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1.2.E : Problèmes sur les relations et les correspondances (exercices) - Mathématiques


Exercice (PageIndex{1})

Pour les relations spécifiées dans le problème 7 du §§1-3, trouver (D_{R}, D_{R}^{prime},) et (R^{-1}). Trouvez également (R[A]) et (R^{-1}[A]) si
[
egin{array}{ll}{ ext { (a) } A=left{frac{1}{2} ight} ;} & { ext { (b) } A={1 }} { ext { (c) } A={0} ;} & { ext { (d) } A=emptyset ext { ; }} { exte { (e) } A={0,3,-15} ;} & { ext { (f) } A={3,4,7,0,-1, 6}} { ext { (g) } A={x |-20]

Exercice (PageIndex{2})

Démontrer que si (A subseteq B) , alors (R[A] subseteq R[B] .) Infirmer la réciproque par un contre-exemple.

Exercice (PageIndex{3})

Prouve-le
(i) (R[A cup B]=R[A] cup R[B]);
(ii) (R[A cap B] subseteq R[A] cap R[B]);
(iii) (R[A-B] supseteq R[A]-R[B]).
Réfutez les inclusions inverses dans (ii) et (iii) par des exemples. Faites (i) et (ii) avec (A, B) remplacé par une famille d'ensembles arbitraire (left{A_{i} | i in I ight}).

Exercice (PageIndex{4})

Dans quelles conditions les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
[
egin{array}{cc} ext{(i) } R[x] = emptyset ; & ext{(ii) } R^{-1}[x] = emptyset ; ext{(iii) } R[A] = emptyset ; & ext{(iv) } R^{-1}[A] = emptyset ; end{tableau}
]

Exercice (PageIndex{5})

Soit (f : N ightarrow N(N={ ext { naturals }}) .) Pour chacune des fonctions suivantes, spécifiez (f[N],) ie, (D_{f} ^{prime},) et déterminer si (f) est un à un et sur (N,) étant donné que pour tout (x in N),
[
egin{array}{ll}{ ext { (i) } f(x)=x^{3} ;} & { ext { (ii) } f(x)=1 ; quad ext { (iii) } f(x)=|x|+3} { ext { (iv) } f(x)=x^{2} ;} & {(mathrm{v} ) f(x)=4 x+5}end{tableau}
]
Faites tout cela aussi si (N) dénote
(a) l'ensemble de tous les nombres entiers ;
(b) l'ensemble de tous les réels.

Exercice (PageIndex{6})

Démontrer que pour tout mappage (f) et tout ensemble (A, B, A_{i}(i in I)),
(a) (f^{-1}[A cup B]=f^{-1}[A] cup f^{-1}[B]);
(b) (f^{-1}[A cap B]=f^{-1}[A] cap f^{-1}[B]);
(c) (f^{-1}[A-B]=f^{-1}[A]-f^{-1}[B]);
(d) (f^{-1}left[igcup_{i} A_{i} ight]=igcup_{i} f^{-1}left[A_{i} ight]) ;
(e) (f^{-1}left[igcap_{i} A_{i} ight]=igcap_{i} f^{-1}left[A_{i} ight]) .
Comparez avec le problème 3.
[Indice : vérifiez d'abord que (x in f^{-1}[A]) ssi (x in D_{f}) et (f(x) in A . ])

Exercice (PageIndex{7})

Soit (f) une application. Prouve-le
(a) (fgauche[f^{-1}[A]droit] subseteq A);
(b) (fleft[f^{-1}[A] ight]=A) si (A subseteq D_{f}^{prime});
(c) si (A subseteq D_{f}) et (f) est un à un, (A=f^{-1}[f[A]])/
Is (f[A] cap B subseteq fleft[A cap f^{-1}[B] ight] ?)

Exercice (PageIndex{8})

Est-ce que (R) est une relation d'équivalence sur l'ensemble (J) de tous les entiers, et, si oui, quelles sont les (R) -classes, si
(a) (R={(x, y) | x-y ext { est divisible par un } n} fixe);
(b) (R={(x, y) | x-y ext { est impair }});
(c) (R={(x, y) | x-y ext { est un nombre premier }}).
((x, y, n ext { désignent des entiers.) })

Exercice (PageIndex{9})

Une relation du problème 7 des §§1-3 est-elle réflexive ? Symétrique? Transitif?

10. Montrer par des exemples que (R) peut être
(a) réflexif et symétrique, sans être transitif ;
(b) réflexif et transitif sans être symétrique.
La symétrie plus la transitivité impliquent-elles la réflexivité ? Donnez une preuve ou un contre-exemple.


Mathématiques Mathématiques pré-calcul au Nebraska

Le système de coordonnées rectangulaires se compose de deux droites de nombres réels qui se coupent à angle droit. La droite numérique horizontale s'appelle le , et la droite numérique verticale s'appelle le . Ces deux droites numériques définissent une surface plane appelée plan, et chaque point de ce plan est associé à un des nombres réels ((x, y) ext<.>) Le premier nombre est appelé le , et le second nombre s'appelle le . L'intersection des deux axes est connue sous le nom de , qui correspond au point ((0, 0) ext<.>)

Les axes (x) et (y) divisent le plan en quatre régions appelées , nommées à l'aide de chiffres romains I, II, III et IV, comme illustré. La paire ordonnée ((x, y)) représente la position des points par rapport à l'origine. Par exemple, la paire ordonnée ((-4, 3)) représente la position (4) unités à gauche de l'origine, et (3) unités au-dessus dans le deuxième quadrant.

Ensuite, nous définissons a comme tout ensemble de paires ordonnées, de graphiques, de correspondances, de tableaux ou d'équations. Dans le contexte de l'algèbre, les relations d'intérêt sont des ensembles de paires ordonnées ((x, y)) dans le plan de coordonnées rectangulaire. En règle générale, les coordonnées sont liées par une règle exprimée à l'aide d'une équation algébrique (mais peuvent également être liées via des tableaux, des graphiques ou des diagrammes).

Par exemple, considérons la fonction valeur absolue, notée (|a| ext<.>) Cette fonction prend une entrée (a) et nous indique sa distance par rapport à zéro. Par exemple, (|5|=5 ext<,>) (|-7|=7 ext<,>) et (|-112|=112 ext<.>) considérons les équations algébriques (y=|x|-2) et (x=|y|+1 ext<.>) Ces deux équations définissent des relations entre (x) et (y) impliquant les valeurs absolues. Voici quelques nombres entiers qui satisfont les deux équations :

Ici, deux relations constituées de sept solutions de paires ordonnées sont obtenues :

Nous pouvons afficher visuellement n'importe quelle relation de ce type sur un plan de coordonnées en traçant les points, ou les paires ordonnées.

Les ensembles de solutions de chaque équation formeront une relation constituée d'un nombre infini de paires ordonnées. Nous pouvons utiliser les solutions de paires ordonnées données pour estimer toutes les autres paires ordonnées en traçant une ligne passant par les points donnés. Ici, nous mettons une flèche aux extrémités de nos lignes pour indiquer que cet ensemble de paires ordonnées continue sans limites.

La représentation d'une relation sur un plan de coordonnées rectangulaire, comme illustré ci-dessus, est appelée a . Toute courbe tracée sur un plan de coordonnées rectangulaire représente un ensemble de paires ordonnées et définit ainsi une relation.

L'ensemble constitué de tous les premiers composants d'une relation, dans ce cas les valeurs (x), est appelé le . Et l'ensemble constitué de toutes les secondes composantes d'une relation, dans ce cas les valeurs (y), est appelé le (ou codomaine). Souvent, nous pouvons déterminer le domaine et l'étendue d'une relation si on nous donne son graphique.

Ici, nous pouvons voir que le graphe de (y=|x|-2) a un domaine composé de tous les nombres réels, (mathbb=(-infty,infty) ext<,>) et une plage de toutes les valeurs (y) supérieures ou égales à (-2 ext<,>) ([-2, infty) ext<.>) Le domaine du graphe de (x=|y|+1) se compose de toutes les (x)-valeurs supérieures ou égales à (1 ext<,> ) ([1,infty) ext<,>) et la plage se compose de tous les nombres réels, (mathbb=(-infty,infty) exte<.>)

Exemple 58

Déterminer le domaine et l'étendue de la relation suivante.

La valeur minimale (x) représentée sur le graphique est (-8) et toutes les autres sont plus grandes. Par conséquent, le domaine se compose de toutes les valeurs (x) dans l'intervalle ([-8,infty) ext<.>) La valeur (y) minimale représentée sur le graphique est (0 ) donc la plage est ([0,infty) ext<.>)

Le domaine est donné par ([-8,infty)) et la plage est ([0,infty) ext<.>)

Fonctions de sous-section

Les relations où chaque valeur (x) correspond à exactement une valeur (y) sont particulièrement intéressantes. Une relation avec cette propriété est appelée a .

Exemple 59

Déterminez le domaine et l'étendue de la relation suivante et indiquez s'il s'agit d'une fonction ou non : (lbrace (-1,4),(0,7),(2,3),(3,3),(4 ,-2) brace exte<.>)

Ici, nous séparons le domaine (valeurs (x)) et la plage (valeurs (y)), et décrivons la correspondance entre les valeurs avec des flèches.

La relation est une fonction car chaque valeur (x) correspond à exactement une valeur (y). Le domaine est (<-1, 0, 2, 3, 4>) et la plage est (<-2, 3, 4, 7> ext<.>)

Exemple 60

Déterminez le domaine et l'étendue de la relation suivante et indiquez s'il s'agit d'une fonction ou non : (lbrace (-4,-3),(-2,6),(0,3),(3,5), (3,7) brace exte<.>)

La relation n'est pas une fonction car la valeur (x) (3) correspond à deux valeurs (y). Nous pouvons également reconnaître les fonctions comme des relations où aucune valeur (x) n'est répétée (en ignorant la redondance). Le domaine est (<-4, -2, 0, 3>) et la plage est (<-3, 3, 5, 6, 7> ext<.>)

Considérons les relations constituées des sept solutions de paires ordonnées à (y=|x|-2) et (x=|y|+1 ext<.>) La correspondance entre le domaine et l'étendue de chacune peut être illustré comme suit :

Notez que chaque élément dans le domaine de l'ensemble de solutions de (y=|x|-2) correspond à un seul élément dans la plage c'est une fonction. Les solutions à (x=|y|+1 ext<,>) d'autre part, ont des valeurs dans le domaine qui correspondent à deux éléments de la plage. En particulier, la valeur (x) (4) correspond à deux valeurs (y) (-3) et (3 ext<.>) Par conséquent, (x=| y|+1) ne définit pas de fonction.

Nous pouvons identifier visuellement les fonctions par leurs graphiques en utilisant le . Si une ligne verticale coupe le graphique plus d'une fois, le graphique ne représente pas une fonction.

La ligne verticale représente une valeur dans le domaine, et le nombre d'intersections avec le graphe représente le nombre de valeurs auxquelles elle correspond. Comme nous pouvons le voir, toute ligne verticale n'intersectera le graphique de (y=|x|-2) qu'une seule fois, c'est donc une fonction. Une ligne verticale peut traverser le graphique de (x=|y|+1) plus d'une fois, ce n'est donc pas une fonction. Comme illustré, la valeur (x) (3) correspond à plusieurs valeurs (y).

Exemple 61

Étant donné le graphique, indiquez le domaine et la plage et déterminez s'il représente ou non une fonction :

D'après le graphique, nous pouvons voir que la valeur minimale (x) est (-1) et la valeur maximale (x) est (5 ext<.>) Par conséquent, le domaine se compose de tous les nombres réels de l'ensemble de ([-1,5] ext<.>) La valeur maximale (y) est (3) et la valeur minimale est (-3 ext<, >) donc la plage se compose de (y)-valeurs dans l'intervalle ([-3,3] ext<.>)

De plus, comme nous pouvons trouver une ligne verticale qui coupe le graphique plus d'une fois, nous concluons que le graphique n'est pas une fonction. Il existe de nombreuses valeurs (x) dans le domaine qui correspondent à deux valeurs (y).

Le domaine, en notation par intervalles, est ([-1,5]) et la plage est ([-3,3] ext<.>) La relation n'est pas une fonction.

Exercice 62

Étant donné le graphique, indiquez le domaine et la plage et déterminez s'il représente ou non une fonction :

Le domaine, en notation par intervalles, est ([-4,infty)) et la plage est (mathbb=(-infty,infty) ext<.>) La relation n'est pas une fonction.

Sous-section Fonction Notation

Avec la définition d'une fonction vient une notation spéciale. Si nous considérons que chaque valeur x est l'entrée qui produit exactement une sortie, alors nous pouvons utiliser :

La notation (f(x)) se lit comme (f) de (x) et ne doit pas être confondue avec la multiplication. L'algèbre implique fréquemment des fonctions, et la notation devient donc utile lors de l'exécution de tâches courantes. Ici (f) est le nom de la fonction et (f(x)) désigne la valeur dans la plage associée à la valeur (x) dans le domaine. Les fonctions sont souvent nommées avec des lettres différentes. Certains noms communs pour les fonctions sont (f, g, h, C ext<,>) et (R ext<.>) Nous avons déterminé que l'ensemble des solutions de (y=|x|-2) est une fonction donc, en utilisant la notation de fonction, nous pouvons écrire (alert=|x|-2) au lieu de (y=|x|-2 ext<.>)

Il est important de noter que (y) et (f(x)) sont utilisés de manière interchangeable. Cette notation est utilisée comme suit :

Ici, la notation compacte (f(-5)=3) indique que là où (x=-5) (l'entrée), la fonction aboutit à (y=3) (la sortie). En d'autres termes, remplacez la variable par la valeur donnée entre parenthèses.

D'en haut, nous pouvons voir que notre sortie dépend de notre entrée. Une autre façon de définir cela est d'appeler notre entrée (x) le et notre sortie (y) le . En effet, ci-dessus, la sortie de notre fonction était dépendant sur ce qu'était l'entrée - quand nous avons mis (-5 ext<,>) nous avons obtenu la réponse (3 ext<.>)

Exemple 63

Considérons la fonction (M=53+14t) où (M) représente les kilomètres de chez elle sur le trajet à vélo de Gabby en fonction de (t ext<,>) le nombre d'heures depuis que Gabby a quitté son bureau. Quelle est la variable indépendante et quelle est la variable dépendante ?

Lors de la traduction de problèmes de mots en équations, il peut être utile de se rappeler que l'expression "une fonction de", nous indique que notre entrée, ou variable indépendante est le temps (t exte<.>)

La variable indépendante est (t ext<,>) et la variable dépendante est (M ext<.>)

La notation fonctionnelle simplifie la tâche d'évaluation. Par exemple, utilisez la fonction (h) définie par (h(x)=frac<1><2>x-3) pour évaluer les valeurs (x) dans l'ensemble (<- 2,0,7> exte<.>)

Étant donné toute fonction définie par (h(x)=y), l'entrée (x) peut être n'importe quelle expression algébrique. Par exemple:

Exemple 64

Étant donné (g(x)=x^2 ext<,>) find (g(-2), gleft(frac<1><2> ight) ext<,>) et (g(x+h) exte<.>)

Lors de l'évaluation, il est recommandé de commencer par remplacer les variables par des parenthèses, puis de substituer les valeurs appropriées. Cela aide à l'ordre des opérations lors de la simplification des expressions.

À ce stade, il est important de noter que, en général, (f(x+h) eq f(x)+f(h) ext<.>) L'exemple précédent, où (g(x )=x^2 ext<,>) illustre bien cela.

Exemple 65
Exemple 66

Étant donné le graphe de (g(x) ext<,>) trouver (g(-8),, g(0),) et (g(8) ext<.>)

Utilisez le graphique pour trouver les valeurs (y) correspondantes où (x = -8, 0,) et (8 ext<.>)

On trouve que (g(-8)=-2,, g(0)=0 ext<,>) et (g(8)=2 ext<.>)

Parfois, la sortie est donnée et on nous demande de trouver l'entrée.

Exemple 67

Étant donné (f(x)=5x+7 ext<,>) trouver (x) où (f(x)=27 ext<.>)

Dans cet exemple, la sortie est donnée et on nous demande de trouver l'entrée. Remplacez (f(x)) par (27) et résolvez l'équation résultante.

Donc (f(4)=27 ext<.>) Comme vérification, on peut évaluer (f(4)=5(4)+7=27 ext<.>)

Exemple 68

Étant donné le graphe de (g(x) ext<,>) trouver (x) où (g(x)=2 ext<.>)

Ici, il nous est demandé de trouver la valeur (x) correspondant à une valeur (y) particulière. Nous commençons par (2) sur l'axe (y), puis lisons la valeur (x) correspondante.

On peut voir que (g(x)=2) où (x=-5 ext<,>) qui signifie (g(-5)=2 ext<.>)


1.2.E : Problèmes sur les relations et les correspondances (exercices) - Mathématiques

Cette section se concentre sur les "Relations" en Mathématiques Discrètes. Ces questions à choix multiples (QCM) doivent être pratiquées pour améliorer les compétences en mathématiques discrètes requises pour divers entretiens (entretiens de campus, entretiens sans rendez-vous, entretiens d'entreprise), stages, examens d'entrée et autres concours.

1. Des relations peuvent exister entre ?

A. objets du même ensemble
B. entre des objets de deux ensembles ou plus.
C. A et B
D. Aucune des réponses ci-dessus

Explication : Des relations peuvent exister entre des objets du même ensemble ou entre des objets de deux ou plusieurs ensembles.

2. Une relation binaire R sur un seul ensemble A est un sous-ensemble de ?

A. A X A
B. A % A
C. Un ^ Un
D.A ? UNE

Explication : Une relation binaire R sur un seul ensemble A est un sous-ensemble de A×A.

3. Pour deux ensembles distincts, A et B, ayant respectivement des cardinalités m et n, la cardinalité maximale d'une relation R de A à B est ?

A. m+n
B. m*n
C. m^n
D. Aucune des réponses ci-dessus

Explication : Pour deux ensembles distincts, A et B, ayant respectivement des cardinalités m et n, la cardinalité maximale d'une relation R de A à B est mn

4. Une relation peut être représentée à l'aide d'un?

A. Graphe indirect
B. Graphique à secteurs
C. Graphe orienté
D. Graphique linéaire

Explication : Une relation peut être représentée à l'aide d'un graphe orienté.

5. La relation ______ entre les ensembles X et Y est l'ensemble X×Y

A. Vide
B. Plein
C. Identité
D. Inverse

Explication : La relation complète entre les ensembles X et Y est l'ensemble X×Y.

6. Une relation R sur l'ensemble A est appelée _________ si xRy implique yRx.

A. Irréflexif
B. Réflexif
C. Anti-symétrique
D. Symétrique

Explication : Une relation R sur l'ensemble A est dite Symétrique si xRy implique yRx.

7. La relation R= <(a,b),(b,a)>sur l'ensemble X= est?

A. Irréflexif
B. Réflexif
C. Anti-symétrique
D. Symétrique

Explication : La relation R= <(a,b),(b,a)>sur l'ensemble X= est irréfléchi.

A. réfléchissant, symétrique et transitif
B. irréflexif, symétrique et transitif
C. ni réflexif, ni irréflexif mais transitif
D. irréfléchi et antisymétrique

Explication : Non réflexif -> (3,3) non présent non irréflexif -> (1, 1) est présent non symétrique -> (2, 1) est présent mais pas (1, 2) non antisymétrique – (2, 3) et (3, 2) ne sont pas asymétriques -> l'asymétrie nécessite à la fois l'antisymétrie et l'irréflexivité. C'est donc une fermeture transitive de la relation.

9. Considérons la relation binaire, A = <(a,b) | b = a – 1 et a, b appartiennent à <1, 2, 3>>. La fermeture transitive réflexive de A est ?

Explication : Par définition de la clôture transitive, nous avons que a est lié à tout b plus petit (comme tout a est lié à b – 1) et à partir de la propriété réflexive a est lié à a.

10. La complexité temporelle du calcul de la fermeture transitive d'une relation binaire sur un ensemble de n éléments devrait être de ________

Explication : Le calcul des résultats de fermeture transitive en multiplication matricielle. Nous pouvons effectuer une multiplication matricielle en un temps O(n3). Il existe de meilleurs algorithmes qui font moins que le temps cube.


PROBLÈMES DE MOTS SUR LES RELATIONS ET LES FONCTIONS

Le coût total du billet d'avion sur une route donnée est composé du coût de base C et du supplément carburant S en roupie. C et S sont tous deux des fonctions du kilométrage m C(m) = 0,4 m + 50 et S(m) = 0,03 m. Déterminez une fonction pour le coût total d'un billet en termes de kilométrage et trouvez le tarif aérien pour parcourir 1600 miles.

Pour trouver le tarif aérien pour voler 1600 miles, nous devons appliquer 1600 au lieu de m.

Ainsi, le coût total du billet d'avion pour parcourir 1600 miles est de 738.

Un vendeur dont les revenus annuels peuvent être représentés par la fonction A(x) = 30 000 + 0,04x, où x est la valeur en roupies de la marchandise qu'il vend. Son fils est également dans les ventes et ses gains sont représentés par la fonction S(x) = 25 000 + 0,05x. Trouvez (A + S)(x) et déterminez le revenu familial total s'ils vendent chacun 1 50 00 000 roupies de marchandises.

Ainsi, le revenu requis est de 1405000.

La fonction d'échange de dollars américains contre le dollar de Singapour un jour donné est f(x) = 1,23x, où x représente le nombre de dollars américains. Le même jour, la fonction d'échange du dollar de Singapour en roupie indienne est g(y) = 50,50y, où y représente le nombre de dollars de Singapour. Écrivez une fonction qui donnera le taux de change du dollar américain par rapport à la roupie indienne.

La fonction d'échange de dollars américains contre le dollar de Singapour :

Ici, « x » représente le dollar américain et f(x) représente le dollar de Singapour.

Échanger le dollar de Singapour contre la roupie indienne est

En appliquant  S.D  =  I.R/50.50 in(1), on obtient

Ainsi, le taux de change du dollar américain par rapport à la roupie indienne est de 62,115 AD.

Le propriétaire d'un petit restaurant peut préparer un repas particulier pour un coût de 100 roupies. Il estime que si le prix du menu du repas est de x roupies, alors le nombre de clients qui commanderont ce repas à ce prix dans une soirée est donné. par la fonction D(x) = 200−x. Exprimez son revenu journalier, son coût total et son profit sur ce repas en fonction de x.

Prix ​​de revient du repas  =  100

Nombre de clients  =  200 - x

Revenu sur 1 jour  =   Nombre de clients  ⋅ x

  1 jour de revenus   =  200 x - x 2

Coût total  =  Coût du repas  ⋅ Nombre de clients

Bénéfice  =  Coût total - 1 jour de revenus

La formule pour convertir les températures Fahrenheit en Celsius est y = (5x/9) − (160/9). Trouver l'inverse de cette fonction et déterminer si l'inverse est aussi une fonction

Inverse est aussi une fonction.

Un chiffrement simple prend un nombre et le code, en utilisant la fonction f(x) = 3x−4. Trouvez l'inverse de cette fonction, déterminez si l'inverse est aussi une fonction et vérifiez la propriété symétrique par rapport à la ligne y = x (en traçant les lignes).

Inverse est aussi une fonction.

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Exercices de mathématiques computationnelles avec MATLAB

Conçu pour fournir des outils pour une étude indépendante, ce livre contient des exercices mathématiques testés par les étudiants, associés à des exercices de programmation MATLAB.

La plupart des chapitres s'ouvrent sur une révision suivie d'exercices théoriques et de programmation, avec des solutions détaillées fournies pour tous les problèmes, y compris les programmes. De nombreux exercices MATLAB sont présentés comme des poupées russes : chaque question améliore et complète le programme précédent et des résultats sont fournis pour valider les programmes intermédiaires.

Le livre propose des commandes MATLAB utiles, des conseils sur les tableaux, les vecteurs, les matrices et les commandes de base pour le traçage. Il contient du matériel sur les valeurs propres et les vecteurs propres et les normes importantes des vecteurs et des matrices, y compris les méthodes itératives de la théorie des perturbations pour la résolution d'équations non linéaires et linéaires, d'interpolation polynomiale et polynomiale par morceaux, d'approximations de courbes de Bézier de fonctions et d'intégrales, etc. Les deux derniers chapitres examinent les équations différentielles ordinaires, y compris les problèmes de valeurs limites à deux points, et traitent des méthodes de différences finies pour certaines équations aux dérivées partielles.

Le format est conçu pour aider les étudiants travaillant seuls, avec des paragraphes de révision concis, Astuce mathématique notes de bas de page sur les aspects mathématiques d'un problème et Astuce MATLAB notes de bas de page avec des conseils sur la programmation.

Les deux auteurs ont une longue expérience, à l'université et en école d'ingénieur, dans l'enseignement des méthodes numériques et de l'analyse numérique. Les auteurs ont commencé une collaboration de recherche il y a quelques années. Ils se sont rendu compte qu'ils avaient des approches complémentaires à la recherche et à l'enseignement des mathématiques. Ils pensent que combiner ces approches donne une perspective intéressante pour un livre original.

Tom Lyche a reçu le John Gregory Memorial Award de la fondation Dagstuhl pour ses « contributions exceptionnelles à la modélisation géométrique » et est membre de l'Académie norvégienne des sciences et des lettres. Il a publié plus de 85 articles dans des revues internationales de premier plan et des actes à comité de lecture, a édité 14 livres et fait partie du comité de rédaction de 4 revues internationales.

Jean-Louis Merrien est actif en tant que chercheur sur la subdivision et a publié le livre « Analyse numérique avec Matlab », Dunod, Paris 2007.

« C'est un livre très intéressant et utile pour tout étudiant de premier cycle avancé et débutant en mathématiques, statistiques, physique informatique, chimie et ingénierie, en mettant l'accent sur l'analyse numérique et la science informatique. L'objectif principal de ce livre est de fournir aux étudiants la possibilité d'appliquer l'analyse numérique et le célèbre MATLAB pour résoudre des problèmes dans leurs propres spécialités. (T. E. Simos, Computing Reviews, janvier 2015)

« Il s'agit d'un nouveau type de livre intéressant dans le domaine de l'analyse numérique. … Il est largement admis que la résolution d'exercices est essentielle pour approfondir la compréhension d'un sujet mathématique. Sous ce point de vue, le présent ouvrage peut être considéré comme un véhicule adéquat pour entrer réellement dans le domaine de l'analyse numérique. … le livre peut aussi servir de riche source d'exercices pour les cours universitaires. (Rolf Dieter Grigorieff, zbMATH, Vol. 1304, 2015)


Cartographie

Nos rédacteurs examineront ce que vous avez soumis et détermineront s'il faut réviser l'article.

Cartographie, toute manière prescrite d'affecter à chaque objet d'un ensemble un objet particulier d'un autre (ou du même) ensemble. Le mappage s'applique à n'importe quel ensemble : une collection d'objets, tels que tous les nombres entiers, tous les points d'une ligne ou tous ceux à l'intérieur d'un cercle. Par exemple, "multiplier par deux" définit un mappage de l'ensemble de tous les nombres entiers sur l'ensemble des nombres pairs. Une rotation est une carte d'un plan ou de tout l'espace en lui-même. En mathématiques, les mots cartographie, carte, et transformation ont tendance à être utilisés de manière interchangeable.

La notion mathématique de cartographie est une abstraction du processus de réalisation d'une carte géographique. Il est maintenant considéré comme une notion fondamentale qui imprègne une grande partie des mathématiques. Les classes spéciales importantes d'applications sont les homomorphismes en algèbre, les isométries en géométrie, les opérateurs en analyse, les homéomorphismes en topologie, les représentations en théorie des groupes et les isomorphismes dans divers contextes (voir fondements des mathématiques : structures isomorphes).


Considérez les graphiques ci-dessous et déterminez s'il s'agit ou non de fonctions :

Esquissez les éléments suivants et déterminez s'il s'agit ou non de fonctions :

Le tableau ci-dessous donne le revenu moyen par habitant, (d), dans une région du pays en fonction de (u), le pourcentage de chômeurs. Écrivez une équation pour montrer que le revenu moyen est fonction du pourcentage de chômeurs.

Le revenu par habitant est une mesure du montant moyen d'argent gagné par personne dans une certaine région.

On voit qu'il y a une différence constante de (- ext<500>) entre les valeurs consécutives de (d), donc la relation est une fonction linéaire de la forme (y = mx + c):

(u) est la variable indépendante et (d) est la variable dépendante.

commencer d & = mu + c m & = - ext <500> d & = - ext<500>u + c end

Remplacez l'un des ensembles de valeurs donnés à résoudre par (c) :

La fonction est : (d = - ext<500>u + ext<23𧄀>)

Notation de fonction

Pour la fonction (y=fleft(x ight)), (y) est la variable dépendante, car la valeur de (y) (sortie) dépend de la valeur de (x) (saisir). Nous disons que (x) est la variable indépendante, puisque nous pouvons choisir (x) pour être n'importe quel nombre. De même, si (gleft(t ight)=2t+1), alors (t) est la variable indépendante et (g) est le nom de la fonction.

Si (hleft(x ight)=3x-5) et nous devons déterminer quand (hleft(x ight)=3), alors nous résolvons la valeur de (x) tel que:

commencer hgauche(xdroite)& = 3x-5 3 & = 3x - 5 8 & = 3x herefore x & = frac<8> <3>end

Si (hleft(x ight)=3x-5) et nous devons déterminer (hleft(3 ight)), alors nous calculons la valeur pour (hleft(x ight )) lorsque (x=3):


Cartographie des diagrammes

Une fonction est un type spécial de relation dans lequel chaque élément du domaine est associé à exactement un élément de la plage . Un mappage montre comment les éléments sont appariés. C'est comme un organigramme pour une fonction, montrant les valeurs d'entrée et de sortie.

Un diagramme de mappage se compose de deux colonnes parallèles. La première colonne représente le domaine d'une fonction f , et l'autre colonne pour sa plage. Des lignes ou des flèches sont tracées d'un domaine à l'autre, pour représenter la relation entre deux éléments.

Une fonction représentée par le mappage ci-dessus dans lequel chaque élément de la plage est associé à exactement un élément du domaine est appelée mappage un-à-un.

Dans le mappage, le deuxième élément de la plage s'associe à plusieurs éléments du domaine. Si le ou les éléments de la plage qui ont mappé plus d'un élément dans le domaine sont appelés mappage plusieurs-à-un.

Dans ce mappage, le premier élément du domaine a été mappé avec plusieurs éléments de la plage. Si un élément du domaine est mappé avec plus d'un élément de la plage, le mappage est appelé relation un-à-plusieurs. Les relations un-à-plusieurs ne sont pas des fonctions.

Dessinez un diagramme de mappage pour la fonction f ( x ) = 2 x 2 + 3 dans l'ensemble des nombres réels.

Choisissez d'abord quelques éléments du domaine. Trouvez ensuite les valeurs y correspondantes (plage) pour les valeurs x choisies.

Le domaine de la fonction est tous les nombres réels. Soit x = &moins 1 , 0 , 1 , 2 et 3 .


Feuilles de travail sur les compétences cartographiques

Améliorez la pensée spatiale, améliorez la littératie visuelle et orientez-vous par rapport à votre environnement grâce à des compétences en lecture de cartes. Apprenez à lire et à interpréter des cartes avec nos feuilles de travail sur les compétences cartographiques, qui apprendront efficacement aux enfants de la 1re à la 5e année à comprendre les directions, à utiliser des coordonnées simples, à calculer des distances réelles à l'aide d'une échelle de carte ou à suivre des instructions directionnelles. Essayez gratuitement certaines de ces feuilles de travail !

Encouragez les enfants de 1ère et 2e année à comprendre leur environnement, en apprenant les noms et les emplacements des directions cardinales et intermédiaires ou primaires inter-cardinales avec ce tableau.

Profitez de cette activité de couper-coller pour étiqueter la rose des vents, revoir et réitérer les huit directions et mettre les jeunes géographes sur la voie de l'acquisition de compétences cartographiques.

Faites des progrès en apprenant à lire une carte de base avec cette feuille de travail PDF et aidez les enfants de l'école primaire à développer des compétences de raisonnement spatial tout en accomplissant une variété de tâches agréables.

L'étude d'une carte d'un lieu permet d'acquérir des connaissances visuelles sur la disposition et l'emplacement des choses les unes par rapport aux autres. Notre feuille de travail imprimable aidera à développer suffisamment cette capacité.

Cet intéressant imprimable d'interprétation de la disposition d'une pièce pour répondre à des questions pertinentes aidera énormément les enfants de 3e année à donner un sens à ce qui les entoure.

Vos élèves de 3e, 4e et 5e année aimeraient-ils aider les jeunes voyageurs à connaître leur itinéraire ? L'exercice pdf présente la carte des États-Unis avec les noms d'État abrégés.

Laissez les enfants calculer à quelle distance les lieux sont situés les uns par rapport aux autres à l'aide d'une échelle de carte. Coupez l'échelle au bas de la page pour mesurer la distance dans cette feuille de travail sur les compétences cartographiques.

Cette activité de recherche de mots unique oblige les enfants de 4e et 5e année à déchiffrer les indices donnés afin de trouver les mots dans la grille. Ils apprendront les mots-clés associés aux cartes et leurs définitions.

Être capable de lire et d'interpréter les coordonnées sur une carte est essentiel pour spécifier des emplacements précis sur une carte. Cette adorable grille de cartes sur le thème de la chasse au trésor rendra l'apprentissage beaucoup plus amusant.

Dans quelle mesure votre enfant de 5e année est-il doué pour analyser des cartes ? Demandez-leur de localiser des lieux, d'interpréter des légendes, d'estimer des distances et de répondre à des questions en fonction de leur analyse pour remplir cette feuille de calcul PDF.


En appliquant les règles que nous avons apprises, un minimum de 6 tables sera requis-

  • Compte ( Ac_no , Solde , b_name )
  • Succursale ( b_name , b_city , Actifs)
  • Prêt ( L_no , Amt , b_name )
  • Emprunteur ( C_name , L_no )
  • Client ( C_name , C_street , C_city)
  • Déposant ( C_name , Ac_no )

Obtenez plus de notes et d'autres documents d'étude de Système de gestion de base de données (SGBD).

Regardez des conférences vidéo en visitant notre chaîne YouTube ApprendreVidFun.


Feuilles de travail sur la symbiose

Les tableaux explicatifs, les exercices et les activités incorporés dans nos feuilles de travail pdf définissent, expliquent et élucident la symbiose, ses termes connexes et ses relations symbiotiques. Les élèves du collège trouveront particulièrement les nombreux exemples fournis dans nos imprimables, extrêmement utiles pour comprendre clairement ce phénomène d'une immense pertinence écologique et les interactions spéciales entre les espèces qui sont cruciales pour de nombreux processus biologiques dans le monde. Offrez-leur nos feuilles de travail gratuites!

Le mot grec symbiose se traduit par « l'état de vivre ensemble ». Comprenons la définition de la symbiose en tant que terme biologique et les types en détail avec ce tableau imprimable.

Cette feuille de travail pdf de 6e année définit les termes clés comme hôte, symbiote, organisme, etc. associés à la symbiose sous la forme d'un exercice de correspondance est très utile pour comprendre le concept.

Des relations symbiotiques existent dans tout le monde naturel. Retrouvez des exemples expliqués de mutualisme, de commensalisme et de parasitisme dans ce tableau au profit de nos élèves de 6e et 7e année.

Demandez aux élèves de 7e et de 8e de tenter de répondre aux questions sur la symbiose et les relations symbiotiques dans cette feuille de travail pour mieux comprendre ce phénomène écologique.

Make use of this visually appealing pictorial worksheet for children to identify the type of symbiotic relationship between organisms shown. Help them know how these relationships evolved.

In this pdf worksheet on symbiosis, children of grade 8 will read the description of the distinct characteristics of individual organisms to figure out the type of relationship they share.

Enjoy this printable exercise of sorting the symbiotic pair under their relevant category to know of many more examples of interdependencies of organisms that is the major driving force of evolution.

Grade 6 children will love this cut and glue activity of putting pairs of organisms together that interact in a specific way to benefit from the presence of the other and keep the ecosystem functioning.

Learn more about the various types of symbiosis like cleaning symbiosis, endosymbiosis and ectosymbiosis, mimicry, competition and more, with our fill in the blanks exercise pdf.


Voir la vidéo: Correspondances et relations - Fonction dune correspondance et Fonction de R dans R (Décembre 2021).