitrairement de nombreux éléments à une extrémité d'un tableau, la procédure suivante stratégie de doublement peut être utilisé : Chaque fois que la baie est pleine, sa taille est doublée grâce à redimensionner().

Déterminez pourquoi l'ajout d'un élément prend un temps amorti O (1) avec cette stratégie de doublement et ne prend donc pas beaucoup plus de temps que l'ajout d'un élément à une extrémité d'un liste linéaire. (Là, chaque insertion et suppression prend un temps garanti O(1), quelle que soit la position où elle est effectuée, comme nous le verrons dans la section 2.3. Déterminez pourquoi cela ne tient pas si les éléments sont insérés au début milieu du tableau (contrairement à l'insertion dans une liste linéaire).

Par conséquent, l'ajout de n éléments à un tableau initialement vide prend un temps O(n) avec cette stratégie de doublement. Comparez cela au temps nécessaire si la taille du tableau augmente de 1 avec chaque ajout et tous les éléments doivent être copiés vers un nouvel emplacement.

Dans la section 2.7, nous apprendrons à connaître les files d'attente a file d'attente est une structure de données dans laquelle des éléments peuvent être ajoutés à une extrémité et extrait à l'autre extrémité seulement . En revanche, les éléments peuvent être insérés et extraits à tous les deux extrémités d'un deque (“ file d'attente à deux extrémités ”, prononcée “ deck ”), voir Figure 2.10.

Un deque est une file d'attente dans laquelle des éléments peuvent être insérés et extraits aux deux extrémités. Ce deque est implémenté par deux tableaux A et B. Il contient 9 éléments. Les éléments aux deux extrémités sont les éléments A[2] et B[5]. La figure indique à quelle position la prochaine pop(), pousser(), ajouter(), ou alors pop_back(), respectivement, modifiera le deque.

LEDA n'a pas de classe deque, car, entre autres raisons, une telle structure n'est que rarement nécessaire et peut être facilement simulée par une liste linéaire ou un agencement astucieux de deux tableaux.

Ecrire une classe deque qui met en œuvre un deque. L'insertion et la suppression d'un élément doivent être possibles en temps amorti O(1) aux deux extrémités. Chaque élément doit en outre être accessible en temps constant via un index. (Une liste linéaire est donc hors de question pour la mise en œuvre. La figure 2.10 donne un indice pour la solution du problème.)

[11] On suppose que toutes les chaînes à trier sont très courtes, comme c'est le cas dans un annuaire téléphonique. Par conséquent, nous considérons ici la copie d'une chaîne comme une opération qui peut être effectuée avec un nombre constant d'instructions machine.

[12] À proprement parler, le signe d'égalité n'a pas de sens ici, en fait, il devrait s'agir d'un signe d'inclusion défini, mais le signe d'égalité est devenu la norme.


Méthodes mathématiques pour la théorie économique

Voici une définition précise. Parce que la définition implique la relation entre la valeur de la fonction à (X1, . Xm) et ses valeurs aux points de la forme (tX1, . tXm) où t est un nombre positif quelconque, il est restreint aux fonctions pour lesquelles (tX1, . tXm) est dans le domaine à chaque fois t > 0 et (X1, . Xm) est dans le domaine. (Certains domaines qui ont cette propriété sont l'ensemble de tous les nombres réels, l'ensemble des nombres réels non négatifs, l'ensemble des nombres réels positifs, l'ensemble de tous m-uplets (X1, . Xm) de nombres réels, l'ensemble des m-uplets de nombres réels non négatifs, et l'ensemble des m-uplets de nombres réels positifs.)

Supposons que la demande de biens d'un consommateur, en fonction des prix et de ses revenus, résulte de son choix, parmi tous les forfaits qu'il peut s'offrir, celui qui convient le mieux à ses préférences. On peut alors montrer que cette fonction de demande est homogène de degré zéro : si tous les prix et le revenu du consommateur sont multipliés par n'importe quel nombre t > 0 alors ses demandes de marchandises restent les mêmes.

Dérivées partielles de fonctions homogènes

Application : courbes de niveau de fonctions homogènes

Dans cette figure, les lignes rouges sont deux courbes de niveau, et les deux lignes vertes, les tangentes aux courbes à (X0, oui0) et à (cX0, coui0), sont parallèles.

On peut résumer ce résultat comme suit.

Le théorème d'Euler

Je montre maintenant que si (*) tient alors F est homogène de degré k. Supposons que (*) soit vérifié. Réparer (X1, . Xm) et définir la fonction g d'une seule variable par