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13.5 : La règle de la chaîne pour les fonctions de plusieurs variables


Objectifs d'apprentissage

  • Énoncez les règles de la chaîne pour une ou deux variables indépendantes.
  • Utilisez des diagrammes en arbre pour vous aider à comprendre la règle de la chaîne pour plusieurs variables indépendantes et intermédiaires.
  • Effectuer une différenciation implicite d'une fonction de deux ou plusieurs variables.

En calcul à une seule variable, nous avons constaté que l'une des règles de différenciation les plus utiles est la règle de la chaîne, qui nous permet de trouver la dérivée de la composition de deux fonctions. La même chose est vraie pour le calcul multivariable, mais cette fois nous devons traiter plus d'une forme de la règle de la chaîne. Dans cette section, nous étudions les extensions de la règle de chaîne et apprenons à prendre des dérivées de compositions de fonctions de plus d'une variable.

Règles de chaîne pour une ou deux variables indépendantes

Rappelons que la règle de la chaîne pour la dérivée d'un composé de deux fonctions peut être écrite sous la forme

[dfrac{d}{dx}(f(g(x)))=f′(g(x))g′(x).]

Dans cette équation, (displaystyle f(x)) et (displaystyle g(x)) sont des fonctions d'une variable. Supposons maintenant que (displaystyle f) est une fonction de deux variables et (displaystyle g) est une fonction d'une variable. Ou peut-être sont-elles toutes les deux des fonctions de deux variables, voire plus. Comment calculerions-nous la dérivée dans ces cas? Le théorème suivant nous donne la réponse pour le cas d'une variable indépendante.

Règle de chaîne pour une variable indépendante

Supposons que (displaystyle x=g(t)) et (displaystyle y=h(t)) soient des fonctions différentiables de (displaystyle t) et (displaystyle z=f(x,y )) est une fonction différentiable de (displaystyle x) et (displaystyle y). Alors (displaystyle z=f(x(t),y(t))) est une fonction différentiable de (displaystyle t) et

[dfrac{dz}{dt}=dfrac{∂z}{∂x}⋅dfrac{dx}{dt}+dfrac{∂z}{∂y}⋅dfrac{dy}{dt} , label{chain1}]

où les dérivées ordinaires sont évaluées à (displaystyle t) et les dérivées partielles sont évaluées à (displaystyle (x,y)).

Preuve

La preuve de ce théorème utilise la définition de la différentiabilité d'une fonction de deux variables. Supposer que F est dérivable au point (displaystyle P(x_0,y_0),) où (displaystyle x_0=g(t_0)) et (displaystyle y_0=h(t_0)) pour une valeur fixe de (style d'affichage t_0). Nous souhaitons prouver que (displaystyle z=f(x(t),y(t))) est dérivable en (displaystyle t=t_0) et que l'équation ef{chain1} est vraie à ce point comme bien.

Puisque (displaystyle f) est dérivable en (displaystyle P), nous savons que

[z(t)=f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)+E(x,y ), pas de numéro]

[ lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}=0 . pas de numéro]

Nous soustrayons ensuite (displaystyle z_0=f(x_0,y_0)) des deux côtés de cette équation :

[ egin{align*} z(t)−z(t_0) =f(x(t),y(t))−f(x(t_0),y(t_0)) [4pt] =f_x (x_0,y_0)(x(t)−x(t_0))+f_y(x_0,y_0)(y(t)−y(t_0))+E(x(t),y(t)). end{align*}]

Ensuite, nous divisons les deux côtés par (displaystyle t−t_0):

[z(t)−z(t_0)t−t_0=fx(x_0,y_0)(x(t)−x(t_0)t−t_0)+f_y(x_0,y_0)(y(t)−y( t_0)t−t_0)+E(x(t),y(t))t−t_0. pas de numéro]

Ensuite, nous prenons la limite lorsque (displaystyle t) se rapproche de (displaystyle t_0):

[egin{align*} lim_{t→t_0}dfrac{z(t)−z(t_0)}{t−t_0} = f_x(x_0,y_0)lim_{t→t_0} left ( dfrac{x(t)−x(t_0)}{t−t_0} ight) [4pt] +f_y(x_0,y_0)lim_{t→t_0}left (dfrac{y(t) −y(t_0)}{t−t_0} ight)[4pt] +lim_{t→t_0}dfrac{E(x(t),y(t))}{t−t_0}. end{align*}]

Le membre de gauche de cette équation est égal à (displaystyle dz/dt), ce qui conduit à

[dfrac{dz}{dt}=f_x(x_0,y_0)dfrac{dx}{dt}+f_y(x_0,y_0)dfrac{dy}{dt}+lim_{t→t_0}dfrac {E(x(t),y(t))}{t−t_0}. pas de numéro]

Le dernier terme peut être réécrit sous la forme

[egin{align*} lim_{t→t_0}dfrac{E(x(t),y(t))}{t−t_0} =lim_{t→t_0}dfrac{(E( x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}dfrac{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}{ t−t_0}) [4pt] =lim_{t→t_0}left(dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2 }} ight)lim_{t→t_0}left(dfrac{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}{t−t_0} ight). end{align*} ]

Comme (displaystyle t) approche (displaystyle t_0, (x(t),y(t))) approche (displaystyle (x(t_0),y(t_0)),) donc nous pouvons réécrire le dernier produit comme

[displaystyle lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{(E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2} }lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}(dfrac{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}{t−t_0}). onumber ]

Puisque la première limite est égale à zéro, il suffit de montrer que la deuxième limite est finie :

[ egin{align*} lim_{(x,y)→(x_0,y_0)} dfrac{sqrt{ (x−x_0)^2+(y−y_0)^2 }} {t−t +0} =lim_{(x,y)→(x_0,y_0)} sqrt{ dfrac { (x−x_0)^2+(y−y_0)^2 } {(t−t_0)^2} } [4pt] =lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}sqrt{ left(dfrac{x−x_0}{t−t_0} ight)^2+left( dfrac{y−y_0}{t−t_0} ight)^2} [4pt] =sqrt{ left[lim_{(x,y)→(x_0,y_0)} left(dfrac{ x−x_0}{t−t_0} ight) ight]^2+left[lim_{(x,y)→(x_0,y_0)} left(dfrac{y−y_0}{t−t_0 }droit)droit]^2}. end{align*} ]

Puisque (displaystyle x(t)) et (displaystyle y(t)) sont tous deux des fonctions différentiables de (displaystyle t), les deux limites à l'intérieur du dernier radical existent. Cette valeur est donc finie. Cela prouve la règle de la chaîne à (displaystyle t=t_0); le reste du théorème découle de l'hypothèse que toutes les fonctions sont dérivables sur l'ensemble de leurs domaines.

Un examen plus approfondi de l'équation ef{chain1} révèle un modèle intéressant. Le premier terme de l'équation est (displaystyle dfrac{∂f}{∂x} cdot dfrac{dx}{dt}) et le deuxième terme est (displaystyle dfrac{∂f}{∂ y}⋅dfrac{dy}{dt}). Rappelez-vous que lors de la multiplication de fractions, l'annulation peut être utilisée. Si nous traitons ces dérivés comme des fractions, alors chaque produit « se simplifie » en quelque chose qui ressemble à (displaystyle ∂f/dt). Les variables (displaystyle x) et (displaystyle y) qui disparaissent dans cette simplification sont souvent appelées variables intermédiaires: ce sont des variables indépendantes pour la fonction (displaystyle f), mais sont des variables dépendantes pour la variable (displaystyle t). Deux termes apparaissent du côté droit de la formule, et (displaystyle f) est une fonction de deux variables. Ce modèle fonctionne également avec des fonctions de plus de deux variables, comme nous le verrons plus loin dans cette section.

Exemple (PageIndex{1}) : Utilisation de la règle de chaîne

Calculez (displaystyle dz/dt) pour chacune des fonctions suivantes :

  1. (displaystyle z=f(x,y)=4x^2+3y^2,x=x(t)=sin t,y=y(t)=cos t)
  2. (displaystyle z=f(x,y)=sqrt{x^2−y^2},x=x(t)=e^{2t},y=y(t)=e^{−t })

Solution

une. Pour utiliser la règle de la chaîne, nous avons besoin de quatre quantités—(displaystyle ∂z/∂x,∂z/∂y,dx/dt) et (displaystyle dy/dt) :

  • (displaystyle dfrac{∂z}{∂x}=8x)
  • (displaystyle dfrac{dx}{dt}=cos t)
  • (displaystyle dfrac{∂z}{∂y}=6y)
  • (displaystyle dfrac{dy}{dt}=−sin t)

Maintenant, nous substituons chacun d'eux dans l'équation ef{chain1} :

[dfrac{dz}{dt}=dfrac{partial z}{partial x} cdot dfrac{dx}{dt}+dfrac{partial z}{partial y} cdot dfrac {dy}{dt}=(8x)(cos t)+(6y)(−sin t)=8xcos t−6ysin t. pas de numéro]

Cette réponse contient trois variables. Pour le réduire à une variable, on utilise le fait que (displaystyle x(t)=sin t) et (y(t)=cos t.) On obtient

[displaystyle dfrac{dz}{dt}=8xcos t−6ysin t=8(sin t)cos t−6(cos t)sin t=2sin tcos t . pas de numéro]

Cette dérivée peut également être calculée en remplaçant d'abord (displaystyle x(t)) et (displaystyle y(t)) dans (displaystyle f(x,y),) puis en différenciant par rapport à (style d'affichage t) :

[displaystyle z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))^2+3(y(t))^2=4sin^ 2 t+3cos^2 t. pas de numéro]

Puis

[displaystyle dfrac{dz}{dt}=2(4sin t)(cos t)+2(3cos t)(−sin t)=8sin tcos t−6 sin tcos t=2sin tcos t, onumber]

qui est la même solution. Cependant, il n'est pas toujours aussi facile de différencier sous cette forme.

b. Pour utiliser la règle de la chaîne, nous avons encore besoin de quatre quantités—(displaystyle ∂z/∂x,∂z/dy,dx/dt,) et (displaystyle dy/dt:)

  • (displaystyle dfrac{∂z}{∂x}=dfrac{x}{sqrt{x^2−y^2}})
  • (displaystyle dfrac{dx}{dt}=2e^{2t})
  • (displaystyle dfrac{∂z}{∂y}=dfrac{−y}{sqrt{x^2−y^2}})
  • (displaystyle dfrac{dx}{dt}=−e^{−t}.)

Nous substituons chacun d'eux dans l'équation ef{chain1} :

[egin{align*} dfrac{dz}{dt} =dfrac{ partial z}{ partial x} cdot dfrac{dx}{dt}+dfrac{ partial z}{ partial y}cdot dfrac{dy}{dt} [4pt] =left(dfrac{x}{sqrt{x^2−y^2}} ight) (2e^{2t})+ left(dfrac{−y}{sqrt{x^2−y^2}} ight) (−e^{−t}) [4pt] =dfrac{2xe^{2t}−ye ^{−t}}{sqrt{x^2−y^2}}. end{align*} ]

Pour réduire cela à une variable, nous utilisons le fait que (displaystyle x(t)=e^{2t}) et (displaystyle y(t)=e^{−t}). Donc,

[ egin{align*} dfrac{dz}{dt} =dfrac{2xe^2t+ye^{−t}}{sqrt{x^2−y^2}} [4pt] = dfrac{2(e^{2t})e^{2t}+(e^{−t})e^{−t}}{sqrt{e^{4t}−e^{−2t}}} [4pt] =dfrac{2e^{4t}+e^{−2t}}{sqrt{e^{4t}−e^{−2t}}}. end{align*} ]

Pour éliminer les exposants négatifs, on multiplie le haut par (displaystyle e^{2t}) et le bas par (displaystyle sqrt{e^{4t}}) :

[egin{align*} dfrac{dz}{dt} =dfrac{2e^{4t}+e^{−2t}}{sqrt{e^{4t}−e^{−2t}} }⋅dfrac{e^{2t}}{sqrt{e^{4t}}} [4pt] =dfrac{2e^{6t}+1}{sqrt{e^{8t}−e ^{2t}}} [4pt] =dfrac{2e^{6t}+1}{sqrt{e^{2t}(e^{6t}−1)}} [4pt] = dfrac{2e^{6t}+1}{e^tsqrt{e^{6t}−1}}. end{align*}]

Encore une fois, cette dérivée peut également être calculée en substituant d'abord (displaystyle x(t)) et (displaystyle y(t)) dans (displaystyle f(x,y),) puis en différenciant par rapport à (displaystyle t):

[egin{align*} z =f(x,y) [4pt] =f(x(t),y(t)) [4pt] =sqrt{(x(t))^ 2−(y(t))^2} [4pt] =sqrt{e^{4t}−e^{−2t}} [4pt] =(e^{4t}−e^{− 2t})^{1/2}. end{align*} ]

Puis

[ egin{align*} dfrac{dz}{dt} = dfrac{1}{2} (e^{4t}−e^{−2t})^{−1/2} left(4e ^{4t}+2e^{−2t} ight) [4pt] =dfrac{2e^{4t}+e^{−2t}}{sqrt{e^{4t}−e^{− 2t}}}. end{align*}]

C'est la même solution.

Exercice (PageIndex{1})

Calculez (dz/dt ) à partir des fonctions suivantes. Exprimez la réponse finale en termes de (displaystyle t).

[ egin{align*} z =f(x,y)=x^2−3xy+2y^2 [4pt] x =x(t)=3sin2t,y=y(t)=4 cos 2t end{align*}]

Indice

Calculez (displaystyle ∂z/∂x,∂z/dy,dx/dt,) et (displaystyle dy/dt), puis utilisez l'équation ef{chain1}.

Réponse

(displaystyle dfrac{dz}{dt}=dfrac{∂f}{∂x}dfrac{dx}{dt}+dfrac{∂f}{∂y}dfrac{dy}{dt} )

(displaystyle =(2x−3y)(6cos2t)+(−3x+4y)(−8sin2t))

(displaystyle =−92sin 2t cos 2t−72(cos ^22t−sin^22t))

(displaystyle =−46sin 4t−72cos 4t.)

Il est souvent utile de créer une représentation visuelle de l'équation pour la règle de chaîne. C'est ce qu'on appelle un diagramme en arbre pour la règle de chaîne pour les fonctions d'une variable et il fournit un moyen de se souvenir de la formule (Figure (PageIndex{1})). Ce diagramme peut être étendu pour des fonctions de plus d'une variable, comme nous le verrons très prochainement.

Dans ce diagramme, le coin le plus à gauche correspond à (displaystyle z=f(x,y)). Puisque (displaystyle f) a deux variables indépendantes, il y a deux lignes venant de ce coin. La branche supérieure correspond à la variable (displaystyle x) et la branche inférieure correspond à la variable (displaystyle y). Puisque chacune de ces variables dépend alors d'une variable (displaystyle t), une branche vient alors de (displaystyle x) et une branche vient de (displaystyle y). Enfin, chacune des branches à l'extrême droite a une étiquette qui représente le chemin parcouru pour atteindre cette branche. La branche supérieure est atteinte en suivant la branche (displaystyle x), puis la branche t ; par conséquent, il est étiqueté (displaystyle (∂z/∂x)×(dx/dt).) La branche du bas est similaire : d'abord la branche (displaystyle y), puis la branche (displaystyle t ) branche. Cette branche est étiquetée (displaystyle (∂z/∂y)×(dy/dt)). Pour obtenir la formule pour (displaystyle dz/dt,) ajoutez tous les termes qui apparaissent sur le côté le plus à droite du diagramme. Cela nous donne l'équation.

Dans Note, (displaystyle z=f(x,y)) est une fonction de (displaystyle x) et (displaystyle y), et les deux (displaystyle x=g(u,v )) et (displaystyle y=h(u,v)) sont des fonctions des variables indépendantes (displaystyle u) et (displaystyle v).

Règle de chaîne pour deux variables indépendantes

Supposons que (displaystyle x=g(u,v)) et (displaystyle y=h(u,v)) soient des fonctions différentiables de (displaystyle u) et (displaystyle v), et (displaystyle z=f(x,y)) est une fonction différentiable de (displaystyle x) et (displaystyle y). Alors, (displaystyle z=f(g(u,v),h(u,v))) est une fonction différentiable de (displaystyle u) et (displaystyle v), et

[dfrac{∂z}{∂u}=dfrac{∂z}{∂x}dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{∂z}{∂y}dfrac{∂y} {∂u} label{chain2a}]

et

[dfrac{∂z}{∂v}=dfrac{∂z}{∂x}dfrac{∂x}{∂v}+dfrac{∂z}{∂y}dfrac{∂y} {∂v}. label{chian2b}]

Nous pouvons dessiner un diagramme en arbre pour chacune de ces formules ainsi que ce qui suit.

Pour dériver la formule pour (displaystyle ∂z/∂u), commencez par le côté gauche du diagramme, puis suivez uniquement les branches qui se terminent par (displaystyle u) et ajoutez les termes qui apparaissent à la fin de ces succursales. Pour la formule pour (displaystyle ∂z/∂v), suivez uniquement les branches qui se terminent par (displaystyle v) et ajoutez les termes qui apparaissent à la fin de ces branches.

Il existe une différence importante entre ces deux théorèmes de règles de chaîne. Dans Note, le côté gauche de la formule de la dérivée n'est pas une dérivée partielle, mais dans Note c'est le cas. La raison en est que, dans Note, (displaystyle z) est finalement une fonction de (displaystyle t) seul, alors que dans Note, (displaystyle z) est une fonction à la fois de (displaystyle u ) et (displaystyle v).

Exemple (PageIndex{2}) : Utilisation de la règle de chaîne pour deux variables

Calculez (displaystyle ∂z/∂u) et (displaystyle ∂z/∂v) en utilisant les fonctions suivantes :

[displaystyle z=f(x,y)=3x^2−2xy+y^2,; x=x(u,v)=3u+2v,; y=y(u,v)=4u−v. pas de numéro]

Solution

Pour implémenter la règle de chaîne pour deux variables, nous avons besoin de six dérivées partielles—(displaystyle ∂z/∂x,; ∂z/∂y,; ∂x/∂u,; ∂x/∂v, ; ∂y/∂u,) et (displaystyle ∂y/∂v):

[egin{align*} dfrac{∂z}{∂x} =6x−2y dfrac{∂z}{∂y}=−2x+2y [4pt] displaystyle dfrac{∂x} {∂u} =3 dfrac{∂x}{∂v}=2 [4pt] dfrac{∂y}{∂u} =4 dfrac{∂y}{∂v}=−1. end{align*}]

Pour trouver (displaystyle ∂z/∂u,) nous utilisons l'équation ef{chain2a} :

[egin{align*} dfrac{∂z}{∂u} =dfrac{∂z}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{∂z}{∂y }⋅dfrac{∂y}{∂u} [4pt] =3(6x−2y)+4(−2x+2y) [4pt] =10x+2y. end{align*}]

Ensuite, nous substituons (displaystyle x(u,v)=3u+2v) et (displaystyle y(u,v)=4u−v:)

[egin{align*} dfrac{∂z}{∂u} =10x+2y [4pt] =10(3u+2v)+2(4u−v) [4pt] =38u+18v . end{align*}]

Pour trouver (displaystyle ∂z/∂v,) nous utilisons l'équation ef{chain2b} :

[egin{align*} dfrac{∂z}{∂v} =dfrac{∂z}{∂x}dfrac{∂x}{∂v}+dfrac{∂z}{∂y} dfrac{∂y}{∂v} [4pt] =2(6x−2y)+(−1)(−2x+2y) [4pt] =14x−6y. end{align*}]

Ensuite, nous substituons (displaystyle x(u,v)=3u+2v) et (displaystyle y(u,v)=4u−v:)

[egin{align*} dfrac{∂z}{∂v} =14x−6y [4pt] =14(3u+2v)−6(4u−v) [4pt] =18u+34v end{align*}]

Exercice (PageIndex{2})

Calculez (displaystyle ∂z/∂u) et (displaystyle ∂z/∂v) à partir des fonctions suivantes :

[ z=f(x,y)=dfrac{2x−y}{x+3y},; x(u,v)=e^{2u}cos 3v,; y(u,v)=e^{2u}sin 3v. pas de numéro]

Indice

Calculer (displaystyle ∂z/∂x,; ∂z/∂y,; ∂x/∂u,; ∂x/∂v,; ∂y/∂u,) et (displaystyle ∂y/∂v), puis utilisez l'équation ef{chain2a} et l'équation ef{chain2b}.

Réponse

(displaystyle dfrac{∂z}{∂u}=0,dfrac{∂z}{∂v}=dfrac{−21}{(3sin 3v+cos 3v)^2})

La règle de la chaîne généralisée

Maintenant que nous avons vu comment étendre la règle de chaîne d'origine aux fonctions de deux variables, il est naturel de se demander : pouvons-nous étendre la règle à plus de deux variables ? La réponse est oui, car le règle de chaîne généralisée États.

Règle de chaîne généralisée

Soit (displaystyle w=f(x_1,x_2,…,x_m)) une fonction différentiable de (displaystyle m) variables indépendantes, et pour chaque (displaystyle i∈{1,…,m} ,) soit (displaystyle x_i=x_i(t_1,t_2,…,t_n)) une fonction différentiable de (displaystyle n) variables indépendantes. Puis

[dfrac{∂w}{∂t_j}=dfrac{∂w}{∂x_1}dfrac{∂x_1}{∂t_j}+dfrac{∂w}{∂x_2}dfrac{∂x_2} {∂t_j}+⋯+dfrac{∂w}{∂x_m}dfrac{∂x_m}{∂t_j}]

pour tout (displaystyle j∈{1,2,…,n}.)

Dans l'exemple suivant, nous calculons la dérivée d'une fonction de trois variables indépendantes dans laquelle chacune des trois variables dépend de deux autres variables.

Exemple (PageIndex{3}) : Utilisation de la règle de chaîne généralisée

Calculez (displaystyle ∂w/∂u) et (displaystyle ∂w/∂v) à l'aide des fonctions suivantes :

[egin{align*} w =f(x,y,z)=3x^2−2xy+4z^2 [4pt] x =x(u,v)=e^usin v [4pt] y =y(u,v)=e^ucos v [4pt] z =z(u,v)=e^u. end{align*}]

Solution

Les formules pour (displaystyle ∂w/∂u) et (displaystyle ∂w/∂v) sont

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂u} =dfrac{∂w}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{∂w}{∂y }⋅dfrac{∂y}{∂u}+dfrac{∂w}{∂z}⋅dfrac{∂z}{∂u} [4pt] dfrac{∂w}{∂v} = dfrac{∂w}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂v}+dfrac{∂w}{∂y}⋅dfrac{∂y}{∂v}+dfrac{∂w} {∂z}⋅dfrac{∂z}{∂v}. end{align*}]

Par conséquent, il y a neuf dérivées partielles différentes qui doivent être calculées et remplacées. Nous devons calculer chacun d'eux:

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂x}=6x−2y dfrac{∂w}{∂y}=−2x dfrac{∂w}{∂z}=8z [ 4pt] dfrac{∂x}{∂u}=e^usin v dfrac{∂y}{∂u}=e^ucos v dfrac{∂z}{∂u}=e^u [4pt] dfrac{∂x}{∂v}=e^ucos v dfrac{∂y}{∂v}=−e^usin v dfrac{∂z}{∂v}= 0. end{align*}]

Maintenant, nous substituons chacun d'eux dans la première formule pour calculer (displaystyle ∂w/∂u):

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂u} =dfrac{∂w}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{∂w}{∂y }⋅dfrac{∂y}{∂u}+dfrac{∂w}{∂z}⋅dfrac{∂z}{∂u} [4pt] =(6x−2y)e^usin v−2xe^ucos v+8ze^u, end{align*}]

puis remplacez (displaystyle x(u,v)=e^u sin v,y(u,v)=e^ucos v,) et (displaystyle z(u,v)=e^ u) dans cette équation :

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂u} =(6x−2y)e^usin v−2xe^ucos v+8ze^u [4pt] =(6e^ usin v−2eucos v)e^usin v−2(e^usin v)e^ucos v+8e^{2u} [4pt] =6e^{2u} sin^2 v−4e^{2u}sin vcos v+8e^{2u} [4pt] =2e^{2u}(3sin^2 v−2sin vcos v+4 ). end{align*}]

Ensuite, nous calculons (displaystyle ∂w/∂v):

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂v} =dfrac{∂w}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂v}+dfrac{∂w}{∂y }⋅dfrac{∂y}{∂v}+dfrac{∂w}{∂z}⋅dfrac{∂z}{∂v} [4pt] =(6x−2y)e^ucos v−2x(−e^usin v)+8z(0), end{align*}]

alors on substitue (displaystyle x(u,v)=e^usin v,y(u,v)=e^ucos v,) et (displaystyle z(u,v)=e ^u) dans cette équation :

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂v} =(6x−2y)e^ucos v−2x(−e^usin v) [4pt] =(6e^ u sin v−2e^ucos v)e^ucos v+2(e^usin v)(e^usin v) [4pt] =2e^{2u}sin^ 2 v+6e^{2u}sin vcos v−2e^{2u}cos^2 v ​​[4pt] =2e^{2u}(sin^2 v+sin vcos v− cos^2 v). end{align*}]

Exercice (PageIndex{3})

Calculez (displaystyle ∂w/∂u) et (displaystyle ∂w/∂v) à partir des fonctions suivantes :

[egin{align*} w =f(x,y,z)=dfrac{x+2y−4z}{2x−y+3z} [4pt] x =x(u,v)=e ^{2u}cos3v [4pt] y =y(u,v)=e^{2u}sin 3v [4pt] z =z(u,v)=e^{2u}. end{align*}]

Indice

Calculez neuf dérivées partielles, puis utilisez les mêmes formules de l'exemple (PageIndex{3}).

Réponse

(displaystyle dfrac{∂w}{∂u}=0)

(displaystyle dfrac{∂w}{∂v}=dfrac{15−33sin 3v+6cos 3v}{(3+2cos 3v−sin 3v)^2})

Exemple (PageIndex{4}) : Dessiner un diagramme en arbre

Créez un diagramme en arbre pour le cas où

[ w=f(x,y,z),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v),z=z(t,u,v) onumber]

et écrivez les formules des trois dérivées partielles de (displaystyle w).

Solution

En partant de la gauche, la fonction (displaystyle f) a trois variables indépendantes : (displaystyle x,y) et (displaystyle z). Par conséquent, trois branches doivent émaner du premier nœud. Chacune de ces trois branches a également trois branches, pour chacune des variables (displaystyle t,u,) et (displaystyle v).

Les trois formules sont

[egin{align*} dfrac{∂w}{∂t} =dfrac{∂w}{∂x}dfrac{∂x}{∂t}+dfrac{∂w}{∂y} dfrac{∂y}{∂t}+dfrac{∂w}{∂z}dfrac{∂z}{∂t} [4pt] dfrac{∂w}{∂u} =dfrac{ ∂w}{∂x}dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{∂w}{∂y}dfrac{∂y}{∂u}+dfrac{∂w}{∂z} dfrac{∂z}{∂u} [4pt] dfrac{∂w}{∂v} =dfrac{∂w}{∂x}dfrac{∂x}{∂v}+dfrac{∂ w}{∂y}dfrac{∂y}{∂v}+dfrac{∂w}{∂z}dfrac{∂z}{∂v}. end{align*}]

Exercice (PageIndex{4})

Créez un diagramme en arbre pour le cas où

[style d'affichage w=f(x,y),x=x(t,u,v),y=y(t,u,v) onumber]

et écrivez les formules des trois dérivées partielles de (displaystyle w.)

Indice

Déterminez le nombre de branches qui émanent de chaque nœud de l'arbre.

Réponse

[egin{align*}dfrac{∂w}{∂t} =dfrac{∂w}{∂x}dfrac{∂x}{∂t}+dfrac{∂w}{∂y} dfrac{∂y}{∂t} [4pt] dfrac{∂w}{∂u} =dfrac{∂w}{∂x}dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{ ∂w}{∂y}dfrac{∂y}{∂u} [4pt] dfrac{∂w}{∂v} =dfrac{∂w}{∂x}dfrac{∂x}{ v}+dfrac{∂w}{∂y}dfrac{∂y}{∂v} end{align*}]

Différenciation implicite

Le rappel à partir de la différenciation implicite fournit une méthode pour trouver (displaystyle dy/dx) lorsque (displaystyle y) est défini implicitement en fonction de (displaystyle x). La méthode consiste à différencier les deux côtés de l'équation définissant la fonction par rapport à (displaystyle x), puis à résoudre (displaystyle dy/dx.) Les dérivées partielles fournissent une alternative à cette méthode.

Considérons l'ellipse définie par l'équation (displaystyle x^2+3y^2+4y−4=0) comme suit.

Cette équation définit implicitement (displaystyle y) en fonction de (displaystyle x). Ainsi, nous pouvons trouver la dérivée (displaystyle dy/dx) en utilisant la méthode de différenciation implicite :

[egin{align*}dfrac{d}{dx}(x^2+3y^2+4y−4) =dfrac{d}{dx}(0) [4pt] 2x+6y dfrac{dy}{dx}+4dfrac{dy}{dx} =0 [4pt] (6y+4)dfrac{dy}{dx} =−2x[4pt] dfrac{dy} {dx} =−dfrac{x}{3y+2}end{align*}]

On peut aussi définir une fonction (displaystyle z=f(x,y)) en utilisant le membre de gauche de l'équation définissant l'ellipse. Alors (displaystyle f(x,y)=x^2+3y^2+4y−4.) L'ellipse (displaystyle x^2+3y^2+4y−4=0) peut alors être décrit par l'équation (displaystyle f(x,y)=0). L'utilisation de cette fonction et du théorème suivant nous donne une approche alternative pour calculer (displaystyle dy/dx.)

Théorème : Différenciation implicite d'une fonction de deux ou plusieurs variables

Supposons que la fonction (displaystyle z=f(x,y)) définisse (displaystyle y) implicitement comme une fonction (displaystyle y=g(x)) de (displaystyle x) via l'équation (displaystyle f(x,y)=0.) Alors

[dfrac{dy}{dx}=−dfrac{∂f/∂x}{∂f/∂y} label{implicitdiff1}]

fourni (displaystyle f_y(x,y)≠0.)

Si l'équation (displaystyle f(x,y,z)=0) définit implicitement (displaystyle z) comme une fonction différentiable de (displaystyle x) et (displaystyle y), alors

[dfrac{dz}{dx}=−dfrac{∂f/∂x}{∂f/∂z} ; ext{et}; dfrac{dz}{dy}=−dfrac{∂f/∂y}{∂f/∂z}label{implicitdiff2}]

tant que (displaystyle f_z(x,y,z)≠0.)

L'équation ef{implicitdiff1} est une conséquence directe de l'équation ef{chain2a}. En particulier, si l'on suppose que (displaystyle y) est défini implicitement en fonction de (displaystyle x) via l'équation (displaystyle f(x,y)=0), on peut appliquer le règle de chaîne pour trouver (displaystyle dy/dx:)

[egin{align*} dfrac{d}{dx}f(x,y) =dfrac{d}{dx}(0) [4pt] dfrac{∂f}{∂x}⋅ dfrac{dx}{dx}+dfrac{∂f}{∂y}⋅dfrac{dy}{dx} =0 [4pt]dfrac{∂f}{∂x}+dfrac{∂ f}{∂y}⋅dfrac{dy}{dx} =0. end{align*}]

La résolution de cette équation pour (displaystyle dy/dx) donne l'équation ef{implicitdiff1}. L'équation ef{implicitdiff1} peut être dérivée de la même manière.

Revenons maintenant au problème que nous avons commencé avant le théorème précédent. En utilisant Note et la fonction (displaystyle f(x,y)=x^2+3y^2+4y−4,) on obtient

[egin{align*} dfrac{∂f}{∂x} =2x[4pt] dfrac{∂f}{∂y} =6y+4. end{align*}]

Alors l'équation ef{implicitdiff1} donne

[dfrac{dy}{dx}=−dfrac{∂f/∂x}{∂f/∂y}=−dfrac{2x}{6y+4}=−dfrac{x}{3y+ 2},]

ce qui est le même résultat obtenu par l'utilisation antérieure de la différenciation implicite.

Exemple (displaystyle PageIndex{5}) : Différenciation implicite par dérivés partiels

  1. Calculer (displaystyle dy/dx) si y est défini implicitement en fonction de (displaystyle x) via l'équation (displaystyle 3x^2−2xy+y^2+4x−6y−11=0 ). Quelle est l'équation de la tangente au graphique de cette courbe au point (displaystyle (2,1)) ?
  2. Calculer (displaystyle ∂z/∂x) et (displaystyle ∂z/∂y,) étant donné (displaystyle x^2e^y−yze^x=0.)

Solution

une. Définissez (displaystyle f(x,y)=3x^2−2xy+y^2+4x−6y−11=0,) puis calculez (displaystyle f_x) et (displaystyle f_y : f_x= 6x−2y+4) (displaystyle f_y=−2x+2y−6.)

La dérivée est donnée par

[displaystyle dfrac{dy}{dx}=−dfrac{∂f/∂x}{∂f/∂y}=dfrac{6x−2y+4}{−2x+2y−6}= dfrac{3x−y+2}{x−y+3}. pas de numéro]

La pente de la tangente au point (displaystyle (2,1)) est donnée par

[displaystyle dfrac{dy}{dx}∣_{(x,y)=(2,1)}=dfrac{3(2)−1+2}{2−1+3}=dfrac {7}{4} onuméro]

Pour trouver l'équation de la ligne tangente, nous utilisons la forme point-pente (Figure (PageIndex{5})) :

[egin{align*} y−y_0 =m(x−x_0)[4pt]y−1 =dfrac{7}{4}(x−2) [4pt] y =dfrac{ 7}{4}x−dfrac{7}{2}+1[4pt] y =dfrac{7}{4}x−dfrac{5}{2}.end{align*} ]

b. On a (displaystyle f(x,y,z)=x^2e^y−yze^x.) Par conséquent,

[egin{align*} dfrac{∂f}{∂x} =2xe^y−yze^x [4pt] dfrac{∂f}{∂y} =x^2e^y−ze^ x [4pt] dfrac{∂f}{∂z} =−ye^xend{align*}]

En utilisant l'équation ef{implicitdiff2},

[egin{align*} dfrac{∂z}{∂x} =−dfrac{∂f/∂x}{∂f/∂y} dfrac{∂z}{∂y} =−dfrac {∂f/∂y}{∂f/∂z} [4pt] =−dfrac{2xe^y−yze^x}{−ye^x} ext{and} =−dfrac{x^ 2e^y−ze^x}{−ye^x} [4pt] =dfrac{2xe^y−yze^x}{ye^x} =dfrac{x^2e^y−ze^x} {ye^x} end{align*}]

Exercice (PageIndex{5})

Trouver (displaystyle dy/dx) si (displaystyle y) est défini implicitement en fonction de (displaystyle x) par l'équation (displaystyle x^2+xy−y^2+7x −3y−26=0). Quelle est l'équation de la tangente au graphique de cette courbe au point (displaystyle (3,−2)) ?

Indice

Calculez (displaystyle f/dx) et (displaystyle ∂f/dy), puis utilisez l'équation ef{implicitdiff1}.

Solution

[dfrac { d y } { d x } = gauche. frac { 2 x + y + 7 } { 2 y - x + 3 } ight| _ { ( 3 , - 2 ) } = dfrac { 2 ( 3 ) + ( - 2 ) + 7 } { 2 ( - 2 ) - ( 3 ) + 3 } = - dfrac { 11 } { 4 } onumber ]

Equation de la tangente : (displaystyle y=−dfrac{11}{4}x+dfrac{25}{4})

Concepts clés

  • La règle de la chaîne pour les fonctions de plus d'une variable implique les dérivées partielles par rapport à toutes les variables indépendantes.
  • Les diagrammes en arbre sont utiles pour dériver des formules pour la règle de chaîne pour les fonctions de plus d'une variable, où chaque variable indépendante dépend également d'autres variables.

Équations clés

  • Règle de chaîne, une variable indépendante

(displaystyle dfrac{dz}{dt}=dfrac{∂z}{∂x}⋅dfrac{dx}{dt}+dfrac{∂z}{∂y}⋅dfrac{dy}{ dt})

  • Règle de chaîne, deux variables indépendantes

(displaystyle dfrac{dz}{du}=dfrac{∂z}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂u}+dfrac{∂z}{∂y}⋅dfrac{∂ y}{∂u}dfrac{dz}{dv}=dfrac{∂z}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂v}+dfrac{∂z}{∂y}⋅dfrac {∂y}{∂v})

  • Règle de chaîne généralisée

(displaystyle dfrac{∂w}{∂t_j}=dfrac{∂w}{∂x_1}dfrac{∂x_1}{∂t_j}+dfrac{∂w}{∂x_2}dfrac{∂ x_1}{∂t_j}+⋯+dfrac{∂w}{∂x_m}dfrac{∂x_m}{∂t_j})

Glossaire

règle de chaîne généralisée
la règle de la chaîne étendue aux fonctions de plus d'une variable indépendante, dans laquelle chaque variable indépendante peut dépendre d'une ou plusieurs autres variables
variable intermédiaire
étant donné une composition de fonctions (par exemple, (displaystyle f(x(t),y(t)))), les variables intermédiaires sont les variables qui sont indépendantes dans la fonction externe mais qui dépendent également d'autres variables ; dans la fonction (displaystyle f(x(t),y(t)),) les variables (displaystyle x) et (displaystyle y) sont des exemples de variables intermédiaires
diagramme en arbre
illustre et dérive des formules pour la règle de la chaîne généralisée, dans laquelle chaque variable indépendante est prise en compte

Aperçu des mathématiques

L'énoncé général de la règle de la chaîne multivariable est le suivant.

Règle de la chaîne: Pour les fonctions dérivables $vc: R^m ightarrow R^k$ et $vc: R^k ightarrow R^n$ (confused?), la matrice dérivée de la composition $vc=vc circ vc$ (c'est-à-dire $vc(vc) = vc(vc(vc))$) au point $vc$ est le produit des matrices dérivées pour $vc$ et $vc$ : egin Dvc(vc)= D(vc circ vc)(vc) = D>igl(vc(vc)igr) D>(vc). étiqueter finir

Sous cette forme, la règle de chaîne multivariable ressemble à la règle de chaîne à une variable : $diff<>(f circ g)(x) = diff<>f(g(x)) = f'(g(x))g'(x).$ La plus grande différence dans le cas multivariable est que la dérivée ordinaire a été remplacée par la matrice dérivée. Un fait important à retenir est que la matrice des dérivées partielles pour $vc$ est évalué à $vc(vc)$, ne pas à $vc$.

L'utilisation de la forme générale ci-dessus peut être le moyen le plus simple d'apprendre la règle de la chaîne. Si vous êtes à l'aise pour former des matrices dérivées, multiplier des matrices et utiliser la règle de chaîne à une variable, alors utilisez la règle de chaîne eqref ne nécessite pas de mémoriser une série de formules et de déterminer quelle formule s'applique à un problème donné.

D'un autre côté, avoir quelques formules de cas particuliers disponibles peut économiser du travail. Pour un type de problème donné, vous pouvez former les matrices et calculer leur produit une fois pour obtenir une formule valable pour ce type de problème particulier. Ensuite, pour chaque exemple de ce type de problème, vous pouvez insérer les fonctions particulières dans la formule de cas particulier et accéder plus rapidement au résultat final.

Dans ce qui suit, nous dérivons des formules pour quelques cas particuliers. Dans chaque cas, la fonction externe $f$ est une fonction à valeur scalaire. Nous examinons deux groupes de cas particuliers : lorsque $vc$ est une fonction d'une variable et lorsque $vc$ est une fonction de deux variables.

$vc$ est une fonction d'une variable

Lorsque la fonction interne $vc$ est une fonction d'une variable, $vc: R o R^n$, et $f$ est une fonction scalaire, $f: R^n o R$, alors la composition $h(t)=f(vc(t))$ est juste une fonction à valeur scalaire d'une seule variable $h : R o R$. Sa dérivée n'est qu'un seul nombre $h'(t)$. Nous montrons comment exprimer ce nombre unique sous forme de produit scalaire de deux vecteurs.

Depuis $vc$ est une fonction pour une seule variable, nous pouvons voir $vc$ comme paramétrant une courbe. On peut écrire la dérivée de la courbe paramétrée sous la forme d'un vecteur egin Dvc(t) = gauche[ egin diff(t) diff(t) vdots diff(tendre ight] = (g_1'(t),g_2'(t),ldots,g_n'(t)) =vc'(t). finir.

Puisque nous considérons le cas où $f$ est une fonction à valeur scalaire, sa matrice dérivée peut être considérée comme le vecteur de gradient : $ abla f(vc) = gauche(pdiff(vc), pdiff(vc), cdots, pdiff(vc) ight).$ Le produit matriciel de la règle générale de la chaîne $Df(vc(t))Dg(t)$ peut alors être considéré comme un produit scalaire entre le vecteur gradient $ abla f(vc)$ et le vecteur $vc'(t)$. Nous pouvons écrire la règle de chaîne comme egin h'(t) = abla f(vc(t)) cdot vc'(t). étiqueter finir

Si $vc(t)$ est une fonction unidimensionnelle $x=g(t)$ et $f(x)$ est une fonction d'une seule variable, alors nous revenons à la règle de la chaîne à une seule variable et à l'équation eqref devient $ h'(t) = f'(g(t))g'(t).$ Si nous écrivions $g(t)=x(t)$, nous pourrions aussi écrire cette règle de chaîne sous la forme $diff = diff diff$, où nous négligeons d'écrire les arguments de chaque fonction.

Si, par contre, $vc(t)$ est une fonction bidimensionnelle $(x,y)=vc(t)=(g_1(t),g_2(t))$ et $f(vc)$ est une fonction de deux variables, $f(x,y)$, alors nous pouvons multiplier le produit scalaire de l'équation eqref pour l'écrire comme egin h'(t) = pdiff(vc(t))g_1'(t) + pdiff(vc(t))g_2'(t). ag <2a>end Ce cas particulier est exactement l'introduction de la règle de chaîne de l'équation (4).

Si nous écrivons $vc(t)=(g_1(t),g_2(t))=(x(t),y(t))$ et sa dérivée comme $vc'(t)=gauche(diff,diff ight)$, alors nous pouvons écrire cette formule d'une manière que certaines personnes peuvent mémoriser plus facilement : egin diff = pdiffdiff + pdiffdiff. ag <2a'>end Cette formule semble particulièrement simple puisque nous n'avons pas écrit les arguments de chaque fonction.

Nous pouvons écrire une expression similaire pour $vc tridimensionnel(t)=(g_1(t),g_2(t),g_3(t))=(x(t),y(t),z(t))$ et $f(x,y,z)$ : commencer h'(t) = pdiff(vc(t))g_1'(t) + pdiff(vc(t))g_2'(t) + pdiff(vc(t))g_3'(t). ag <2b>end La version simplifiée de la formule 3D est egin diff = pdiffdiff + pdiffdiff + pdiffdiff. ag <2b'>end (Certaines personnes écrivent même une formule telle que $diff = pdiffdiff + pdiffdiff + pdiffdiff$ où $f$ est considéré à la fois comme une fonction de $t$ et comme une fonction de $vc=(x,y,z)$.)

$vc$ est une fonction de deux variables

Si $vc(s,t)$ est une fonction vectorielle de deux variables, $vc: R^2 o R^n$, alors on ne peut plus écrire sa dérivée sous forme de vecteur. Au lieu de cela, la dérivée $Dvc(s,t)$ sera une matrice de dérivées partielles à deux colonnes, c'est-à-dire une matrice $n imes 2$. Puisque la dérivée de $f : R^n o R$ est une matrice de $1 imes n$, la dérivée de la composition $h(s,t)=g(vc(s,t))$ sera une matrice de $1 imes 2$ : egin Dh(s,t) = gauche[pdiff(s,t) quad pdiff(s,t)droit]. finir D'une manière similaire à la procédure ci-dessus, nous pouvons écrire des formules de composants pour les deux $pdiff$ et $pdiff$, selon la dimension $n$.

Si $g$ est une fonction à valeur scalaire, $x(s,t)=g(s,t)$, alors sa dérivée est la matrice $1 imes 2$ egin Dg(s,t) = gauche[pdiff(s,t) quad pdiff(s,t) ight] = left[pdiff quad pdiff ight], end où dans la deuxième forme de raccourci, nous négligeons les arguments de fonction. Dans ce cas, $f(x)$ doit être fonction d'une seule variable et sa dérivée est le scalaire $f'(x)$. Par la règle de la chaîne eqref, la dérivée de $h$ est egin gauche[pdiff(s,t) quad pdiff(s,t) ight] = f'(g(s,t)) left[pdiff(s,t) quad pdiff(s,t)droit]. finir En écrivant chaque composant séparément, nous pouvons écrire ce cas particulier de la règle de chaîne comme egin pdiff(s,t) &= f'(g(s,t))pdiff(s,t) otag pdiff(s,t) &= f'(g(s,t))pdiff(s,t) ag <3a>end ou en écrivant $g$ sous la forme $x$, nous pouvons écrire la forme simplifiée sous la forme egin pdiff &= diffpdiff otag pdiff &= diffpdiff. ag <3a'>end

Si $vc$ est une fonction bidimensionnelle $(x(s,t),y(s,t))=vc(s,t)=(g_1(s,t),g_2(s,t))$ et $f$ est une fonction de deux variables, $f(x,y)$, alors $Dvc(s,t)$ est une matrice de $2 imes 2$ et $Df(x,y)$ est une matrice de $1 imes 2$. La règle de chaîne eqref peut être écrit comme egin gauche[pdiff(s,t) quad pdiff(s,t) ight] = left[pdiff(vc(s,t))quad pdiff(vc(s,t)) ight] left[eginpdiff(s,t) & pdiff(s,t) pdiff(s,t) & pdiff(s,t) findroite]. finir Nous multiplions les deux bonnes matrices et écrivons chaque composant séparément pour écrire le résultat comme egin pdiff(s,t) &= pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) +pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) otag pdiff(s,t) &= pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) +pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t). étiqueter ag<> end On peut simplifier en écrivant $(g_1,g_2)$ comme $(x,y)$ : egin pdiff &= pdiffpdiff +pdiffpdiff otag pdiff &= pdiffpdiff +pdiffpdiff. ag <3b'>end

Enfin, en trois dimensions, avec les fonctions $vc: R^2 o R^3$ et $f: R^3 o R$, on peut écrire la règle de chaîne sous forme matricielle comme egin gauche[pdiff(s,t) quad pdiff(s,t) ight] = left[pdiff(vc(s,t))quad pdiff(vc(s,t)) quad pdiff(vc(s,t)) ight] left[eginpdiff(s,t) & pdiff(s,t) pdiff(s,t) & pdiff(s,t) pdiff(s,t) & pdiff(s,t) fin ight], end et sous forme de composant comme egin pdiff(s,t) &= pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) +pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) +pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) otag pdiff(s,t) &= pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) +pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t) +pdiff(vc(s,t))pdiff(s,t). ag <3c>end Écrire $vc(s,t)=(g_1(s,t),g_2(s,t),g_3(s,t))$ comme $(x(s,t),y(s,t),z(s, t))$, on obtient la forme simplifiée egin pdiff &= pdiffpdiff +pdiffpdiff+pdiffpdiff otag pdiff &= pdiffpdiff +pdiffpdiff+pdiffpdiff. ag <3c'>end


Calcul Actif - Multivariable + Vecteur

Qu'est-ce que la règle de la chaîne et comment l'utilisons-nous pour trouver une dérivée ?

Comment pouvons-nous utiliser un diagramme en arbre pour nous guider dans l'application de la règle de la chaîne ?

Dans le calcul à une seule variable, nous avons rencontré des situations dans lesquelles une certaine quantité (z) dépend de (y) et, à son tour, (y) dépend de (x ext<.>) Un changement dans (x) produit un changement dans (y ext<,>) qui par conséquent produit un changement dans (z ext<.>) En utilisant le langage des différentielles que nous avons vu dans la section précédente, ces changements sont naturellement liés par

En termes de taux de changement instantané, nous avons alors

Cette équation la plus récente que nous appelons la Règle de la chaîne.

Dans le cas d'une fonction (f) de deux variables où (z = f(x,y) ext<,>) il se peut que (x) et (y) dépendent de une autre variable (t ext<.>) Un changement dans (t) produit alors des changements à la fois dans (x) et (y ext<,>) qui provoquent alors (z) à changement. Dans cette section, nous verrons comment trouver le changement de (z) causé par un changement de (t ext<,>) nous conduisant à des versions multivariées de la règle de chaîne impliquant à la fois des dérivées régulières et partielles.

Aperçu de l'activité 10.5.1 .

Supposons que vous conduisez dans le plan (xy) de telle sorte que votre position (vr(t)) à l'instant (t) soit donnée par la fonction

Le chemin emprunté est indiqué à gauche de la figure 10.5.1.

Supposons en outre que la température en un point du plan soit donnée par

et notez que la surface générée par (T) est représentée à droite de la figure 10.5.1. Par conséquent, à mesure que le temps passe, votre position ((x(t), y(t))) change et, à mesure que votre position change, la température (T(x,y)) change également.

La fonction de position (vr) fournit une paramétrisation (x = x(t)) et (y = y(t)) de la position à l'instant (t ext<.>) En substituant (x(t)) pour (x) et (y(t)) pour (y) dans la formule pour (T ext<,>) on peut écrire (T = T(x(t), y(t))) en fonction de (t ext<.>) Effectuez ces substitutions pour écrire (T) en fonction de (t) puis utilisez la règle de la chaîne du calcul à variable unique pour trouver (frac ext<.>) (Ne faites aucune algèbre pour simplifier la dérivée, ni avant de prendre la dérivée, ni après.)

Nous voulons maintenant comprendre comment le résultat de la partie (a) peut être obtenu à partir de (T) en tant que fonction multivariable. Rappelez-vous de la section précédente que de petits changements dans (x) et (y) produisent un changement dans (T) qui est approximé par

La règle de chaîne nous renseigne sur le taux de changement instantané de (T ext<,>) et cela peut être trouvé comme

Utilisez l'équation (10.5.1) pour expliquer pourquoi le taux de changement instantané de (T) qui résulte d'un changement de (t) est

En utilisant les formules originales pour (T ext<,>) (x ext<,>) et (y) dans l'énoncé du problème, calculez toutes les dérivées dans l'équation (10.5.2) (avec (T_x) et (T_y) en termes de (x) et (y ext<,>) et (x') et (y') en termes de (t )), et donc écrire le membre de droite de l'équation (10.5.2) en termes de (x ext<,>) (y ext<,>) et (t ext<. >)

Comparez les résultats des parties (a) et (c). Écrivez quelques phrases qui identifient spécifiquement comment chaque terme en (c) se rapporte à un terme correspondant en (a). Cette connexion entre les parties (a) et (c) fournit une version multivariable de la règle de la chaîne.

Sous-section 10.5.1 La règle de la chaîne

Comme le suggère l'activité d'aperçu 10.3.1, la version suivante de la règle de chaîne est valable en général.

La règle de la chaîne.

Soit (z = f(x,y) ext<,>) où (f) est une fonction différentiable des variables indépendantes (x) et (y ext<,>) et soit (x) et (y) sont chacun des fonctions dérivables d'une variable indépendante (t ext<.>) Alors

Il est important de noter les différences entre les dérivés dans (10.5.3). Puisque (z) est une fonction des deux variables (x) et (y ext<,>) les dérivées dans la règle de chaîne pour (z) par rapport à (x) et (y) sont des dérivées partielles. Cependant, puisque (x = x(t)) et (y = y(t)) sont des fonctions de la variable unique (t ext<,>) leurs dérivées sont les dérivées standard des fonctions d'un variable. Quand on compose (z) avec (x(t)) et (y(t) ext<,>) on a alors (z) en fonction de la variable unique (t text<,>) faisant de la dérivée de (z) par rapport à (t) une dérivée standard du calcul à variable unique également.

Pour comprendre pourquoi cette règle de chaîne fonctionne en général, supposons qu'une certaine quantité (z) dépend de (x) et (y) de sorte que

Ensuite, supposons que (x) et (y) dépendent chacun d'une autre quantité (t ext<,>) de sorte que

En combinant les équations (10.5.4) et (10.5.5), nous trouvons que

qui est la règle de la chaîne dans ce contexte particulier, telle qu'elle est exprimée dans l'équation (10.5.3).

Activité 10.5.2 .

Dans les questions suivantes, nous appliquons la règle de la chaîne dans plusieurs contextes différents.

Supposons que nous ayons une fonction (z) définie par (z(x,y) = x^2+xy^3 ext<.>) De plus, supposons que (x) et (y ) sont limités aux points qui se déplacent autour du plan en suivant un cercle de rayon (2) centré à l'origine et paramétré par

Utilisez la règle de la chaîne pour trouver le taux de changement instantané résultant (frac

exte<.>)

Remplacez (x(t)) pour (x) et (y(t)) pour (y) dans la règle pour (z) pour écrire (z) en termes de (t) et calculez (frac

) directement. Comparez avec le résultat de la partie (i.).

Supposons que la température sur une plaque métallique soit donnée par la fonction (T) avec

où la température est mesurée en degrés Fahrenheit et (x) et (y) sont chacun mesurés en pieds.

Trouver (T_x) et (T_y ext<.>) Quelles sont les unités sur ces dérivées partielles ?

Supposons qu'une fourmi marche le long de l'axe (x) à une vitesse de 2 pieds par minute vers l'origine. Lorsque la fourmi est au point ((2,0) ext<,>) quel est le taux de changement instantané de la température (dT/dt) que la fourmi subit. Incluez des unités dans votre réponse.

Supposons plutôt que la fourmi marche le long d'une ellipse avec (x = 6cos(t)) et (y = 3sin(t) ext<,>) où (t) est mesuré en minutes . Trouver (frac) à (t = pi/6 ext<,>) (t=pi/4 ext<,>) et (t = pi/3 ext<.>) Quoi cela semble-t-il vous renseigner sur le chemin sur lequel marche la fourmi ?

Supposons que vous marchiez le long d'une surface dont l'élévation est donnée par une fonction (f ext<.>) De plus, supposons que si vous considérez comment votre emplacement correspond aux points dans le plan (xy), vous savez que lorsque vous passez le point ((2,1) ext<,>) votre vecteur vitesse est (vv=langle -1,2 angle ext<.>) Si certains contours de ( f) sont comme le montre la figure 10.5.2, estimez le taux de changement (df/dt) lorsque vous passez par ((2,1) ext<.>)

Sous-section 10.5.2 Diagrammes d'arbre

Jusqu'à présent, nous avons appliqué la règle de chaîne aux situations où nous avons une fonction (z) de variables (x) et (y ext<,>) avec à la fois (x) et (y) dépendant d'une autre quantité unique (t ext<.>) Nous pouvons appliquer la règle de la chaîne, cependant, lorsque (x) et (y) dépendent chacun de plus d'une quantité, ou lorsque (z) est une fonction de plus de deux variables. Il peut être difficile de garder une trace de toutes les dépendances entre les variables, et donc un diagramme en arbre peut être un outil utile pour organiser notre travail. Par exemple, supposons que (z) dépend de (x) et (y ext<,>) et (x) et (y) dépendent tous les deux de (t ext<. >) Nous pouvons représenter ces relations à l'aide de l'arborescence illustrée à gauche Figure 10.5.3. Nous plaçons la variable dépendante en haut de l'arbre et la connectons aux variables dont elle dépend un niveau en dessous. Nous connectons ensuite chacune de ces variables à la variable dont chacune dépend.

Pour représenter la règle de la chaîne, nous étiquetons chaque bord du diagramme avec la dérivée ou la dérivée partielle appropriée, comme on le voit à droite sur la figure 10.5.3. Pour calculer une dérivée globale selon la règle de la chaîne, nous construisons le produit des dérivées le long de tous les chemins reliant les variables, puis ajoutons tous ces produits. Par exemple, le diagramme à droite de la figure 10.5.3 illustre la règle de la chaîne

Activité 10.5.3 .

La figure 10.5.4 montre l'arbre que nous construisons lorsque (a) (z) dépend de (w ext<,>) (x ext<,>) et (y ext<,> ) (b) (w ext<,>) (x ext<,>) et (y) dépendent chacun de (u) et (v ext<,>) et (c) (u) et (v) dépendent de (t ext<.>)

Étiquetez les arêtes avec les dérivées appropriées.

Utilisez la règle de chaîne pour écrire (frac

exte<.>)

Supposons que (z=x^2 - 2xy^2) et que

Construire un arbre représentant les dépendances de (z) sur (x) et (y) et (x) et (y) sur (r) et ( heta ext <.>)

Utilisez l'arborescence pour trouver (frac ext<.>)

Supposons maintenant que (r = 3) et ( heta=pi/6 ext<.>) Trouvez les valeurs de (x) et (y) qui correspondent à ces valeurs données de (r) et ( heta ext<,>) puis utilisez la règle de chaîne pour trouver la valeur de la dérivée partielle (frac|_<(3 ,frac<6>)> ext<.>)

Sous-section 10.5.3 Résumé

La règle de chaîne est un outil pour différencier un composite pour les fonctions. Dans sa forme la plus simple, il dit que si (f(x,y)) est une fonction de deux variables et (x(t)) et (y(t)) dépendent de (t ext <,>) puis

Un diagramme en arbre peut être utilisé pour représenter la dépendance des variables sur d'autres variables. En suivant les liens dans l'arborescence, nous pouvons former des chaînes de dérivées partielles ou de dérivées qui peuvent être combinées pour donner une dérivée partielle souhaitée.


13.5 : La règle de la chaîne pour les fonctions de plusieurs variables

Alors que nous commençons à dresser une liste de séries convergentes et divergentes, de nouvelles séries peuvent parfois être analysées en les comparant à celles que nous comprenons déjà.

Exemple 13.5.1 Est-ce que $dssum_^infty <1sur n^2ln n>$ convergent ?

La première approche évidente, basée sur ce que nous savons, est le test intégral. Malheureusement, nous ne pouvons pas calculer la primitive requise. Mais en regardant la série, il semblerait qu'elle doit converger, car les termes que nous ajoutons sont plus petits que les termes d'une série $p$, c'est-à-dire $ <1over n^2ln n>Exemple 13.5 .2 Est-ce que $dssum_^infty <|sin n|over n^2>$ convergent ?

On ne peut pas appliquer ici le test intégral, car les termes de cette série ne sont pas décroissants. Comme dans l'exemple précédent, cependant, $ <|sin n|over n^2>le <1over n^2>,$ car $|sin n|le 1$. Encore une fois les sommes partielles sont non décroissantes et bornées au dessus par $ds sum 1/n^2=L$, donc la nouvelle série converge.

Comme le test intégral, le test de comparaison peut être utilisé pour montrer à la fois la convergence et la divergence. Dans le cas du test intégral, un seul calcul confirmera quel que soit le cas. Pour utiliser le test de comparaison, nous devons d'abord avoir une bonne idée de la convergence ou de la divergence et choisir la séquence de comparaison en conséquence.

Exemple 13.5.3 Est-ce que $dssum_^infty <1oversqrt>$ convergent ?

Nous observons que le $-3$ devrait avoir peu d'effet par rapport au $ds n^2$ à l'intérieur de la racine carrée, et supposons donc que les termes sont suffisants comme $ds 1/sqrt=1/n$ que la série devrait diverger. Nous essayons de le montrer par comparaison avec la série harmonique. On note que $<1oversqrt> > <1sursqrt> = <1over n>,$ de sorte que $ s_n=<1oversqrt<2^2-3>>+<1oversqrt<3^2-3>>+cdots+ <1 sursqrt> > <1over 2>+ <1over3>+cdots+<1over n>=t_n, $ où $ds t_n$ est 1 de moins que la somme partielle correspondante de la série harmonique (car on commence à $n=2$ au lieu de $n=1$). Depuis $dslim_t_n=infty$, $dslim_s_n=infty$ aussi.

Donc l'approche générale est la suivante : si vous pensez qu'une nouvelle série est convergente, essayez de trouver une série convergente dont les termes sont plus grands que les termes de la nouvelle série si vous pensez qu'une nouvelle série est divergente, essayez de trouver une série divergente dont les termes sont plus petits que les termes de la nouvelle série.

Exemple 13.5.4 Est-ce que $dssum_^infty <1oversqrt>$ convergent ?

Tout comme dans le dernier exemple, nous supposons que cela ressemble beaucoup à la série harmonique et donc diverge. Malheureusement, $<1oversqrt> <1sursqrt> = <1over2n>,$ donc si $sum 1/(2n)$ diverge alors la série donnée diverge. Mais puisque $sum 1/(2n)=(1/2)sum 1/n$, le théorème 13.2.2 implique qu'il diverge bien.

Pour référence, nous résumons le test de comparaison dans un théorème.

Théorème 13.5.5 Supposons que $ds a_n$ et $ds b_n$ soient non négatifs pour tout $n$ et que $ds a_nle b_n$ quand $nge N$, pour quelque $N$.

Si $dssum_^infty b_n$ converge, ainsi que $dssum_^infty a_n$.

Si $dssum_^infty a_n$ diverge, ainsi que $dssum_^infty b_n$.


Évaluation des fonctions avec leurs dérivés

Cette section est plus facile que la section graphique précédente. On nous donne les fonctions et leurs dérivées. Maintenant, nous venons de brancher!

f(2)=3 f'(0)=0 f'(2)=1 g(2)=0 g'(2) = 3 g'(3) = -2

Évaluer h'(2)

  • Formule de règle de chaîne : $dfrac$ [f(g(x))] = f'(g(x)) $ imes$ g'(x)
  • De manière équivalente, h'(x) = f'(g(x)) $ imes$ g'(x) ici
      • h'(2) = f'(g(2)) $fois$ g'(2)
      • h'(2) = f'(0) $fois$ g'(2)
      • h'(2) = (0) $fois$ (3)
      • h'(2) = 0

      Évaluer k'(2)

      • Formule de règle de chaîne : $dfrac$ [f(g(x))] = f'(g(x)) $ imes$ g'(x)
      • De manière équivalente, k'(x) = g ‘(f(x)) $ imes$ f'(x) ici
          • k'(2) = g'(f(2)) $fois$ f'(2)
          • k'(2) = g'(3) $fois$ f'(2)
          • k'(2) = (-2) $fois$ (1)
          • k'(2) = -2

          13.5 : La règle de la chaîne pour les fonctions de plusieurs variables

          Jusqu'ici nous avons vu comment calculer la dérivée d'une fonction construite à partir d'autres fonctions par addition, soustraction, multiplication et division. Il existe une autre manière très importante de combiner des fonctions simples pour créer des fonctions plus compliquées : la composition de fonctions, comme discuté dans la section 2.3. Par exemple, considérons $ds sqrt<625-x^2>$. Cette fonction a de nombreux composants plus simples, comme 625 et $ds x^2$, puis il y a ce symbole de racine carrée, donc la fonction racine carrée $ds sqrt=x^<1/2>$ est impliqué. La question évidente est : pouvons-nous calculer la dérivée en utilisant les dérivées des constituants $ds 625-x^2$ et $ds sqrt$? Nous pouvons en effet. En général, si $f(x)$ et $g(x)$ sont des fonctions, on peut calculer les dérivées de $f(g(x))$ et $g(f(x))$ en fonction de $f '(x)$ et $g'(x)$.

          Exemple 3.5.1 Former les deux compositions possibles de $ds f(x)=sqrt$ et $ds g(x)=625-x^2$ et calculez les dérivées. Premièrement, $ds f(g(x))=sqrt<625-x^2>$, et la dérivée est $ds -x/sqrt<625-x^2>$ comme nous l'avons vu. Deuxièmement, $ds g(f(x))=625-(sqrt)^2=625-x$ avec dérivée $-1$. Bien sûr, ces calculs n'utilisent rien de nouveau, et en particulier la dérivée de $f(g(x))$ était quelque peu fastidieuse à calculer à partir de la définition.

          La règle de la chaîne a une expression particulièrement simple si nous utilisons la notation Leibniz pour la dérivée. La quantité $f'(g(x))$ est la dérivée de $f$ avec $x$ remplacé par $g$ cela peut s'écrire $df/dg$. Comme d'habitude, $g'(x)=dg/dx$. Ensuite, la règle de la chaîne devient $ = .$ Cela ressemble à de l'arithmétique triviale, mais ce n'en est pas : $dg/dx$ n'est pas une fraction, c'est-à-dire pas une division littérale, mais un symbole unique qui signifie $g'(x)$. Néanmoins, il s'avère que ce qui ressemble à de l'arithmétique triviale, et est donc facile à retenir, est vraiment vrai.

          Il faudra un peu de pratique pour que l'utilisation de la règle de chaîne vienne naturellement et c'est plus compliqué que les règles de différenciation précédentes que nous avons vues.

          Exemple 3.5.2 Calculer la dérivée de $ds sqrt<625-x^2>$. Nous savons déjà que la réponse est $ds -x/sqrt<625-x^2>$, calculé directement à partir de la limite. Dans le contexte de la règle de chaîne, nous avons $ds f(x)=sqrt$, $ds g(x)=625-x^2$. On sait que $ds f'(x)=(1/2)x^<-1/2>$, donc $ds f'(g(x))= (1/2)(625-x^ 2)^<-1/2>$. Notez qu'il s'agit d'un calcul en deux étapes : calculez d'abord $f'(x)$, puis remplacez $x$ par $g(x)$. Puisque $g'(x)=-2x$ nous avons $f'(g(x))g'(x)=<1over 2sqrt<625-x^2>>(-2x)=<- xover sqrt<625-x^2>>. $

          Exemple 3.5.3 Calculer la dérivée de $ds 1/sqrt<625-x^2>$. Il s'agit d'un quotient avec un numérateur constant, nous pourrions donc utiliser la règle du quotient, mais il est plus simple d'utiliser la règle de la chaîne. La fonction est $ds (625-x^2)^<-1/2>$, la composition de $ds f(x)=x^<-1/2>$ et $ds g(x) =625-x^2$. On calcule $ds f'(x)=(-1/2)x^<-3/2>$ en utilisant la règle de puissance, puis $f'(g(x))g'(x)=<- 1sur 2(625-x^2)^<3/2>>(-2x)=>. $

          En pratique, bien sûr, vous devrez utiliser plusieurs des règles que nous avons développées pour calculer la dérivée d'une fonction compliquée.

          Exemple 3.5.4 Calculer la dérivée de $f(x)=>.$ La "dernière" opération ici est la division, donc pour commencer, nous devons d'abord utiliser la règle du quotient. Cela donne $ eqalign< f'(x)&=<(x^2-1)'x carré-(x^2-1)(xsqrt)'over x^2(x^2+1)>cr &=<2x^2sqrt-(x^2-1)(xsqrt)'over x^2(x^2+1)>.cr >$ Nous devons maintenant calculer la dérivée de $ds xsqrt$. Il s'agit d'un produit, nous utilisons donc la règle du produit : $xsqrt=xsqrt+sqrt.$ Enfin, on utilise la règle de la chaîne : $sqrt=(x^2+1)^<1/2>= <1sur 2>(x^2+1)^<-1/2>(2x)=>.$ Et en rassemblant le tout : $ eqalign< f'(x)&=<2x^2sqrt-(x^2-1)(xsqrt)'sur x^2(x^2+1)>.cr &=<2x^2sqrt-(x^2-1)gauche(x>> +sqrt ight)over x^2(x^2+1)>.cr >$ Cela peut être simplifié bien sûr, mais nous avons fait tout le calcul, de sorte qu'il ne reste que l'algèbre.

          Exemple 3.5.5 Calculer la dérivée de $ds sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>$. Ici, nous avons une chaîne de compositions plus compliquée, nous utilisons donc deux fois la règle de la chaîne. Au niveau de la "couche" la plus externe, nous avons la fonction $ds g(x)=1+sqrt<1+sqrt>$ branché sur $ds f(x)=sqrt$, donc appliquer la règle de la chaîne une fois donne $sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>= <1sur 2>gauche(1+sqrt<1+sqrt>droit)^<-1/2> left(1+sqrt<1+sqrt> ight).$ Maintenant nous avons besoin de la dérivée de $ds sqrt<1+sqrt>$. En utilisant à nouveau la règle de chaîne : $sqrt<1+sqrt>=<1sur 2>gauche(1+sqrt ight)^<-1/2><1over 2>x^<-1/2>.$ Donc la dérivée originale est $ eqalign< sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>&= <1sur 2>gauche(1+sqrt<1+sqrt> ight)^ <-1/2><1over 2>left(1+sqrt ight)^<-1/2><1over 2>x^<-1/2>.cr &=<1over 8 sqrtsqrt<1+sqrt>sqrt<1+sqrt<1+sqrt>>> >$

          En utilisant la règle de la chaîne, la règle de la puissance et la règle du produit, il est possible d'éviter complètement d'utiliser la règle du quotient.


          Constantes multipliées

          Constantes multipliées ajouter une autre couche de complexité à la différenciation avec le règle de la chaîne. Les fonctions qui contiennent des constantes multipliées (telles que y= 9 cos &radicx où 𔄡” est la constante multipliée) n'ont pas besoin d'être différenciées à l'aide de la règle du produit. En fait, pour différencier les constantes multipliées, vous pouvez ignorer la constante pendant que vous différenciez.

          Exemple de problème : Différenciez y = 7 tan &radicx en utilisant la règle de la chaîne.

          Étape 1
          Différencier le fonction extérieure, en ignorant la constante. La fonction externe dans cet exemple est “tan.” (Remarque : laissez la fonction interne dans l'équation (&radicx) mais ignorez-la aussi pour le moment) La dérivée de tan x est sec 2 x, donc :
          D(tan &radicx) = sec 2 &radicx

          Étape 2 Différencier le fonction intérieure, lequel est
          &radicx.
          D(√x) = (1/2) X -½

          Étape 3 . Combiner les résultats de l'étape 1 (sec 2 &radicx) et de l'étape 2 ((½) X – ½ ).
          = (sec 2 &radicx) ((½) X – ½ ).

          Étape 4
          Ajoutez la constante que vous avez ramenée dans l'équation.
          7 (sec 2 &radicx) ((1/2) X – ½ ).

          Étape 5 Réécrivez l'équation et simplifiez, si possible.
          7 (sec 2 &radicx) ((½) X – ½ ) =
          7 (sec 2 &radicx) ((½) 1/X ½ ) =
          7 (sec 2 &radicx) / 2&radicx


          Ce que vous apprendrez dans plusieurs intégrales

          • Un exemple d'introduction
          • Intégrales doubles sur les régions générales
          • Volume d'un solide entre une surface et un rectangle
          • La double intégrale sur une région rectangulaire
          • Propriétés des intégrales doubles
          • Intégrales itérées sur des régions rectangulaires
          • Le théorème de Fubini pour les régions rectangulaires
          • Intégrales itérées sur des régions non rectangulaires
          • Rectangles polaires
          • Intégrales doubles sur rectangles polaires
          • Intégrales doubles sur les régions générales
          • Masse d'une lame
          • Moments et centre de masse d'une lame
          • Moments d'inertie
          • Rayon de giration d'une lame
          • Aire d'une surface
          • Aire des surfaces avec des équations
          • Triples intégrales sur une boîte rectangulaire
          • Intégrales triples sur les régions délimitées générales dans l'espace
          • Évaluation des triples intégrales sur les régions générales
          • Volume, masse, centre de masse et moments d'inertie
          • Intégrales triples en coordonnées cylindriques
          • Intégrales triples en coordonnées sphériques
          • Transformations
          • Changement de variables dans les intégrales doubles
          • Changement de variables dans les intégrales triples

          Description du chapitre

          Nous commençons ce cours par une introduction approfondie aux intégrales doubles. Cette approche ressemble étroitement à l'intégrale définie du calcul 1. Nous discutons ensuite des intégrales doubles sur des régions rectangulaires et travaillons sur plusieurs exemples. A la fin de cette première leçon, nous scrutons les propriétés de l'intégrale double.

          Comme nous l'avons vu dans la première leçon, l'évaluation des intégrales doubles peut être fastidieuse. Ainsi, dans la leçon suivante, nous étudions les intégrales itérées. Nous expliquons le théorème de Fubini pour les régions rectangulaires et non rectangulaires et démontrons quand ce théorème échoue.

          Les intégrales doubles en coordonnées polaires sont ensuite étudiées ainsi que quelques applications des intégrales doubles. Nous examinons la masse, les moments et le centre de masse, et le rayon de giration d'une lame. Nous appliquons également nos nouvelles connaissances des intégrales doubles à la recherche de surfaces, y compris paramétriquement.

          Ensuite, nous commençons à explorer les intégrales triples. Nous motivons leur sens, formalisons leur définition et travaillons à partir d'exemples.Nous généralisons le théorème de Fubini et reprenons certaines des applications concernant la lame, mais avec une variable supplémentaire. Nous discutons également des fonctions de densité de probabilité.

          Comme nous avons étudié les intégrales doubles en coordonnées polaires, nous apprenons maintenant les intégrales triples en coordonnées cylindriques et sphériques. Dans les deux cas, nous introduisons le système de coordonnées et travaillons ensuite sur plusieurs exemples. Dans la conclusion passionnante de ce cours, nous explorons la modification des variables d'intégration dans les intégrales multiples. Cette technique consiste à produire un système de coordonnées. Les stratégies et processus impliqués sont détaillés.


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          2 Standardisation des unités de mesure
          2.1 Normes
          3 Unités et systèmes
          3.1 Systèmes coutumiers impérial et américain
          3.2 Système métrique
          3.2.1 Système international d'unités
          3.2.1.1 Conversion des préfixes
          3.3 Longueur
          3.4 Quelques noms particuliers
          3.5 Métiers du bâtiment
          3.6 Métier de l'arpenteur
          3.7 Temps
          3.8 Messe
          3.9 Économie
          3.10 Recherche par sondage
          3.11 Désignation de l'exactitude
          4 difficultés
          5 Définitions et théories
          5.1 Définition classique
          5.2 Théorie des représentations
          5.3 Théorie de l'information
          5.4 Mécanique quantique
          5.5 Biologie
          6 Voir aussi
          7 références
          8 Liens externes
          Méthodologie
          La mesure d'une propriété peut être classée par les critères suivants : type, magnitude, unité et incertitude. [citation nécessaire] Ils permettent des comparaisons sans ambiguïté entre les mesures.

          Le niveau de mesure est une taxonomie du caractère méthodologique d'une comparaison. Par exemple, deux états d'une propriété peuvent être comparés par rapport, différence ou préférence ordinale. Le type n'est généralement pas explicitement exprimé, mais implicite dans la définition d'une procédure de mesure.
          La grandeur est la valeur numérique de la caractérisation, généralement obtenue avec un instrument de mesure convenablement choisi.
          Une unité attribue un facteur de pondération mathématique à l'amplitude qui est dérivée sous forme de rapport à la propriété d'un artefact utilisé comme standard ou d'une quantité physique naturelle.
          Une incertitude représente les erreurs aléatoires et systémiques de la procédure de mesure, elle indique un niveau de confiance dans la mesure. Les erreurs sont évaluées en répétant méthodiquement les mesures et en tenant compte de l'exactitude et de la précision de l'instrument de mesure.
          Standardisation des unités de mesure
          Les mesures utilisent le plus souvent le Système international d'unités (SI) comme cadre de comparaison. Le système définit sept unités fondamentales : kilogramme, mètre, candela, seconde, ampère, kelvin et mole. Six de ces unités sont définies sans référence à un objet physique particulier qui sert d'étalon (sans artefact), tandis que le kilogramme est toujours incarné dans un artefact qui repose au siège du Bureau international des poids et mesures à Sèvres près de Paris . Les définitions sans artefact fixent les mesures à une valeur exacte liée à une constante physique ou à d'autres phénomènes invariables dans la nature, contrairement aux artefacts standard qui sont sujets à la détérioration ou à la destruction. Au lieu de cela, l'unité de mesure ne peut jamais changer que grâce à une précision accrue dans la détermination de la valeur de la constante à laquelle elle est liée.

          Les sept unités de base du système SI. Les flèches pointent des unités vers celles qui en dépendent.
          La première proposition visant à lier une unité de base SI à une norme expérimentale indépendante du fiat a été faite par Charles Sanders Peirce (1839-1914),[4] qui a proposé de définir le mètre en termes de longueur d'onde d'une raie spectrale.[5] Cela a directement influencé l'expérience Michelson-Morle y Michelson et Morley citent Peirce et améliorent sa méthode.[6]

          Normes
          À l'exception de quelques constantes quantiques fondamentales, les unités de mesure sont dérivées d'accords historiques. Rien d'inhérent à la nature n'impose qu'un pouce doit avoir une certaine longueur, ni qu'un mile est une meilleure mesure de distance qu'un kilomètre. Au cours de l'histoire humaine, cependant, d'abord par commodité puis par nécessité, les normes de mesure ont évolué afin que les communautés aient certains points de repère communs. Les lois réglementant la mesure ont été élaborées à l'origine pour empêcher la fraude dans le commerce.

          Les unités de mesure sont généralement définies sur une base scientifique, supervisées par des agences gouvernementales ou indépendantes, et établies dans des traités internationaux, au premier rang desquels la Conférence générale des poids et mesures (CGPM), établie en 1875 par la Convention du Mètre, supervisant le Système international d'unités (SI). Par exemple, le mètre a été redéfini en 1983 par la CGPM en termes de vitesse de la lumière, le kilogramme a été redéfini en 2019 en termes de constante de Planck et le chantier international a été défini en 1960 par les gouvernements des États-Unis, du Royaume-Uni , l'Australie et l'Afrique du Sud comme étant exactement de 0,9144 mètres.

          Aux États-Unis, le National Institute of Standards and Technology (NIST), une division du département américain du Commerce, réglemente les mesures commerciales. Au Royaume-Uni, le rôle est assuré par le National Physical Laboratory (NPL), en Australie par le National Measurement Institute[7], en Afrique du Sud par le Council for Scientific and Industrial Research et en Inde par le National Physical Laboratory of India.

          Unités et systèmes
          Articles principaux: Unité de mesure et Système de mesure

          Un biberon qui mesure dans trois systèmes de mesure : métrique, impérial (Royaume-Uni) et usuel des États-Unis.

          Quatre appareils de mesure ayant des étalonnages métriques
          Systèmes coutumiers impérial et américain
          Article principal: systèmes de mesure coutumiers impériaux et américains
          Avant que les unités SI ne soient largement adoptées dans le monde, les systèmes britanniques d'unités anglaises et plus tard d'unités impériales étaient utilisés en Grande-Bretagne, dans le Commonwealth et aux États-Unis. Le système est devenu connu sous le nom d'unités coutumières américaines aux États-Unis et est toujours utilisé là-bas et dans quelques pays des Caraïbes. Ces divers systèmes de mesure ont parfois été appelés systèmes pied-livre-seconde après les unités impériales pour la longueur, le poids et le temps, même si les tonnes, les quintaux, les gallons et les milles marins, par exemple, sont différents pour les unités américaines. De nombreuses unités impériales restent utilisées en Grande-Bretagne, qui est officiellement passée au système SI, à quelques exceptions près telles que les panneaux de signalisation, qui sont toujours en miles. La bière pression et le cidre doivent être vendus à la pinte impériale, et le lait en bouteilles consignées peut être vendu à la pinte impériale. De nombreuses personnes mesurent leur taille en pieds et en pouces et leur poids en pierres et en livres, pour ne donner que quelques exemples. Les unités impériales sont utilisées dans de nombreux autres endroits, par exemple, dans de nombreux pays du Commonwealth considérés comme métriques, la superficie est mesurée en acres et la surface au sol en pieds carrés, en particulier pour les transactions commerciales (plutôt que les statistiques gouvernementales). De même, l'essence est vendue au gallon dans de nombreux pays qui sont considérés comme métriques.

          Système métrique
          Le système métrique est un système décimal de mesure basé sur ses unités de longueur, le mètre et de masse, le kilogramme. Il existe en plusieurs variantes, avec différents choix d'unités de base, bien que ceux-ci n'affectent pas son utilisation quotidienne. Depuis les années 1960, le Système international d'unités (SI) est le système métrique internationalement reconnu. Les unités métriques de masse, de longueur et d'électricité sont largement utilisées dans le monde à des fins quotidiennes et scientifiques.

          Système international d'unités
          Le système international d'unités (abrégé en SI du nom français Système international d'unités) est la révision moderne du système métrique. C'est le système d'unités le plus utilisé au monde, à la fois dans le commerce quotidien et dans la science. Le SI a été développé en 1960 à partir du système mètre-kilogramme-seconde (MKS), plutôt que du système centimètre-gramme-seconde (CGS), qui, à son tour, comportait de nombreuses variantes. Les unités SI pour les sept grandeurs physiques de base sont :[8]

          Grandeur de base Unité de base Symbole Constante de définition
          temps seconde s fractionnement hyperfin dans le césium-133
          longueur mètre m vitesse de la lumière, c
          masse kilogramme kg constante de Planck, h
          courant électrique ampère A charge élémentaire, e
          température Kelvin K Constante de Boltzmann, k
          quantité de substance mole mol constante d'Avogadro NA
          intensité lumineuse candela cd efficacité lumineuse d'une source 540 THz Kcd
          Dans le SI, les unités de base sont les mesures simples du temps, de la longueur, de la masse, de la température, de la quantité de substance, du courant électrique et de l'intensité lumineuse. Les unités dérivées sont construites à partir des unités de base, par exemple, le watt, c'est-à-dire l'unité de puissance, est défini à partir des unités de base comme m2·kg·s-3. D'autres propriétés physiques peuvent être mesurées en unités composées, telles que la densité du matériau, mesurée en kg/m3.

          Conversion des préfixes
          Le SI permet une multiplication facile lors de la commutation entre des unités ayant la même base mais des préfixes différents. Pour convertir des mètres en centimètres, il suffit de multiplier le nombre de mètres par 100, car il y a 100 centimètres dans un mètre. Inversement, pour passer des centimètres aux mètres on multiplie le nombre de centimètres par 0,01 ou divise le nombre de centimètres par 100.

          Une règle de charpentier de 2 mètres
          Voir aussi : Liste des appareils de mesure de longueur, de distance ou de distance
          Une règle ou une règle est un outil utilisé, par exemple, en géométrie, en dessin technique, en ingénierie et en menuiserie, pour mesurer des longueurs ou des distances ou pour tracer des lignes droites. À proprement parler, la règle est l'instrument utilisé pour régler les lignes droites et l'instrument calibré utilisé pour déterminer la longueur s'appelle une mesure. L'utilisation du mot mesure, au sens d'instrument de mesure, ne survit que dans l'expression ruban à mesurer, un instrument qui peut être utilisé pour mesurer mais ne peut pas être utilisé pour tracer des lignes droites. Comme on peut le voir sur les photographies de cette page, une règle de menuisier de deux mètres peut être repliée à une longueur de seulement 20 centimètres, pour se glisser facilement dans une poche, et un ruban à mesurer de cinq mètres de long se rétracte facilement pour tenir dans un petit boîtier.

          Quelques noms particuliers
          Certains noms non systématiques sont appliqués pour certains multiples de certaines unités.

          100 kilogrammes = 1 quintal 1000 kilogrammes = 1 tonne métrique
          10 ans = 1 décennie 100 ans = 1 siècle 1000 ans = 1 millénaire
          Métiers du bâtiment
          Les métiers du bâtiment australiens ont adopté le système métrique en 1966 et les unités utilisées pour mesurer la longueur sont les mètres (m) et les millimètres (mm). Les centimètres (cm) sont évités car ils sont source de confusion lors de la lecture des plans. Par exemple, la longueur de deux mètres et demi est généralement enregistrée comme 2500 mm ou 2,5 m, il serait considéré comme non standard d'enregistrer cette longueur comme 250 cm.[9][10]

          Métier d'arpenteur
          Les géomètres américains utilisent un système de mesure basé sur la décimale conçu par Edmund Gunter en 1620. L'unité de base est la chaîne Gunter de 66 pieds (20 m) qui est subdivisée en 4 tiges, chacune de 16,5 pieds ou 100 maillons de 0,66 pieds. Un lien est abrégé "lk", et lie "lks", dans les anciens actes et arpentages effectués pour le gouvernement.

          La méthode standard de mesure (SMM) publiée par la Royal Institution of Chartered Surveyors (RICS) consistait en des tableaux de classification et des règles de mesure, permettant l'utilisation d'une base uniforme pour mesurer les travaux de construction. Il a été publié pour la première fois en 1922, remplaçant une méthode standard écossaise de mesure qui avait été publiée en 1915. Sa septième édition (SMM7) a été publiée pour la première fois en 1988 et révisée en 1998. SMM7 a été remplacée par les nouvelles règles de mesure, volume 2 ( NRM2), qui ont été publiés en avril 2012 par le RICS Quantity Surveying and Construction Professional Group et sont devenus opérationnels le 1er janvier 2013.[11] NRM2 est d'usage général depuis juillet 2013.

          Le SMM7 était accompagné du Code de Procédure pour le Mesurage des Travaux de Construction (le Code de Mesurage SMM7). Alors que SMM7 pouvait avoir un statut contractuel au sein d'un projet, par exemple dans le formulaire standard JCT de contrat de construction), le code de mesure n'était pas obligatoire.[12]

          NRM2 est le deuxième des trois composants de la suite NRM :

          NRM1 - Ordre d'estimation et de planification des coûts des travaux d'immobilisations
          NRM2 - Mesurage détaillé pour les travaux de construction
          NRM3 - Ordre d'estimation et de planification des coûts des travaux d'entretien des bâtiments.[13]
          Temps
          Article principal : Temps
          Le temps est une mesure abstraite des changements élémentaires sur un continu non spatial. Il est indiqué par des nombres et/ou des périodes nommées telles que des heures, des jours, des semaines, des mois et des années. Il s'agit d'une série d'occurrences apparemment irréversibles à l'intérieur de ce continuum non spatial. Il est également utilisé pour désigner un intervalle entre deux points relatifs sur ce continuum.

          Masse
          Article principal: Balance de pesée
          La masse fait référence à la propriété intrinsèque de tous les objets matériels de résister aux changements de leur quantité de mouvement. Le poids, quant à lui, fait référence à la force descendante produite lorsqu'une masse est dans un champ gravitationnel. En chute libre, (pas de forces gravitationnelles nettes) les objets manquent de poids mais conservent leur masse. Les unités impériales de masse comprennent l'once, la livre et la tonne. Les unités métriques gramme et kilogramme sont des unités de masse.

          Un appareil pour mesurer le poids ou la masse s'appelle une balance ou, souvent, simplement une balance. Une balance à ressort mesure la force mais pas la masse, une balance compare le poids, les deux nécessitent un champ gravitationnel pour fonctionner. Certains des instruments les plus précis pour mesurer le poids ou la masse sont basés sur des cellules de charge à affichage numérique, mais nécessitent un champ gravitationnel pour fonctionner et ne fonctionneraient pas en chute libre.

          Économie
          Article détaillé : La mesure en économie
          Les mesures utilisées en économie sont des mesures physiques, des mesures de prix nominaux et des mesures de prix réels. Ces mesures diffèrent les unes des autres par les variables qu'elles mesurent et par les variables exclues des mesures.

          Recherche par sondage
          Article détaillé : Méthodologie d'enquête
          Dans le domaine de la recherche par sondage, les mesures sont prises à partir des attitudes, des valeurs et des comportements individuels en utilisant des questionnaires comme instrument de mesure. Comme toutes les autres mesures, la mesure dans la recherche par sondage est également vulnérable aux erreurs de mesure, c'est-à-dire l'écart par rapport à la valeur réelle de la mesure et à la valeur fournie à l'aide de l'instrument de mesure.[14] Dans les enquêtes de fond, l'erreur de mesure peut conduire à des conclusions biaisées et à des effets mal estimés. Afin d'obtenir des résultats précis, lorsque des erreurs de mesure apparaissent, les résultats doivent être corrigés pour les erreurs de mesure.

          Désignation de l'exactitude
          Les règles suivantes s'appliquent généralement pour afficher l'exactitude des mesures :[1 5]

          Tous les chiffres non 0 et tous les 0 apparaissant entre eux sont significatifs pour l'exactitude de tout nombre. Par exemple, le nombre 12000 a deux chiffres significatifs et a des limites implicites de 11500 et 12500.
          Des 0 supplémentaires peuvent être ajoutés après un séparateur décimal pour indiquer une plus grande exactitude, augmentant le nombre de décimales. Par exemple, 1 a des limites implicites de 0,5 et 1,5 alors que 1,0 a des limites implicites de 0,95 et 1,05.
          Des difficultés

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          Etant donné qu'une mesure précise est essentielle dans de nombreux domaines, et que toutes les mesures sont nécessairement des approximations, beaucoup d'efforts doivent être déployés pour rendre les mesures aussi précises que possible. Par exemple, considérons le problème de mesurer le temps qu'il faut à un objet pour tomber d'une distance d'un mètre (environ 39 pouces). À l'aide de la physique, on peut montrer que, dans le champ gravitationnel de la Terre, un objet devrait mettre environ 0,45 seconde pour tomber d'un mètre. Cependant, voici quelques-unes des sources d'erreur qui surviennent :

          Ce calcul utilisé pour l'accélération de la gravité 9,8 mètres par seconde au carré (32 pi/s2). Mais cette mesure n'est pas exacte, mais seulement précise à deux chiffres significatifs.
          Le champ gravitationnel de la Terre varie légèrement en fonction de la hauteur au-dessus du niveau de la mer et d'autres facteurs.
          Le calcul de 0,45 seconde impliquait l'extraction d'une racine carrée, une opération mathématique qui nécessitait d'arrondir à un certain nombre de chiffres significatifs, en l'occurrence deux chiffres significatifs.
          De plus, d'autres sources d'erreur expérimentale incluent :

          négligence,
          détermination de l'heure exacte à laquelle l'objet est lâché et l'heure exacte à laquelle il touche le sol,
          la mesure de la hauteur et la mesure du temps impliquent toutes deux une erreur,
          Résistance à l'air.
          posture des participants humains[16 ]
          Les expériences scientifiques doivent être menées avec le plus grand soin pour éliminer autant d'erreurs que possible et pour que les estimations d'erreurs restent réalistes.

          Définitions et théories
          Définition classique
          Dans la définition classique, qui est standard dans toutes les sciences physiques, la mesure est la détermination ou l'estimation de rapports de quantités.[17] La quantité et la mesure se définissent mutuellement : les attributs quantitatifs sont ceux qu'il est possible de mesurer, du moins en principe. Le concept classique de quantité remonte à John Wallis et Isaac Newton, et a été préfiguré dans Euclid's Elements.[17]

          Théorie des représentations
          Dans la théorie des représentations, la mesure est définie comme « la corrélation des nombres avec des entités qui ne sont pas des nombres »[18]. La forme la plus élaborée techniquement de la théorie des représentations est également connue sous le nom de mesure conjointe additive. Dans cette forme de théorie des représentations, les nombres sont attribués sur la base de correspondances ou de similitudes entre la structure des systèmes numériques et la structure des systèmes qualitatifs. Une propriété est quantitative si de telles similitudes structurelles peuvent être établies. Dans les formes plus faibles de la théorie des représentations, comme celle implicite dans les travaux de Stanley Smith Stevens[19], les nombres n'ont besoin d'être attribués que selon une règle.

          Le concept de mesure est souvent mal compris comme étant simplement l'attribution d'une valeur, mais il est possible d'attribuer une valeur d'une manière qui n'est pas une mesure en termes d'exigences de mesure conjointe additive. On peut attribuer une valeur à la taille d'une personne, mais à moins qu'il ne puisse être établi qu'il existe une corrélation entre les mesures de la taille et les relations empiriques, il ne s'agit pas d'une mesure selon la théorie de la mesure conjointe additive. De même, calculer et attribuer des valeurs arbitraires, comme la "valeur comptable" d'un actif en comptabilité, n'est pas une mesure car elle ne satisfait pas aux critères nécessaires.

          Trois types de théorie de la représentation

          En science, une relation empirique est une relation ou une corrélation basée uniquement sur l'observation plutôt que sur la théorie. Une relation empirique ne nécessite que des données de confirmation indépendamment de la base théorique

          Le monde réel est le domaine de la cartographie, et le monde mathématique est la plage. lorsque nous mappons l'attribut au système mathématique, nous avons beaucoup de choix pour la cartographie et la plage

          3) La condition de représentation de la mesure

          Théorie de l'information
          La théorie de l'information reconnaît que toutes les données sont inexactes et de nature statistique. Ainsi, la définition de la mesure est : "Un ensemble d'observations qui réduisent l'incertitude où le résultat est exprimé sous forme de quantité." [20] Cette définition est implicite dans ce que les scientifiques font réellement lorsqu'ils mesurent quelque chose et rapportent à la fois la moyenne et les statistiques des mesures. . En termes pratiques, on commence par une estimation initiale de la valeur attendue d'une quantité, puis, à l'aide de diverses méthodes et instruments, on réduit l'incertitude de la valeur. Notez que dans cette vue, contrairement à la théorie des représentations positivistes, toutes les mesures sont incertaines, donc au lieu d'attribuer une valeur, une plage de valeurs est attribuée à une mesure. Cela implique également qu'il n'y a pas de distinction claire ou nette entre l'estimation et la mesure.

          Mécanique quantique
          En mécanique quantique, une mesure est une action qui détermine une propriété particulière (position, quantité de mouvement, énergie, etc.) d'un système quantique. Avant qu'une mesure ne soit effectuée, un système quantique est décrit simultanément par toutes les valeurs dans une plage de valeurs possibles, où la probabilité de mesurer chaque valeur est déterminée par la fonction d'onde du système. Lorsqu'une mesure est effectuée, la fonction d'onde du système quantique "s'effondre" en une seule valeur définie.[21] La signification sans ambiguïté du problème de mesure est un problème fondamental non résolu en mécanique quantique. [citation nécessaire]

          La biologie
          En biologie, il n'y a pas de théorie bien établie de la mesure. Cependant, l'importance du contexte théorique est soulignée.[22] De plus, le contexte théorique issu de la théorie de l'évolution conduit à articuler la théorie de la mesure et l'historicité comme notion fondamentale.[23]


          Voir la vidéo: Derivaatta laskinohjelmistolla (Décembre 2021).