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6.2 : Révision des séries de puissance - Mathématiques


De nombreuses applications donnent lieu à des équations différentielles avec des solutions qui ne peuvent pas être exprimées en termes de fonctions élémentaires telles que des polynômes, des fonctions rationnelles, des fonctions exponentielles et logarithmiques et des fonctions trigonométriques. Les solutions de certaines des plus importantes de ces équations peuvent être exprimées en termes de séries entières. Nous étudierons de telles équations dans ce chapitre. Dans cette section, nous passons en revue les propriétés pertinentes des séries entières. Nous omettrons les preuves, qui peuvent être trouvées dans n'importe quel texte de calcul standard.

Définition (PageIndex{1})

Une série infinie de la forme

[label{eq:7.1.1} sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n,]

où (x_0) et (a_0), (a_1,) …, (a_n,) …sont des constantes, est appelé un série de puissance dans (x-x_0.) On dit que la série entière Équation ef{eq:7.1.1} converge pour un (x) donné si la limite

[lim_{N oinfty} sum_{n=0}^Na_n(x-x_0)^n onumber]

existe(;) sinon, on dit que la série entière diverge pour le (x.) donné

Une série entière dans (x-x_0) doit converger si (x=x_0), puisque les puissances positives de (x-x_0) sont toutes nulles dans ce cas. Cela peut être la seule valeur de (x) pour laquelle la série de puissances converge. Cependant, le théorème suivant montre que si la série entière converge pour un certain (x e x_0) alors l'ensemble de toutes les valeurs de (x) pour lequel elle converge forme un intervalle.

Théorème (PageIndex{2})

Pour toute série de puissance

[sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n, onumber]

exactement une de ces déclarations est vraie(:)

  1. La série entière ne converge que pour (x=x_0.)
  2. La série entière converge pour toutes les valeurs de (x.)
  3. Il existe un nombre positif (R) tel que la série entière converge si (|x-x_0|R).

Dans le cas (iii) on dit que (R) est le rayon de convergence de la série de puissance. Par commodité, nous incluons les deux autres cas dans cette définition en définissant (R=0) dans le cas (i) et (R=infty) dans le cas (ii). Nous définissons le intervalle ouvert de convergence de (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) être

[(x_{0}-R, x_{0}+R)quad ext{if}quad 0

Si (R) est fini, aucune affirmation générale ne peut être faite concernant la convergence aux extrémités (x=x_0pm R) de l'intervalle ouvert de convergence ; la série peut converger à un ou aux deux points, ou diverger aux deux.

Rappelez-vous du calcul qu'une série de constantes (sum_{n=0}^inftyalpha_n) est dite converger absolument si la série de valeurs absolues (sum_{n=0}^infty|alpha_n|) converge. On peut montrer qu'une série entière (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) de rayon de convergence positif (R) converge absolument dans son intervalle ouvert de convergence ; c'est-à-dire la série

[sum_{n=0}^infty |a_n||x-x_0|^n onumber]

des valeurs absolues converge si (|x-x_0|

Le théorème suivant fournit une méthode utile pour déterminer le rayon de convergence d'une série entière. Il est dérivé dans le calcul en appliquant le test du rapport à la série correspondante de valeurs absolues. Pour les théorèmes connexes, voir Exercices 7.2.2 et 7.2.4.

Théorème (PageIndex{3})

Supposons qu'il existe un entier (N) tel que (a_n e0) si (nge N) et

[lim_{n oinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=L, onumber]

où (0le Lleinfty.) Alors le rayon de convergence de (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) est (R=1/ L ,) qui doit être interprété comme signifiant que (R=0) si (L=infty,) ou (R=infty) si (L=0).

Exemple (PageIndex{1})

Trouver le rayon de convergence de la série :

  1. [sum_{n=0}^infty n!x^n onumber]
  2. [sum_{n=10}^infty (-1)^n {x^nover n!} onumber]
  3. [sum_{n=0}^infty 2^nn^2 (x-1)^n. onumber]

Une solution

Ici (a_n=n!), donc

[lim_{nàinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=lim_{n oinfty} {(n+1)!over n!}= lim_{nàinfty}(n+1)=infty. pas de numéro]

D'où (R=0).

Solution b

Ici (a_n=(1)^n/n!) pour (nge N=10), donc

[lim_{nàinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=lim_{n oinfty} {n!over (n+1)!}= lim_{nàinfty}{1sur n+1}=0. pas de numéro]

Par conséquent, (R=infty).

Solution c

Ici (a_n=2^nn^2), donc

[lim_{n oinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=lim_{n oinfty} {2^{n+1}(n+1)^ 2over2^nn^2}=2lim_{n oinfty}left(1+{1over n} ight)^2=2. pas de numéro]

D'où (R=1/2).

Série Taylor

Si une fonction (f) a des dérivées de tous les ordres en un point (x=x_0), alors le série de Taylor de (f) sur (x_0) est défini par

[sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(x_0)over n!}(x-x_0)^n. pas de numéro ]

Dans le cas particulier où (x_0=0), cette série est aussi appelée la série Maclaurin de (F).

Les séries de Taylor pour la plupart des fonctions élémentaires communes convergent vers les fonctions sur leurs intervalles ouverts de convergence. Par exemple, vous connaissez probablement la série Maclaurin suivante :

[label{eq:7.1.2} e^{x} = sum_{n=0}^{infty} frac{x^{n}}{n!}, quad -infty

[label{eq:7.1.3} sin x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} frac{x^{2n+1}}{(2n+ 1)!}, quad -infty

[label{eq:7.1.4} cos x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} frac{x^{2n}}{(2n)!} quad -infty

[label{eq:7.1.5} frac{1}{1-x} = sum_{n=0}^{infty} x^{n} quad -1

Différenciation des séries de puissance

Une série entière avec un rayon de convergence positif définit une fonction

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n onumber]

sur son intervalle ouvert de convergence. On dit que la série représente (f) sur l'intervalle ouvert de convergence. Une fonction (f) représentée par une série entière peut être une fonction élémentaire familière comme dans les équations ef{eq:7.1.2} - ef{eq:7.1.5} ; cependant, il arrive souvent que (f) ne soit pas une fonction familière, donc la série définit (F).

Le théorème suivant montre qu'une fonction représentée par une série entière a des dérivées de tous les ordres sur l'intervalle ouvert de convergence de la série entière, et fournit des représentations en série entière des dérivées.

Théorème (PageIndex{4}): Une série entière

Une série de puissance

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n onumber]

avec un rayon de convergence positif (R) a des dérivées de tous les ordres dans son intervalle ouvert de convergence, et les dérivées successives peuvent être obtenues en différenciant à plusieurs reprises terme par terme(;) c'est-à-dire,

[egin{align} f'(x)&={sum_{n=1}^infty na_n(x-x_0)^{n-1}}label{eq:7.1.6}, f''(x)&={sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}},label{eq:7.1.7} &vdots& onumber f^{(k)}(x)&={sum_{n=k}^infty n(n-1)cdots(n-k+1)a_n(x-x_0 )^{nk}}label{eq:7.1.8}.end{align} onumber ]

De plus, toutes ces séries ont le même rayon de convergence (R.)

Exemple (PageIndex{2})

Soit (f(x)=sin x). À partir de l'équation ef{eq:7.1.3},

[f(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^n {x^{2n+1}over(2n+1)!}. pas de numéro]

À partir de l'équation ef{eq:7.1.6},

[f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^n{dover dx}left[x^{2n+1}over(2n+1)! ight ]= sum_{n=0}^infty(-1)^n {x^{2n}over(2n)!}, onumber]

qui est l'équation de la série ef{eq:7.1.4} pour (cos x).

Unicité de la série Power

Le théorème suivant montre que si (f) est défini par une série entière dans (x-x_0) avec un rayon de convergence positif, alors la série entière est la série de Taylor de (f) sur (x_0).

Théorème (PageIndex{5})

Si la série de puissance

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n onumber]

a un rayon de convergence positif, alors

[label{eq:7.1.9} a_n={f^{(n)}(x_0)over n!};]

c'est-à-dire que (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) est la série de Taylor de (f) sur (x_0).

Ce résultat peut être obtenu en définissant (x=x_0) dans l'équation ef{eq:7.1.8}, ce qui donne

[f^{(k)}(x_0)=k(k-1)cdots1cdot a_k=k!a_k. pas de numéro]

Ceci implique que

[a_k={f^{(k)}(x_0)over k!}. onumber]

À l'exception de la notation, c'est la même chose que l'équation ef{eq:7.1.9}.

Le théorème suivant énumère deux propriétés importantes des séries entières qui découlent du théorème (PageIndex{4}).

Théorème (PageIndex{6})

  1. Si [sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n=sum_{n=0}^infty b_n(x-x_0)^n onumber ] pour tout (x ) dans un intervalle ouvert qui contient (x_0,) puis (a_n=b_n) pour (n=0), (1), (2), ….
  2. Si [sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n=0 onumber ] pour tout (x) dans un intervalle ouvert qui contient (x_0,) alors (a_n =0) pour (n=0), (1), (2), ….

Pour obtenir (a) on observe que les deux séries représentent la même fonction (f) sur l'intervalle ouvert ; par conséquent, le théorème (PageIndex{4}) implique que

[a_n=b_n={f^{(n)}(x_0)over n!},quad n=0,1,2, dots. pas de numéro]

(b) peut être obtenu à partir de (a) en prenant (b_n=0) pour (n=0), (1), (2), ….

Polynômes de Taylor

Si (f) a (N) dérivées en un point (x_0), on dit que

[T_N(x)=sum_{n=0}^N{f^{(n)}(x_0)over n!}(x-x_0)^n onumber]

est le (N)-ième polynôme de Taylor de (f) sur (x_0). Cette définition et le théorème (PageIndex{4}) impliquent que si

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n, onumber]

où la série entière a un rayon de convergence positif, alors les polynômes de Taylor de (f) sur (x_0) sont donnés par

[T_N(x)=sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n. pas de numéro]

Dans les applications numériques, nous utilisons les polynômes de Taylor pour approximer (f) sur des sous-intervalles de l'intervalle ouvert de convergence de la série entière. Par exemple, l'équation ef{eq:7.1.2} implique que le polynôme de Taylor (T_N) de (f(x)=e^x) est

[T_N(x)=sum_{n=0}^N{x^nsur n !}. pas de numéro]

La courbe continue de la figure (PageIndex{1}) est le graphique de (y=e^x) sur l'intervalle ([0,5]). Les courbes en pointillés de la figure (PageIndex{1}) sont les graphes des polynômes de Taylor (T_1), …, (T_6) de (y=e^x) sur (x_0=0 ). De cette figure, nous concluons que la précision de l'approximation de (y=e^x) par son polynôme de Taylor (T_N) s'améliore à mesure que (N) augmente.

Décalage de l'index de sommation

Dans la définition (PageIndex{1}) d'une série entière dans (x-x_0), le (n)-ième terme est un multiple constant de ((x-x_0)^n). Ce n'est pas vrai dans l'équation ef{eq:7.1.6}, l'équation ef{eq:7.1.7} et l'équation ef{eq:7.1.8}, où les termes généraux sont des multiples constants de ( (x-x_0)^{n-1}), ((x-x_0)^{n-2}) et ((x-x_0)^{nk}), respectivement. Cependant, ces séries peuvent toutes être réécrites de sorte que leurs (n)-ième termes soient des multiples constants de ((x-x_0)^n). Par exemple, laisser (n=k+1) dans la série de l'équation ef{eq:7.1.6} donne

[label{eq:7.1.10} f'(x)=sum_{k=0}^infty (k+1)a_{k+1}(x-x_0)^k,]

où nous commençons le nouvel indice de sommation (k) à partir de zéro de sorte que le premier terme de l'équation ef{eq:7.1.10} (obtenu en définissant (k=0)) soit le même que le premier terme de Équation ef{eq:7.1.6} (obtenue en définissant (n=1)). Cependant, la somme d'une série est indépendante du symbole utilisé pour désigner l'indice de sommation, tout comme la valeur d'une intégrale définie est indépendante du symbole utilisé pour désigner la variable d'intégration. On peut donc remplacer (k) par (n) dans l'équation ef{eq:7.1.10} pour obtenir

[label{eq:7.1.11} f'(x)=sum_{n=0}^infty (n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n,]

où le terme général est un multiple constant de ((x-x_0)^n).

Il n'est pas vraiment nécessaire d'introduire l'indice de sommation intermédiaire (k). On peut obtenir l'équation ef{eq:7.1.11} directement à partir de l'équation ef{eq:7.1.6} en remplaçant (n) par (n+1) dans le terme général de l'équation ef{eq :7.1.6} et en soustrayant 1 de la limite inférieure de l'équation ef{eq:7.1.6}. Plus généralement, nous utilisons la procédure suivante pour déplacer les indices.

Décalage de l'indice de sommation dans une série de puissance

Pour tout entier (k), la série entière

[sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { infty } b _ { n } left( x - x _ { 0 } ight) ^ { n - k } onumber ]

peut être réécrit comme

[sum _ { n = n _ { 0 } - k } ^ { infty } b _ { n + k } left( x - x _ { 0 } ight) ^ { n } onumber ]

c'est-à-dire que remplacer (n) par (n + k) dans le terme général et soustraire k de la limite inférieure de sommation laisse la série inchangée.

Exemple (PageIndex{3})

Réécrivez la série entière suivante à partir de l'équation ef{eq:7.1.7} et de l'équation ef{eq:7.1.8} de sorte que le terme général dans chacune soit un multiple constant de ((x-x_0)^n) :

[(a) sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}quad (b) sum_{n=k}^infty n( n-1)cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{nk}. pas de numéro ]

Une solution

Remplacer (n) par (n+2) dans le terme général et soustraire (2) de la limite inférieure des résultats de sommation

[sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}= sum_{n=0}^infty (n+2)(n+1 )a_{n+2}(x-x_0)^n. pas de numéro ]

Solution b

Remplacer (n) par (n+k) dans le terme général et soustraire (k) de la limite inférieure des résultats de sommation

[sum_{n=k}^infty n(n-1)cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{nk}= sum_{n=0}^infty (n +k)(n+k-1)cdots(n+1)a_{n+k}(x-x_0)^n. pas de numéro ]

Exemple (PageIndex{4})

Étant donné que

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n, onumber]

écrire la fonction (xf'') comme une série entière dans laquelle le terme général est un multiple constant de (x^n).

Solution

Du théorème (PageIndex{4}) avec (x_0=0),

[f''(x)=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-2}. onumber]

Donc

[xf''(x)=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-1}. onumber]

Remplacer (n) par (n+1) dans le terme général et soustraire (1) de la limite inférieure des résultats de sommation

[xf''(x)=sum_{n=1}^infty (n+1)na_{n+1}x^n. onumber]

Nous pouvons également écrire ceci comme

[xf''(x)=sum_{n=0}^infty (n+1)na_{n+1}x^n, onumber]

puisque le premier terme de cette dernière série est nul. (Nous verrons plus tard qu'il est parfois utile d'inclure des termes zéro au début d'une série.)

Combinaisons linéaires de séries de puissance

Si une série entière est multipliée par une constante, alors la constante peut être placée à l'intérieur de la sommation ; C'est,

[csum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n=sum_{n=0}^infty ca_n(x-x_0)^n. onumber]

Deux séries de puissance

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n quadmbox{ et }quad g(x)=sum_{n=0}^infty b_n (x-x_0)^npas de numéro]

à rayons de convergence positifs peuvent être ajoutés terme à terme en des points communs à leurs intervalles ouverts de convergence ; ainsi, si la première série converge pour (|x-x_0|

[f(x)+g(x)=sum_{n=0}^infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n onumber]

pour (|x-x_0|

[c_1f(x)+c_2f(x)=sum_{n=0}^infty(c_1a_n+c_2b_n)(x-x_0)^n. onumber]

Exemple (PageIndex{5})

Trouvez la série de Maclaurin pour (cosh x) en tant que combinaison linéaire de la série de Maclaurin pour (e^x) et (e^{-x}).

Solution

Par définition,

[cosh x={1over2}e^x+{1over2}e^{-x}. pas de numéro]

Depuis

[e^x=sum_{n=0}^infty {x^nover n!}quadmbox{ et }quad e^{-x}=sum_{n=0}^ infty (-1)^n {x^nover n!}, onumber]

il s'ensuit que

[label{eq:7.1.12} cosh x=sum_{n=0}^infty {1over2}[1+(-1)^n]{x^nover n!}. ]

Depuis

[{1over2}[1+(-1)^n]=left{egin{array}{cl}1&mbox{ if } n=2m,mbox{ un entier pair}, 0&mbox{ si }n=2m+1,mbox{ un entier impair}, end{array} ight. pas de numéro]

nous pouvons réécrire l'équation ef{eq:7.1.12} plus simplement comme

[cosh x=sum_{m=0}^infty{x^{2m}over(2m)!}. pas de numéro]

Ce résultat est valable sur ((-infty,infty)), puisque c'est l'intervalle ouvert de convergence de la série de Maclaurin pour (e^x) et (e^{-x}).

Exemple (PageIndex{6})

Supposer

[y=sum_{n=0}^infty a_n x^n onumber]

sur un intervalle ouvert (I) qui contient l'origine.

  1. Exprimez [(2-x)y''+2y onumber] comme une série entière dans (x) sur (I).
  2. Utilisez le résultat de (a) pour trouver les conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients ({a_n}) pour que (y) soit une solution de l'équation homogène

    [label{eq:7.1.13} (2-x)y''+2y=0]

    sur (I).

Une solution

De l'équation ef{eq:7.1.7} avec (x_0=0),

[y''=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-2}. pas de numéro]

Donc

[label{eq:7.1.14} egin{array}{rcl} (2-x)y''+2y &= 2y''-xy'+2y &= {sum_{n=2 }^infty 2n(n-1)a_nx^{n-2} -sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-1} +sum_{n=0}^ infty 2a_n x^n}. end{tableau}]

Pour combiner les trois séries, nous décalons les indices des deux premières pour que leurs termes généraux soient des multiples constants de (x^n); Donc,

[label{eq:7.1.15} sum_{n=2}^infty 2n(n-1)a_nx^{n-2}=sum_{n=0}^infty2(n+2) (n+1)a_{n+2}x^n]

et

[label{eq:7.1.16} sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-1}=sum_{n=1}^infty(n+1) na_{n+1}x^n =sum_{n=0}^infty(n+1)na_{n+1}x^n,]

où nous avons ajouté un terme zéro dans la dernière série de sorte que lorsque nous substituons l'équation ef{eq:7.1.15} et l'équation ef{eq:7.1.16} dans l'équation ef{eq:7.1.14} les trois la série commencera par (n=0); Donc,

[label{eq:7.1.17} (2-x)y''+2y=sum_{n=0}^infty [2(n+2)(n+1)a_{n+2} -(n+1)na_{n+1}+2a_n]x^n.]

Solution b

D'après l'équation ef{eq:7.1.17} nous voyons que (y) satisfait l'équation ef{eq:7.1.13} sur (I) si

[label{eq:7.1.18} 2(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)na_{n+1}+2a_n=0,quad n=0 ,1,2, points.]

Inversement, le théorème (PageIndex{5})b implique que si (y=sum_{n=0}^infty a_nx^n) satisfait l'équation ef{eq:7.1.13} sur (I ), alors l'équation ef{eq:7.1.18} est vérifiée.

Exemple (PageIndex{7})

Supposer

[y=sum_{n=0}^infty a_n (x-1)^n onumber]

sur un intervalle ouvert (I) qui contient (x_0=1). Exprimer la fonction

[label{eq:7.1.19} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y]

comme une série entière dans (x-1) sur (I).

Solution

Puisque nous voulons une série entière dans (x-1), nous réécrivons le coefficient de (y'') dans l'équation ef{eq:7.1.19} comme (1+x=2+(x- 1)), donc l'équation ef{eq:7.1.19} devient

[2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y'+3y. pas de numéro]

A partir de l'équation ef{eq:7.1.6} et de l'équation ef{eq:7.1.7} avec (x_0=1),

[y'=sum_{n=1}^infty na_n(x-1)^{n-1}quadmbox{ et }quad y ''=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-2}. pas de numéro]

Donc

[egin{aligned} 2y '' &= sum_{n=2}^infty 2n(n-1)a_n(x-1)^{n-2}, (x-1)y ' ' &= sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-1}, 2(x-1)^2y' &= sum_{n= 1}^infty2na_n(x-1)^{n+1}, 3y &= sum_{n=0}^infty 3a_n (x-1)^n.end{aligned} onumber ]

Avant d'ajouter ces quatre séries, nous décalons les indices des trois premières pour que leurs termes généraux deviennent des multiples constants de ((x-1)^n). Cela donne

[egin{align} 2y'' &= sum_{n=0}^infty 2(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-1)^n,label{ eq:7.1.20} (x-1)y'' &= sum_{n=0}^infty (n+1)na_{n+1}(x-1)^n, label{ eq:7.1.21} 2(x-1)^2y' &= sum_{n=1}^infty 2(n-1)a_{n-1}(x-1)^n, label{eq:7.1.22} 3y &= sum_{n=0}^infty 3a_n (x-1)^n, label{eq:7.1.23}end{align}]

où nous avons ajouté les termes zéro initiaux à la série dans l'équation ef{eq:7.1.21} et l'équation ef{eq:7.1.22}. L'ajout de l'équation ef{eq:7.1.20} –Equation ef{eq:7.1.23} donne

[egin{aligned} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y &= 2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y '+3y &= sum_{n=0}^infty b_n (x-1)^n,end{aligned} onumber ]

[egin{align} b_0 &= 4a_2+3a_0, label{eq:7.1.24} b_n &= 2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1 )na_{n+1}+2(n-1)a_{n-1}+3a_n,, nge1label{eq:7.1.25}.end{align}]

La formule Équation ef{eq:7.1.24} pour (b_0) ne peut pas être obtenue en définissant (n=0) dans l'Équation ef{eq:7.1.25}, puisque la sommation dans l'Équation ref{eq:7.1.22} commence par (n=1), tandis que ceux de l'équation ef{eq:7.1.20}, de l'équation ef{eq:7.1.21} et de l'équation ef{eq : 7.1.23} commencent par (n=0).


Devoirs

Il y aura quatre examens et des devoirs réguliers. Le premier examen a eu lieu le vendredi 5 juin à 9 heures. Le deuxième était le mercredi 17 juin. Le troisième sera le mardi 30 juin et le dernier sera le vendredi 10 juillet (dernier jour de classe).

De brèves solutions à l'avant-dernier ensemble de problèmes sont disponibles ici.

La version actuelle (7/08) des problèmes pour les devoirs, commençant par la question 88, est ici (.pdf). Les problèmes plus anciens sont disponibles ici (.pdf) (numéros 1 à 49) et ici (.pdf) (numéros 50 à 87).

  • Ensemble de problèmes 17 (à remettre vendredi 10 juillet, 12h) : Questions 99-101. (Aucun problème supplémentaire ne sera attribué jeudi, vous pouvez donc le remettre jeudi pour qu'il soit noté et rendu vendredi.)
  • Ensemble de problèmes 16 (à rendre mercredi 8 juillet, 12h30) : A partir du lundi : Questions 93-96.
    A partir de mardi : Questions 97-8.
  • Ensemble de problèmes 15 (à rendre lundi 6 juillet, 12h30) : Il y a 10 positions possibles pour la demi-heure de cours supplémentaire : de 12h à 12h30 ou de 14h30 à 15h n'importe quel jour de la semaine prochaine. Envoyez-moi un e-mail indiquant les moments avec lesquels vous avez un conflit, ou que vous n'avez aucun conflit avec aucun de ces moments. Ensuite, répondez aux questions 88-92.
  • Ensemble de problèmes 14 (à remettre jeudi 2 juillet, 12h30) : Questions 84-87.
  • Examen 3: Questions et solutions au format .pdf.
  • Ensemble de problèmes 13 (à remettre lundi 29 juin, 12h30) : Questions 78-82. Il y a une faute de frappe à la question 81 : les mots "en dessous" et "au-dessus" doivent être inversés.
  • Ensemble de problèmes 12 (à rendre vendredi 26 juin, 12h) : A partir du mercredi : Questions 71-75. Répétez également la question 67 si vous souhaitez la soumettre pour crédit.
    A partir de jeudi : Questions 76, 77.
  • Ensemble de problèmes 11 (à rendre mercredi 24 juin, 12h30) : A partir de lundi : Questions 59, 60, 61, 62. A partir de mardi : 65, 66, 67, 68. Il y a une faute de frappe à la question 67. Elle doit se lire , "quelle est l'équation du plan passant par (1, 2, 3) qui coupe un tétraèdre du premier octant de volume minimal ?" Le premier octant est l'ensemble des points dans l'espace tels que x, y, z sont tous supérieurs ou égaux à 0. L'analogue bidimensionnel de ce problème serait : "Quelle est l'équation de la droite passant par (1, 2) qui coupe un triangle du premier quadrant d'aire minimale ?"
  • Ensemble de problèmes 10 (à remettre lundi 22 juin, 12h30) : Questions 56, 57, 58.
  • Ensemble de problèmes 9 (à remettre vendredi 19 juin, 12h) : Questions 50, 51, 52, 53, 55. Indice pour 53 : le vecteur directeur de la ligne est parallèle aux deux plans et donc perpendiculaire aux vecteurs normaux des deux Avions. Indice pour 55 : les ellipses ressemblent beaucoup à des cercles.
  • Ensemble de problèmes 8 (à remettre mercredi 17 juin, 12h30) : Questions 48 et 49. Pour le numéro 49, substituez une valeur bien choisie dans l'une des formules de séries entières que vous connaissez afin de calculer la série en question.
    Préparez-vous mardi avec toutes les questions de révision pour le prochain examen.
  • Examen 2: Questions et solutions au format .pdf.
  • Ensemble de problèmes 7 (à remettre lundi 15 juin, 12h30) : Questions 42, 44, 45, 46, 47.
  • Ensemble de problèmes 6 (à rendre vendredi 12 juin, 12h30) : A partir du mercredi : questions 36, 37.
    Ajouté plus tard mercredi : 40, 41. Pour la question 41, laissez votre réponse en termes de fonction trigonométrique inverse.
    Ajouté jeudi : 38, 39, 43.
  • Ensemble de problèmes 5 (à remettre mercredi 10 juin, 12h30) : A partir du lundi : questions 19, 30, 32. (Pour le numéro 19, la réponse finale doit être constituée des 18 fonctions dans l'ordre en utilisant les symboles ">>", ">," "


Pour commencer à analyser cette série, vous pouvez envisager d'utiliser l'approximation de Sterling $n!approx left(frac ne ight)^nsqrt <2pi n>$ :

Bien sûr, ce n'est qu'une limite inférieure à la valeur approchée, et ce terme $sqrt n$ doit encore être traité.

J'ai dû faire beaucoup de recherches à ce sujet, ce qui était mon avantage :)

Présenter. Fondamentalement, j'utiliserai le Sophomore's Dream pour déduire une expression intégrale de la réponse.

Preuve. Nous modifions les variables en écrivant $ ag<2a>x=expigl(-u/(n+1)igr)$ ce qui nous permet de réécrire (1) en $int^<1>_<0>x^ln(x)^,mathrmx = (-1)^(n+1)^<-(n+1)>int^_<0>u^e^<-u>,mathrmu ag<2b>$ Observez que l'intégrale du membre de droite est précisément $n!$ (grâce à la fonction Gamma). Et cela conclut la preuve de notre lemme. CQFD.

Théorème. On dit $f(t) = 1+sum^_gauche(fracà droite)^ = 1 + tint^<1>_<0>x^<-xt>,mathrmx. ag<3>$

Preuve. On finit par réécrire l'intégrande à droite $x^ <-xt>= e^ <-xtln(x)>= sum^_frac<(-t)^>x^ln(x)^. ag<4a>$ Nous reconnectons ceci dans l'intégrale $int^<1>_<0>x^<-xt>,mathrmx= int^<1>_<0>sum^_frac<(-t)^>x^ln(x)^,mathrmx. ag<4b>$ Échangez la somme et l'intégrale $int^<1>_<0>sum^_frac<(-t)^>x^ln(x)^,mathrmx =somme^_frac<(-t)^>int^<1>_<0>x^ln(x)^,mathrmx. ag<4c>$ Nous utilisons notre lemme pour réécrire le membre de droite comme egin somme^_frac<(-t)^>int^<1>_<0>x^ln(x)^,mathrmx &= somme^_frac<(-t)^>gauche((-1)^(n+1)^<-n+1>n! ight) &= sum^_frac<>><(n+1)^>. ag <4c>end Ensuite, nous jouons simplement avec l'arithmétique (multipliez par $t$, et ajoutez 1) pour obtenir la série en question. Cela conclut notre démonstration du théorème. CQFD.

Remarque. Il n'y a pas d'expression de forme fermée pour l'intégrale que je connaisse. Peut-être que l'OP ou un autre utilisateur connaît un moyen sophistiqué d'évaluer l'intégrale, mais je n'en connais pas un facilement disponible :(


Série de puissance

Nos rédacteurs examineront ce que vous avez soumis et détermineront s'il faut réviser l'article.

série de puissance, en mathématiques, une série infinie qui peut être considérée comme un polynôme avec un nombre infini de termes, tel que 1 + X + X 2 + X 3 +⋯. Habituellement, une série entière donnée converge (c'est-à-dire approche une somme finie) pour toutes les valeurs de X dans un certain intervalle autour de zéro, en particulier chaque fois que la valeur absolue de X est inférieur à un nombre positif r, appelé rayon de convergence. En dehors de cet intervalle, la série diverge (est infinie), tandis que la série peut converger ou diverger lorsque X = ± r. Le rayon de convergence peut souvent être déterminé par une version du test du rapport pour les séries entières : étant donné une série générale générale une0 + une1X + une2X 2 +⋯, dont les coefficients sont connus, le rayon de convergence est égal à la limite du rapport des coefficients successifs. Symboliquement, la série convergera pour toutes les valeurs de X tel que

Par exemple, la série infinie 1 + X + X 2 + X 3 +⋯ a un rayon de convergence de 1 (tous les coefficients sont 1), c'est-à-dire qu'il converge pour tout −1 < X < 1—et dans cet intervalle la série infinie est égale à 1/(1 − X). Application du test du ratio à la série 1 + X/1! + X 2 /2! + X 3 /3 ! +⋯ (où la notation factorielle m! désigne le produit des nombres de comptage de 1 à m) donne un rayon de convergence de de sorte que la série converge pour toute valeur de X.

La plupart des fonctions peuvent être représentées par une série entière dans un intervalle (voir tableau ). Bien qu'une série puisse converger pour toutes les valeurs de X, la convergence peut être si lente pour certaines valeurs que son utilisation pour approximer une fonction nécessitera de calculer trop de termes pour la rendre utile. Au lieu des pouvoirs de X, parfois une convergence beaucoup plus rapide se produit pour les puissances de (Xc), où c est une valeur proche de la valeur souhaitée de X. Les séries de puissances ont également été utilisées pour calculer des constantes telles que π et la base du logarithme népérien e et pour résoudre des équations différentielles.

Cet article a été récemment révisé et mis à jour par William L. Hosch, rédacteur en chef adjoint.


6.1 Séries de puissance et fonctions

Une série entière est un type de série avec des termes impliquant une variable. Plus précisément, si la variable est X, alors tous les termes de la série impliquent des puissances de X. Par conséquent, une série entière peut être considérée comme un polynôme infini. Les séries entières sont utilisées pour représenter des fonctions communes et également pour définir de nouvelles fonctions. Dans cette section, nous définissons des séries entières et montrons comment déterminer quand une série entière converge et quand elle diverge. Nous montrons également comment représenter certaines fonctions en utilisant des séries entières.

Forme d'une série de puissance

X est une variable et les coefficients cm sont des constantes, est connu comme une série entière . Les séries

est un exemple de série entière. Puisque cette série est une série géométrique de rapport r = x , r = x , on sait qu'elle converge si | x | < 1 | x | < 1 et diverge si | x | 1 . | x | 1 .

Définition

est une série entière centrée en x = 0 . x = 0 . Une série de la forme

est une série entière centrée en x = a . x = un.

sont toutes deux des séries entières centrées sur x = 0 . x = 0 . Les séries

est une série entière centrée en x = 2 . x = 2 .

Convergence d'une série de puissance

Convergence d'une série de puissance

Preuve

on en conclut que, pour tout n N , n ≥ N ,

Avec ce résultat, nous pouvons maintenant prouver le théorème. Considérez la série

Définition

Pour déterminer l'intervalle de convergence pour une série de puissances, nous appliquons généralement le test du rapport. Dans l'exemple 6.1, nous montrons les trois possibilités différentes illustrées à la figure 6.2.

Exemple 6.1

Trouver l'intervalle et le rayon de convergence

Pour chacune des séries suivantes, trouvez l'intervalle et le rayon de convergence.

Solution

Point de contrôle 6.1

Trouvez l'intervalle et le rayon de convergence pour la série ∑ n = 1 ∞ x n n . n = 1 x n n .

Représentation des fonctions en tant que séries de puissance

Pouvoir représenter une fonction par un « polynôme infini » est un outil puissant. Les fonctions polynomiales sont les fonctions les plus faciles à analyser, car elles n'impliquent que les opérations arithmétiques de base d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Si nous pouvons représenter une fonction compliquée par un polynôme infini, nous pouvons utiliser la représentation polynomiale pour la différencier ou l'intégrer. De plus, nous pouvons utiliser une version tronquée de l'expression polynomiale pour approximer les valeurs de la fonction. Alors, la question est, quand pouvons-nous représenter une fonction par une série entière ?

Considérons à nouveau la série géométrique

Rappelons que la série géométrique

En conséquence, nous sommes en mesure de représenter la fonction f ( x ) = 1 1 − x f ( x ) = 1 1 − x par la série entière

Nous montrons maintenant graphiquement comment cette série fournit une représentation pour la fonction f ( x ) = 1 1 − x f ( x ) = 1 1 − x en comparant le graphique de F avec les graphiques de plusieurs des sommes partielles de cette série infinie.

Exemple 6.2

Représentation graphique d'une fonction et des sommes partielles de sa série de puissance

Solution

Ensuite, nous considérons des fonctions impliquant une expression similaire à la somme d'une série géométrique et montrons comment représenter ces fonctions à l'aide de séries entières.

Exemple 6.3

Représentation d'une fonction avec une série de puissance

Utilisez une série entière pour représenter chacune des fonctions suivantes f . F . Trouvez l'intervalle de convergence.

Solution

Dans les sections restantes de ce chapitre, nous montrerons comment dériver des représentations de séries entières pour de nombreuses autres fonctions, et comment nous pouvons utiliser ces représentations pour évaluer, différencier et intégrer diverses fonctions.

Section 6.1 Exercices

Dans les exercices suivants, indiquez si chaque affirmation est vraie ou donnez un exemple pour montrer qu'elle est fausse.

Dans les exercices suivants, trouvez le rayon de convergence R et intervalle de convergence pour ∑ a n x n ∑ a n x n avec les coefficients donnés a n . une .

Dans les exercices suivants, trouvez le rayon de convergence de chaque série.

k = 1 k ! 1 · 3 · 5 ( 2 k − 1 ) x k ∑ k = 1 ∞ k ! 1 · 3 · 5 ( 2 k − 1 ) x k

k = 1 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k k = 1 2 · 4 · 6 2 k ( 2 k ) ! xk

Dans les exercices suivants, utilisez le test du rapport pour déterminer le rayon de convergence de chaque série.

n = 1 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n ∑ n = 1 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! xn

f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 a = 0 f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 a = 0

f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 a = 2 f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 a = 2

Utilisez l'exercice suivant pour trouver le rayon de convergence de la série donnée dans les exercices suivants.

k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k

∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k x k ∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k x k

∑ n = 1 un n = ( n 1 / n − 1 ) n x n ∑ n = 1 ∞ un n = ( n 1 / n − 1 ) n x n

∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( H i n t : x = ± x 2 ) ∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( H i n t : x = ± x 2 )

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    • Auteurs : Gilbert Strang, Edwin « Jed » Herman
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Book title: Calculus Volume 2
    • Publication date: Mar 30, 2016
    • Location: Houston, Texas
    • Book URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-1-power-series-and-functions

    © Dec 21, 2020 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0 license. The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University.


    Table des matières

    Foreword
    Introduction and Contents
    Part One. Général
    Chapter 1. Engineering Design and Mathematical Programming
    1.1. The Process of Engineering Design
    1.2. Application of Computers in System Design and Operation
    1.3. Methods of Optimization
    Chapter 2. An Outline of Power System Planning and Operation
    2.1. Objectives of System Planning
    2.2. Stages in System Planning and Design
    2.3. The Transition from Planning to Operation
    2.4. The Objectives of System Operation
    2.5. Stages in System Operation
    Chapter 3. Some Frequently Used Analytical Techniques
    3.1. Power Flows and Voltage
    3.2. The Nodal Impedance Matrix
    3.3. Fault Levels
    3.4. Transient and Steady-State Stability
    3.5. Some Useful Approximations
    3.6. System Costs
    Part Two. System Planning
    Chapter 4. The Estimation of Demand and Total Generation Requirement
    4.1. Estimation of Energy and Active Power Demands
    4.2. Estimation of Reactive Power
    4.3. The Estimation of Available Generation Capacity
    4.4. Reliability of Supply
    4.5. Gross Plant Margins and Standards of Supply in Practice
    Chapter 5. Standardization Studies for Network Plant
    5.1. Standardization Studies for One Stage of Development
    5.2. Standardization Studies for Several Stages of Development
    5.3. Fault Levels and Switchgear Rupturing Capacity
    Chapter 6. Generation Expansion Studies
    6.1. Comparative Economic Assessment of Individual Generation Projects
    6.2. The Investigation of Outline Generation Expansion Plans
    6.3. Simulation Models in Generation Expansion Planning
    6.4. A Heuristic Method to Investigate Outline Expansion Plans
    6.5. Linear Programming Models
    6.6. Dynamic Programming Formulations
    6.7. Other Non-linear Models
    6.8. Conclusion
    Chapter 7. Network Configuration Studies
    7.1. Typical Network Configurations
    7.2. The Configuration and Computation
    7.3. The Configuration Design Problem
    7.4. Costing of Schemes
    7.5. Security Criteria and Analysis of Network Viability
    7.6. Outline Design
    7.7. Configuration Design
    7.8. Configuration Synthesis Using Engineering Judgment
    7.9. Network Synthesis Using Mixed Engineering Judgment/Optimization Methods
    7.10. Configuration Synthesis Using Heuristic Logic
    7.11. Configuration Synthesis Using a Combinatorial Approach
    7.12. Two Recent Proposals for Configuration Synthesis
    7.13. Other Possible Approaches to Configuration Synthesis
    7.14. Conclusion
    Chapter 8. Probability and Planning
    8.1. Reliability Analysis in Network Planning
    8.2. Reliability Analysis on the Generation and Transmission System
    8.3. Risk and Uncertainty in Investment Decisions
    8.4. Conclusion
    Part Three. System Operation
    Chapter 9. Time Scales and Computation in System Operation
    Chapter 10. Load Prediction and Generation Capacity
    10.1. The Prediction of Demand
    10.2. Generation Capacity
    10.3. Optimum Maintenance Programming
    10.4. Fuel Supplies and Costs
    Chapter 11. Security Assessment
    11.1. Indications and Analysis of Insecure Operation
    11.2. Security Assessment against Excessive Current Flows
    11.3. Security Assessment against Excessive Fault Levels
    11.4. Security Assessment against Excessive Voltage Changes
    11.5. Security Assessment against System Instability
    11.6. The Present and Trends in Predictive Security Assessment
    11.7. The Present and Trends in On-line-Security Assessment
    Chapter 12. The Scheduling of Generating Plant
    12.1. A Manual Method of Scheduling
    12.2. Integer Programming Methods
    12.3. A Dynamic Programming Method
    12.4. Heuristic Methods
    12.5. Conclusion
    Chapter 13. The Dispatching of Generation
    13.1. Primary, Secondary and Tertiary Regulation
    13.2. Operation of Interconnected Areas
    13.3. Economic Dispatch Using the "Coordination Equations"
    13.4. Economic Dispatching Incorporating Group Transfer Analysis
    13.5. Economic Dispatching Incorporating Multiple-Load-Flow Analysis
    13.6. Dispatching Models Including an Exact Network Solution
    13.7. Transmission Loss Calculations and Optimum Dispatch
    13.8. System Control Centers
    13.9. Assessment of Optimum Network Configuration in Operation
    13.10. A Brief Note on the Operation of Hydrothermal Systems
    13.11. Computers and Dispatching in the Future
    Conclusion
    Appendix 1. Some Concepts in Probability Theory
    1.1. Markovian Systems
    1.2. Some Basic Equations in Reliability Theory
    1.3. Probability and the Binomial Distribution
    1.4. The Monte Carlo Method
    Appendix 2. Mathematical Programming
    2.1. Linear Programming
    2.2. Some Special Forms and Extensions of Linear Programming
    2.3. Non-linear Programming
    2.4. Dynamic Programming
    Appendix 3. Terms and Symbols Used
    3.1. Terms
    3.2. Symbols
    Les références
    Index
    Other Titles in the Series


    Exam 2

    • 2.5, 7.4: Differential Equations
    • 10.1-10.2: Improper Integrals
    • 11.1-11.4: Sequences and Series
    • 11.5-11.6: Power Series (you will only need be responsible for the information posted on the Power Series worksheets for Monday, 4/7, Wednesday, 4/9, and Friday, 4/11). In particular, you will NOT be tested on integration and differentiation of power series on Exam 2.
    • Chapter 11 Review Exercises: 1-8, 10, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 37-48. Here are solutions for the Chapter 11 Review Exercises.

    Here are some practice exam questions for Exam 2. Note that inclusion or exclusion of a particular topic on the practice exam DOEST NOT mean that that topic will necessarily be included or excluded on the actual exam. The practice exam is just to give you some more practice problems to work on. You should, of course, study your class notes, homework problems, and quiz problems in addition to the practice exam. Here is an Answer Key for Practice Exam 2. Here are some worked out solutions and hints to the practice exam.

    Warning: Do not look at or print out the solutions to the above practice problems until after working on them yourself, taking some time, and going back later to try any problems you couldn't do the first time again. Doing the problems while looking at the answers renders them almost completely useless as preparation for taking an exam.


    Determining the Radius of Convergence of a Power Series

    We will now look at a technique for determining the radius of convergence of a power series using The Ratio Test for Positive Series

    Theorem 1: If $lim_ iggr vert frac<>> iggr vert = L$ where $L$ is a positive real number or $L = 0$ or $L = infty$ , then the power series $sum_^ a_n(x - c)^n$ has a radius of convergence $R = frac<1>$ where if $L = 0$ then $R = infty$ and if $L = infty$ then $R = 0$ .

    Let's now look at some examples of finding the radius of convergence of a power series.


    I plan to keep an up-to-date list of the topics, examples etc. covered in class. Unless stated otherwise, reference numbers refer to our textbook, W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.), henceforth abbreviated as [BDP].

    Note: There is a free online access to WileyPLUS provided by the University on campus. This no-cost option is sufficient to complete the homework assignments for Math 201. However, it can be accessed only from these designated computer labs on campus, and it does not allow usage of any other online Wiley study tools.

    two attempts for every homework problem. Correct answers on second attempts are worth 80%.

    Three words about cheating:

    Midterm test

    The midterm test will be held on Saturday, October 24th, 2015 at 1:00 pm . You will write the midterm in N-RE 2-001 (our usual class room last names A - K) or N-RE 2-003 (last names L - Z).

    A midterm review session will be held for all sections on Thursday, 22 Oct, 5-7 pm in CCIS L2-190. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here.

    Need some practice material? The following is taken from last year's midterm: Midterm test 2014.

    Some of you have asked for additional practice material for homogeneous and Bernoulli equations. You may want to check out this for Bernoulli equations for homogeneous equations, try this and this (the latter also has some other substitutions).

    • Duration: 90 minutes.
    • Material covered: Up to, and including, power series solutions of linear differential equations, i.e., Chapters I to IV in class.
    • Some questions may be multiple choice.
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • Good luck!

    The Math and Applied Sciences Centre is also offering a review session.

    Midterm test - Solutions

    Midterm test average:

    Final exam

    The final exam will be held on Saturday, December 19th, 2015 at 9:00 am in the Main Gym (Van Vliet building)

    The following rows have been reserved for you (section EB1):

    Please make sure you are seated in one of the correct rows.

    Some details concerning the final:

    • Duration: 120 minutes.
    • Material covered: Basically everything, but with a strong emphasis on the material covered in class after the midterm test.
    • A table of Laplace transform will be provided (from [BDP]).
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • Good luck!

    A review session will be held for all sections on Wednesday, 9 Dec, 4:00-6:00pm in ETLC 1-003. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here and here.

    Other material

    Need help? The Decima Robinson Support Centre in CAB 528 offers free drop-in help sessions, Monday to Friday, 9:00 am to 3:00 pm. It's a great, friendly place, though quite busy at times.

    Your integration skills are a bit rusty? The Math and Applied Sciences Centre is running a Review of Integration Techniques.


    6.2: Review of Power Series - Mathematics

    Office hours: Tuesdays 5:00PM - 6:00PM and 8:30 - 9PM (Thursday office hours TBD), Hill 624 or by appointment.

    Email: cl.volkov at rutgers dot edu (for friends) / fq15 at scarletmail dot rutgers dot edu (for teaching)

    Lecture 2 (June 1, 2017). Lecture Notes, Workshop 1 (written by Dr. Scheffer), Writing Samples.
    The course materials mainly comes from Chapter 5 and 6 of Sundstrom's book.
    Also you can read Zorich's book, Section 1.2 and 1.3.
    All workshops are due 11:55PM the next Tuesday. So in case you have questions, you can discuss with me either before or after Tuesday's class.

    Lecture 3 (June 6, 2017). Lecture Notes
    For more details, please read Zorich, Section 2.1.
    An slightly different argument showing root 2 is not rational can be found in [Z], 2.2.2.c. The argument in the notes is modified from [A], Theorem 1.4.5.
    The construction of real numbers using Dedekind cuts can be found in [A], Section 8.6.

    Lecture 4 (June 8, 2017). Lecture Notes, Workshop 2
    Since I wasn't able to cover the density theorem, the workshop problem 5 is removed from this week's assignment.
    By now you should finish reading [A], Section 1.1 - 1.3 and Thompson-Brucker-Brucker, Elementary Real Analysis, Section 1.1 - 1.7.

    Lecture 5 (June 13, 2017). Lecture Notes
    It is very important that the Nested Interval Property applies only to closed intervals that are bounded. Think: which part of the proof fails when the intervals are not bounded.
    One can prove under the assumption of Archimedean Property, Nested Interval Property can imply Axiom of Completeness. Please see James Propp's paper Real Analysis in Reverse for more details. In the coming Chapter we will see a lot more such properties.

    Lecture 6 (June 15, 2017). Lecture Notes, Workshop 3
    In case you are interested in solving the optional workshop problem, please see the Notes on Countable Sets and Cantor's Diagonalization.
    The idea of Cantor's Diagonalization is to construct a decimal that is outside of the range of the function from the naturals to reals. Please see [A], Section 1.6 for details. In the note above you will find the most essential argument.
    By now you should finish reading Section 1.4 - 1.5 and 2.1 of the textbook, and Section 1.8 - 1.10, 2.1 - 2.4 of the TBB book
    About cardinalities, please read [Gamow] One Two Three Infinity, Chapter 1 and 2.

    Lecture 7 (June 20, 2017). Lecture Notes
    Here you should learn the technique of finding the N from the given conditions of convergence, instead of from the estimates.
    Also, to use the Algebraic Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.

    Lecture 8 (June 22, 2017). Lecture Notes, Workshop 4
    For the Order Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.
    Monotone Convergence gives a very convenient way of proving convergence, but usually does not tell you directly what the limit is. In general, getting the actual limit is usually difficult. In this class we only deal with some simple cases.
    Please make sure you can recall how to prove AoC implies MCT. Make a brief summary definitely helps.
    By now you should finish reading [A] 2.2 - 2.4, [TBB] 2.5 - 2.10.

    Lecture 9 (June 27, 2017). Lecture Notes
    In case you are struggling with the Workshop 4, Mr. Yang kindly wrote a guide to all the problems and agreed to share. Note that this is just a guide. The thinking process has been elaborated presented. Yet it does not make a proof. You still need to organize these thoughts into a proof.

    Lecture 10 (June 29, 2017). Lecture Notes, Workshop 5
    In case you are not satisfied with certain grade of the quizzes, or you have missed it due to any reason, please finish a write-up of the homework of the previous lecture and present your solution to me in person.
    For example, if you are not happy with your grades for Quiz 7, then you should do all the homework problems assigned in Lecture 7.
    I'll check a random problem to see if you really have good understanding towards it. If you have, then your quiz grade will be made to 8/10. To make up quizzes 1 - 9, your solutions must be presented before July 13th. After July 13th, the grades for Quiz 1 - 9 cannot be changed any more.
    By now you should finish reading [A] 2.5 - 2.6, [TBB] 2.11 - 2.12.

    Lecture 11 (July 4, 2017) No lectures today. Happy holiday!

    Lecture 12 (July 6, 2017). Midterm Exam, Workshop 6 (Written by Dr. Scheffer)
    Second chance policies: In case you didn't do well in the midterm, here is what you should do:

    • Study the course notes and other materials to make sure you know how to solve every problems in the exam.
    • Arrange a time for a Russian styled oral exam. I will pick a random problem in the exam.You will have 10 minutes for preparing the solutions. Then you should present the solution on the blackboard.
    • Books, pre-written notes are not allowed. The only thing you can refer to is the notes you generated in that 10 minutes.

    If your presentation is satisfactory, your midterm grade will be exonerated from the final grading computation. In other words, your grade will be computed as 60% Final + 20% Workshop + 10% Oral Quiz + 10% Written Quiz.

    Lecture 13 (July 11, 2017). Course Notes
    For those who missed tonight's lecture, please make sure you are capable of proving every single entry in the table on Page 9. In class I explained those examples on the blackboard. However the proof was only given orally. Please let me know if you are having trouble proving any items. I will be happy to supply an argument.
    The written quiz tonight is replaced as a Questionnaire regarding the midterm. Please find it in Sakai Assignments.

    Lecture 14 (July 13, 2017). Course Notes, Workshop 7
    Note: You don't need to worry the compactness part in either [A] or [TBB]. I did use the examples in [A] and the motivating comments in [TBB]. For Workshop 7, you don't need to know anything other than the currently posted course notes.
    By now you should finish reading [A] 3.2, [TBB] 4.1 - 4.4.

    Lecture 15 (July 18, 2017). Course Notes
    I have set up the system, so Workshop 6 can be (re)submitted until Aug. 4. Workshop 7 can be (re)submitted until July 25th.

    Lecture 16 (July 20, 2017). Course Notes, Workshop 8
    By now you should finish reading [A] 3.3, [TBB] 4.5 (Note that the Cousin's Property was not covered). You should start reading [A] 4.2 and [TBB] 5.1.
    Sorry for having delivered a stupidly organized lecture tonight. Hopefully the reorganized notes look better. Please let me know if you have troubles.

    Lecture 18 (July 27, 2017). Course Notes, Workshop 9
    By now you should finish reading [A] 4.1 - 4.3, [TBB] 5.1, 5.2, 5.4 and 5.5.
    On the second page of Workshop 9 you will find some comments to the exercises in [A]. Please at least attempt those problems I boldfaced.

    Lecture 19 (Aug. 1, 2017). Course Notes
    As we are about to finish Chapter 4 on Thursday, it is a very good point to review everything. If you have a good understanding on the materials in Chapter 1 to 4, you should feel no difficulty at all to understand Chapter 5, and most of the parts in Chapter 6 (until you arrive at the issue of uniform convergence of sequences and series of functions). If you are taking 312 next semester, your life will be easy for a while. So please do so without hesitation.
    For those who didn't do well in the quiz tonight, please answer the following questions:
            1. How many exercises did you attempt in 3.2, 3.3, 4.2, 4.3, 4.4?
            2. What kind of difficulty did you experience?
            3. Anything I can do to help?
    Please send your answers through emails. The grade for the quiz will be adjusted to 8/10 or your actual grade, whichever is higher.

    Lecture 20 (Aug. 3, 2017). Course Notes, Workshop 10
    Please attempt to prove those facts in Part 3 by yourself and do not read my argument unless you have no clue. My argument might be too complicated than it should be. The easiest way to simplify any complicated argument is to work your own argument without reading a word from the original one.
    The reason I chose these two easy problems for this last workshop assignment is to provide more free time for you to review the materials and attempt all the other problems in the book. Don't be lazy. You are not studying analysis for me, but to prepare for your future studies. The exercises in [A] is really the minimal amount you have to go through in order to master the skills.
    By now you should finish reading [A] 4.4 - 4.5 and [TBB] 5.6 - 5.9.

    Lecture 21 (Aug. 8, 2017). Course Notes.
    As you can see, if you have a solid understand for Chapter 1 through 4, there is no trouble for you to understand at least the theory of derivatives. The main challenge for this Chapter is how to use the results in real life. Please see Zorich's exercises for more practice.

    Lecture 22 (Aug. 10, 2017). Course Notes. Review of Chapter 1 to 4
    The exam will be held on next Tuesday. There will be 13 problems with 200 points. 150 points are considered as a perfect score. Please find more details on Sakai.
    By now you should finish reading [A] 5.1 - 5.3. If you have time, please also read [TBB] 7.1 - 7.7. We don't have enough time covering all these materials however the knowledge will be assumed in 312.

    In the Spring of 2017 I taught 640:244 (Differential Equation for Physics and Engineering) for Sections 20 - 22.
    I taught the same class in the past. Here are the materials I taught in Summer 2015. And here are the materials I used for teaching recitations of 244 in Spring 2015, Fall 2014, Spring 2014 and Fall 2013.

    Please find Dr. Shtelen's syllabus, schedule and homework assignments here.

    Please find the information concerning maple labs here.

    All announcements are to be posted on sakai. Please make sure that you have a working email address registered to the system.

    • MIT OCW Lectures on Differential Equations (Note that they have a different syllabus)
    • Dr. Z's Calc 4 Lecture Handouts (The mathematical central topic is covered and emphasized, with marginal topics discarded)
    • Maple Tutorial (Found and shared by Mr. Joshua Vigoureux).

    Week 2 (Jan. 25): Recitation Notes, Quiz 1.
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 1 to further understand the geometric interpretation of ODE.
    Regarding the first order linear ODE, you can also check MIT Lecture 3 and read Dr. Z's notes for 2.1 for further understanding.
    Here are my own notes for Section 2.2 and 2.4

    Week 4 (Feb. 8): Recitation Notes (Part 1), Recitation Notes (Part 2) (allow me to reuse the notes in the past). Quiz 3
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 5 and read Dr. Z's Notes on 2.5 (Note that Dr. Z used a different method).
    Here are my own notes for Section 2.7 and Section 3.1.

    Week 6 (Feb. 22): No recitation notes this week. Aside from those exam problems, I just went over the notes I announced in the previous week.
    The Quiz this week is take-home. Please carefully review Section 2.6 and 3.4.

    Week 7 (Mar. 1): Recitation Notes, Yet another take-home Quiz
    The principle I talked about in the recitation notes applies to Chapter 4 as well. You should keep in mind that
          1. First try templates, as well as exponential powers, are determined ONLY by the right hand side of the ODE.
          2. To determine how many times your template fails, you have to look at the characteristic roots, which are determined ONLY by the left hand side of the ODE.
    Please understand this set of recitation notes thoroughly.
    For 3.5 and 3.6, Dr. Z's notes may also be helpful: Notes on 3.5, Notes on 3.6
    My own notes on 3.5 (Part 1), 3.5 (Part 2), 3.5 (Part 3), 3.6, 3.4 and 3.7 (Course Plan), 3.4 and 3.7 (Notes Part 1), 3.7, 5.4 (Notes Part 2), 3.6, 3.8

    Week 8 (Mar. 8): Recitation Notes, Quiz 7
    Basically all the related materials were posted last week. So nothing more here.

    Week 9 (Mar. 15): Spring break. No recitation today. Enjoy!

    Week 10 (Mar. 22): Recitation Notes, Quiz 8, Quiz 8 Make-up
    Maple Lab 3 is due next week. Late submissions are allowed up to next Friday (Mar. 31, 2017).
    In case you have time, please read Dr. Z's notes on Section 4.1, Section 4.2, Section 4.3.
    My own notes on 4.1, 4.2, 4.3. Please find my notes on 3.8 above.

    Week 11 (Mar. 29): Recitation Notes for Linear Algebra, Quiz 9, Recitation Notes for 7.5, 7.6 and 7.8
    (Although these notes were written a while ago, it should be able to help)
    For the linear systems, Dr. Z's notes on 7.1, 7.4, 7.5, 7.6 and 7.8 should also be helpful.
    Please go over the (updated) Review Questions and make sure you are comfortable on everyone of it. I think it would help you better than any practice exam.

    Week 13 (Apr. 12): Quiz 11
    Aside from exam problems, all I talked about in class are in the recitation notes or previous week. Please go over it and especially make sure you know how to deal with complex eigenvalues.

    Week 14 (Apr. 19): Quiz 12
    Here are my summer course notes on Chapter 9: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.4 leftovers (Shared by Ms. Shawnie Caslin). Also please watch MIT Lecture 31 for how to deal with nonlinear systems.
    I wasn't able to type up the notes for finding global trajectories. In case you have taken neat notes, please don't hesitate to share.
    Maple Lab 5 is supposed to due yesterday. Late submissions are accepted until next Tuesday (Apr. 25).

    For 244 students, I have two requirements

    If you don't know how to manipulate logarithm, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch10_SE.pdf
    Please read Section 10.5 on page 45 in the pdf file (page 733 in the book), try all example problems, and do Exercise 44 - 61 on page 51 in the pdf file (Page 740 in the book).

    If you are not very fluent with the quadratic equations (e.g. always use the root formula), please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch08_SE.pdf
    Read Section 8.1, 8.2 , try all example problems, and do Exercise 66 - 83 on page 23 in the pdf file (Page 573 in the book). Make sure you understand all the related methods

    In particular, if you have never seen criss-cross factorization before, please check the youtube videos
    Criss-Cross Method 1, Criss-Cross Method 2, Criss-Cross Method 3 and Criss-Cross Method 4.

    If you have never seen matrices before, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch03_SE.pdf
    Read Section 3.6 , try all example problems, and do Exercise 15 - 23, 46 - 49 on page 51 - 52 in the pdf file (page 227 - 228 in the book).
    Read Section 3.7 , try all example problems, and do Exercise 2 - 7, 20 - 25, 35 - 40 on page 63 - 64 in the pdf file (page 239 - 240 in the book).
    After you work on this topic, try the problems of the attendence quiz at Lecture 15 and you will find it easy to play.

    If you keep on making mistakes on exponentials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch01_SE.pdf
    Read Section 1.8 , try all example problems, and do Exercise 59 - 84 on page 88 in the pdf file (page 88 in the book).

    If you don't know how to divide a polynomial, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch05_SE.pdf
    Read Section 5.3 , try all example problems, and do Exercise 27 - 42 on page 31 in the pdf file (page 339 in the book).
    After you have done the work, please compare to the technique I used on dealing with t/(t+1) or -2-t/(t+1) in class. You will see that this is actually the simplest example of division.

    If you are not fluent on simplifications of rational functions, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch06_SE.pdf
    Read Section 6.1 - 6.4 , try all example problems, and do Exercise 29 - 48 on page 61 - 62 in the pdf file (page 463 - 464 in the book).

    If you are not fluent on playing with trigonometric functions, please find
    http://www.eht.k12.nj.us/

    staffoch/Textbook/chapter04.pdf
    Read Section 4.3 , make sure you memorize the table of the values of sine, cosine and tangent on usual special angles on page 23 of the PDF file (page 279 in the book)
    and do Exercise 17 - 26 on page 28 of the pdf file (page 284 in the book)
    Read Section 4.5 , make sure you can recognize, distinguish different graphs of the trignometric functions and manipulate them by scaling and translation , and do Exercise 3 - 14, 23 - 16 on page 48 in the pdf file (page 304 in the book)

    If you are not fluent on factorizing polynomials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    Please make sure you have a solid understanding on the math 300 class (Introduction to Mathematical Reasoning). You can review the knowledge using the following material
    Dr. Sussmann's notes on Math 300, Lecture 2, 3 and 4
    This set of notes summarizes the most essential knowledge in that class. On his course website you'll find more related material for reviewing.

    Please recall the knowledge of Calculus I, especially the graphs of the most commonly seen elementary functions. You can check the following file to recall the knowledge:
    Table of Common Graphs
    Although the main focus is to formulate rigorous argument, in many cases this process is facilitated by the intuition from the graphs.
    Also I'll assume a solid basis of computational skills for this class. Please try problems in Chapter 1 and 2 of famous Russian book
    3193 Problems in Mathematical Analysis
    to test your skills.


    Voir la vidéo: Séries de Taylor et séries de puissances Vue densemble (Décembre 2021).