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10.1 : De la nature des nombres - Mathématiques


Compétences à développer

  • Sur la nature des nombres : un dialogue (avec nos excuses à Galilée)

Interlocuteurs : Salviati, Sagredo et Simplicio ; Trois amis de Galileo Galilei

Réglage: Trois amis se retrouvent dans un jardin pour déjeuner à Renassaince en Italie. Comment ils ont obtenu une copie n'est pas clair.

Salviati: Mes bons messieurs. J'ai lu ce volume très étrange comme je l'espère vous l'avez?

Sagredo: je l'ai et j'ai aussi trouvé ça très étrange.

Simplicio: Très étrange en effet ; à la fois stupide et mystifiant.

Salviati: Bête? Comment?

Simplicio: Ces auteurs commencent leur livre par la question, «Qu'est-ce qu'un nombre ?« C'est une question inhabituellement idiote, vous ne trouvez pas ? Les nombres sont des nombres. Tout le monde sait ce qu'ils sont.

Sagredo: Je le pensais aussi jusqu'à ce que j'atteigne le dernier chapitre. Mais maintenant, je n'en suis plus si sûr. Qu'en est-il de cette quantité (aleph _0) ? Si cela compte les entiers positifs, n'est-ce pas un nombre ? Si non, alors comment peut-il compter quoi que ce soit? Si oui, de quel numéro s'agit-il ? Ces questions me tourmentent jusqu'à ce que je crois à peine savoir quoi que ce soit.

Simplicio: Bien sûr (aleph _0) n'est pas un nombre ! C'est simplement un nouveau nom pour l'infini, et l'infini n'est pas un nombre.

Sagredo: Mais n'est-ce pas (aleph _0) la cardinalité de l'ensemble des nombres naturels, (mathbb{N}), de la même manière que la cardinalité de l'ensemble (S = {Salviati, Sagredo,Simplicio}) est (3) ? Si (3) est un nombre, alors pourquoi pas (aleph _0) ?

Simplicio: Ah, mon ami, comme nos auteurs vous jouez simplement avec les mots. Vous comptez les éléments de l'ensemble (S = {Salviati,Sagredo,Simplicio}); vous voyez bien que le nombre d'éléments qu'il contient est (3) puis vous changez de langue. Plutôt que de dire que le nombre d'éléments dans (S) est (3), vous dites que la cardinalité est (3). Mais clairement "cardinalité" et "nombre d'éléments" signifie la même chose.

De même, vous utilisez le symbole (mathbb{N}) pour désigner l'ensemble des entiers positifs. Avec votre nouveau mot et symbole, vous faites la déclaration "la cardinalité (nombre d'éléments) de (mathbb{N}) est (aleph _0)." Cette déclaration a la même forme grammaticale que la déclaration "le nombre d'éléments (cardinalité) de (S) est de trois.” Puisque trois est un nombre, vous concluez que (aleph _0) est aussi un nombre.

Mais c'est tout simplement un non-sens déguisé pour paraître sensé. Si nous déroulons notre notation et notre langage, votre déclaration est simplement : "Le nombre d'entiers positifs est infini.» C'est évidemment un non-sens car l'infini n'est pas un nombre.

Même si nous prenons l'infini comme un terme indéfini et essayons de le définir par votre affirmation, cela n'a toujours aucun sens puisque vous utilisez le mot "numéro" pour définir un nouveau "numéro" appelé l'infini. Cette définition est circulaire. Ce n'est donc pas du tout une définition. C'est du n'importe quoi.

Salviati: Votre raisonnement à ce sujet semble certainement solide.

Simplicio: Merci.

Salviati: Cependant, il y a quelques petits points que j'aimerais examiner de plus près si vous voulez bien me faire plaisir ?

Simplicio: Bien sûr. Qu'est-ce qui vous dérange ?

Salviati: Vous avez dit que nous ne pouvons pas utiliser le mot "numéro» pour définir les nombres car ce serait un raisonnement circulaire. Je suis tout à fait d'accord, mais je ne suis pas sûr que ce soit ce que font nos auteurs.

Considérez l'ensemble ({1,2,3}). Êtes-vous d'accord pour dire qu'il contient trois éléments?

Simplicio: De toute évidence.

Sagredo: Ah ! Je vois ce que tu veux dire! Qu'il y ait trois éléments ne dépend pas de ce que sont ces éléments. Tout ensemble avec trois éléments a trois éléments quelle que soit la nature des éléments. Ainsi, dire que l'ensemble ({1,2,3}) contient trois éléments ne définit pas le mot "numéro” de manière circulaire car il importe peu que le nombre (3) soit l'un des éléments de l'ensemble. Ainsi dire que trois est la cardinalité de l'ensemble ({1,2,3}) a le même sens que de dire qu'il y a trois éléments dans l'ensemble ({Salviati,Sagredo,Simplicio} ).

Dans les deux cas le nombre "(3)" est le nom que l'on donne à la totalité des éléments de chaque ensemble.

Salviati: Précisément. De la même manière, (aleph _0) est le symbole que nous utilisons pour désigner la totalité de l'ensemble des entiers positifs.

Ainsi (aleph _0) est un nombre dans le même sens que '(3)' est un nombre, n'est-ce pas ?

Simplicio: Je vois que nous pouvons dire de manière significative que trois est la cardinalité de tout ensemble avec . bien, . avec trois éléments (il devient très dicile de parler de ces choses) mais c'est simplement une tautologie ! C'est une façon de dire qu'un ensemble qui a trois éléments a trois éléments !

Cela signifie seulement que nous les avons comptés et que nous avons dû nous arrêter à trois. Pour ce faire, nous devons d'abord avoir des chiffres. Ce que nous faisons bien entendu. Comme je l'ai dit, tout le monde sait ce que sont les chiffres.

Sagredo: Je dois avouer, mon ami, que je deviens plus confus au fur et à mesure que nous parlons. Je ne suis plus certain de savoir vraiment ce qu'est un nombre. Puisque vous semblez avoir conservé votre certitude, pouvez-vous m'éclairer ? Pouvez-vous me dire ce qu'est un nombre ?

Simplicio: Certainement. Un nombre, c'est ce dont nous venons de discuter. C'est ce que vous avez lorsque vous arrêtez de compter. Par exemple, trois est la totalité (pour reprendre votre expression) des éléments des ensembles ({Salviati,Sagredo,Simplicio}) ou ({1,2,3}) parce que quand je compte les éléments dans l'un ou l'autre ensemble, je dois m'arrêter à trois. Rien de moins, rien de plus. Ainsi trois est un nombre.

Salviati: Mais cette définition ne fait que m'embrouiller ! Vous accepterez sûrement que les fractions soient des nombres ? Qu'est-ce qui est compté lorsque nous terminons par, disons (4/5) ou (1/5) ?

Simplicio: C'est la simplicité même. (4/5) est le nombre que nous obtenons lorsque nous avons divisé quelque chose en (5) morceaux égaux et que nous avons compté quatre de ces cinquièmes. C'est les quatre cinquièmes. Vous voyez? Même le langage que nous utilisons se plie naturellement à notre objectif.

Salviati: Mais qu'en est-il d'un cinquième ? Pour compter un cinquième, nous devons d'abord diviser quelque chose en cinquièmes. Pour ce faire, nous devons savoir ce qu'est un cinquième, n'est-ce pas ? Nous semblons utiliser le mot « nombre » pour se définir à nouveau. N'avons-nous pas bouclé la boucle et n'avons-nous pas abouti ?

Simplicio: J'avoue que cela ne m'était pas venu à l'esprit avant. Mais il est facile de répondre à votre objection. Pour compter un cinquième, nous divisons simplement notre "quelque chose" en dixièmes. Ensuite, nous en comptons deux. Étant donné que deux dixièmes équivalent à un cinquième, le problème est résolu. Est-ce que tu vois?

Sagredo: Je vois ton point mais ça ne suffira pas du tout ! Il remplace simplement la question, "Qu'est-ce qu'un cinquième ?" avec, "Qu'est-ce qu'un dixième ?» Il ne suffit pas non plus de dire qu'un dixième est simplement deux vingtièmes. Cela déplace simplement la question à un autre niveau.

Archimède a dit : "Donnez-moi une place pour me tenir debout et un levier assez long et je déplacerai la terre.” Mais bien sûr, il n'a jamais déplacé la terre parce qu'il n'avait nulle part où se tenir. Nous semblons nous trouver dans la situation difficile d'Archimède : nous n'avons pas de place pour nous tenir debout.

Simplicio: J'avoue que je ne vois pas comment répondre à cette question pour le moment. Cependant, je suis sûr qu'une réponse peut être trouvée si nous pensons seulement assez fort. En attendant, je ne peux pas accepter que (aleph _0) soit un nombre. C'est, comme je l'ai déjà dit, l'infini et l'infini n'est pas un nombre ! Autant croire aux fées et aux lutins si l'on appelle l'infini un nombre.

Sagredo: Mais encore une fois, nous avons bouclé la boucle. Nous ne pouvons pas dire de façon définitive que (aleph _n) est ou n'est pas un nombre tant que nous ne pouvons affirmer avec assurance ce qu'est un nombre. Et même si nous pouvions trouver un terrain solide pour résoudre le problème des fractions, qu'en est-il de (sqrt{2}) ? Ou (π) ? Certes, ce sont des chiffres, mais je ne vois aucun moyen de compter pour l'un ou l'autre.

Simplicio: Hélas ! Je suis assailli par les démons ! je suis ensorcelé ! Je ne crois plus ce que je sais être vrai !

Salviati: Peut-être que les choses ne sont pas aussi mauvaises que cela. Considérons plus loin. Vous avez dit plus tôt que nous connaissons tous les chiffres, et je suis d'accord. Mais peut-être que votre déclaration doit être formulée plus précisément. Supposons que nous disons à la place que nous savons tous quels nombres doivent être ? Ou que nous savons ce que nous voulons que les nombres soient ? Même si nous ne pouvons pas dire avec certitude quels sont les chiffres, nous pouvons certainement dire ce que nous voulons et ce dont nous avons besoin pour qu'ils soient. Êtes-vous d'accord?

Sagredo: Je fais.

Simplicio: Et moi aussi.

Salviati: Alors inventons à nouveau les nombres, comme si nous ne les avions jamais vus auparavant, en gardant toujours à l'esprit les propriétés dont les nombres ont besoin. Si nous prenons cela comme point de départ, la question à laquelle nous devons répondre est la suivante : "De quoi avons-nous besoin que les nombres soient ?

Sagredo: C'est évident ! Nous devons pouvoir les additionner et nous devons pouvoir les multiplier ensemble, et le résultat devrait également être un nombre.

Simplicio: Et soustraire et diviser aussi, bien sûr.

Sagredo: Je ne suis pas sûr que nous en ayons réellement besoin. Ne pourrait-on pas définir "soustraire deux de trois" être "ajouter moins deux à trois» et ainsi renoncer à la soustraction et à la division ?

Simplicio: Je suppose que nous pouvons, mais je ne vois aucun avantage à le faire. Pourquoi ne pas simplement avoir la soustraction et la division comme nous les avons toujours connues ?

Sagredo: L'avantage est la parcimonie. Deux opérations arithmétiques sont plus faciles à suivre que quatre. Je suggère que nous allions de l'avant avec seulement l'addition et la multiplication pour l'instant. Si nous trouvons que nous avons besoin d'une soustraction ou d'une division, nous pouvons les considérer plus tard.

Simplicio: D'accord. Et je vois maintenant un autre avantage. Évidemment, l'addition et la multiplication ne doivent pas dépendre de l'ordre. Autrement dit, si (x) et (y) sont des nombres, alors (x+y) doit être égal à (y + x) et (xy) doit être égal à (yx ). Ce n'est pas vrai pour la soustraction, car (3 - 2) n'est pas égal à (2 - 3). Mais si nous définissons la soustraction comme vous le suggérez alors cette symétrie est préservée :

[x + (-y) = (-y) + x]

Sagredo: Excellent! Une autre propriété que nous exigerons des nombres me vient à l'esprit maintenant. Lors de l'addition ou de la multiplication de plus de deux nombres, peu importe par où nous commençons. C'est-à-dire que si (x), (y) et (z) sont des nombres, il devrait être vrai que

[(x + y) + z = x + (y + z)]

et

[(x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z)]

Simplicio: Oui! Nous l'avons! Tous les objets qui se combinent de ces manières précises peuvent être appelés nombres.

Salviati: Certes ces propriétés sont nécessaires, mais je ne pense pas qu'elles soient encore suffisantes à notre propos. Par exemple, le nombre (1) est unique en ce qu'il est le seul nombre qui, en multipliant un autre nombre, le laisse inchangé. Par exemple : (1 cdot 3 = 3). Ou, en général, si (x) est un nombre alors (1 cdot x = x).

Sagredo: Oui. En effet. Il me vient à l'esprit que le nombre zéro joue un rôle similaire pour l'addition : (0 + x = x).

Salviati: Il ne me semble pas que l'addition et la multiplication, telles que nous les avons définies, forcent (1) ou (0) à exister donc je crois que nous devrons postuler leur existence indépendamment.

Sagredo: C'est tout alors ? Est-ce tout ce que nous exigeons des nombres ?

Simplicio: Je ne pense pas que nous ayons encore tout à fait terminé. Comment allons-nous obtenir la division?

Sagredo: De la même manière que nous avons défini la soustraction comme l'addition d'un nombre négatif, ne pouvons-nous pas définir la division comme une multiplication par une réciproque ? Par exemple, (3) divisé par (2) peut être considéré comme (3) multiplié par (1/2), n'est-ce pas ?

Salviati: je pense que oui. Mais observez que chaque nombre devra avoir un négatif correspondant afin que nous puissions soustraire n'importe quel montant. Et encore une fois, rien de ce dont nous avons discuté jusqu'à présent ne force ces nombres négatifs à exister, nous devrons donc postuler leur existence séparément.

Simplicio: Et de la même manière chaque nombre aura besoin d'une réciproque afin que nous puissions diviser par n'importe quel montant.

Sagredo: Tout nombre qui est, sauf zéro.

Simplicio: Oui c'est vrai. Étrange n'est-ce pas, que de tous ce seul nombre n'a pas besoin de réciproque ? Devons-nous aussi postuler que zéro n'a pas de réciproque ?

Salviati: Je ne vois pas pourquoi nous devrions. Peut-être que (aleph _0) est l'inverse de zéro. Ou peut-être pas. Mais je ne vois pas la nécessité de nous préoccuper de choses dont nous n'avons pas besoin.

Simplicio: C'est tout alors ? Avons-nous découvert tout ce dont nous avons besoin pour que les nombres soient ?

Salviati: Je crois qu'il n'y a qu'une seule propriété manquante. Nous avons postulé l'addition et nous avons postulé la multiplication et nous avons décrit les nombres zéro et un qui jouent respectivement des rôles similaires pour l'addition et la multiplication. Mais nous n'avons pas décrit comment l'addition et la multiplication fonctionnent ensemble. C'est-à-dire que nous avons besoin d'une règle de distribution : Si (x), (y) et (z) sont tous des nombres alors (x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z). Avec cela en place, je crois que nous avons tout ce dont nous avons besoin.

Simplicio: En effet. On voit aussi par là que (aleph _0) ne peut pas être un nombre puisque, en premier lieu, il ne peut pas être ajouté à un autre nombre et en second lieu, même s'il pouvait être ajouté à un nombre le résultat est sûrement pas aussi un nombre.

Salviati: Mon cher Simplicio, je crains que vous n'ayez complètement raté le coup ! Nos axiomes ne déclarent pas ce qu'est un nombre, mais seulement comment il se comporte par rapport à l'addition et à la multiplication avec d'autres nombres. C'est donc une erreur de supposer que les « nombres » ne sont que les objets que nous avons toujours cru qu'ils étaient. En fait, il me vient maintenant à l'esprit que « l'addition » et la « multiplication » ne doivent pas non plus être considérées comme les opérations que nous avons toujours considérées comme telles.

Par exemple, supposons que nous ayons trois objets, ({a,b,c}) et supposons que nous définissions "une addition" et "multiplication» par les tableaux suivants :

[egin{array}{c|ccc} + & a & b & c hline a&a&b&c b&b&c&a c&c&a&b end{array} qquad qquad egin{array}{c|ccc } cdot & a & b & c hline a&a&a&a b&a&b&c c&a&c&b end{array}]

Je soumets que notre ensemble ainsi que ces définitions satisfont tous nos axiomes et donc (a), (b) et (c) peuvent être appelés "Nombres.”

Simplicio: Ça ne peut pas être! Il n'y a pas de zéro, personne !

Sagredo: Mais il y a. Ne voyez-vous pas que a joue le rôle de zéro - si vous l'ajoutez à n'importe quel nombre, vous récupérez ce nombre. De même b joue le rôle de un.

C'est étonnant ! Si (a), (b) et (c) peuvent être des nombres alors je suis moins sûr que jamais de savoir ce que sont les nombres ! Pourquoi, si nous remplaçons (a), (b) et (c) par Simplicio, Sagredo et Salviati, alors nous devenons nous-mêmes des nombres !

Salviati: Peut-être faudra-t-il se contenter de savoir comment se comportent les nombres plutôt que de savoir ce qu'ils sont.

Cependant j'avoue avoir une certaine affection pour les chiffres avec lesquels j'ai grandi. Appelons-les les "réel" Nombres. Tout autre ensemble de nombres, tel que notre ({a,b,c}) ci-dessus, nous appellerons un champ de nombres, car ils semblent nous fournir un nouveau terrain à explorer. Ou peut-être juste un champ numérique ?

Pendant que nous discutions de cela, j'ai écrit nos axiomes. Ils sont indiqués ci-dessous.

AXIOMES DES NOMBRES

Les nombres sont des objets qui satisfont à toutes les propriétés suivantes :

Définition des opérations: Ils peuvent être combinés par deux opérations, notées "(+)" et "cdot )."

Fermeture: Si (x), (y) et (z) sont des nombres alors (x + y) est aussi un nombre. (xcdot y) est aussi un nombre.

Commutativité: (x + y = y + x)

(x cdot y = y cdot x )

L'associativité: ((x + y) + z = x + (y + z))

((x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z))

Identité additive: Il existe un nombre, noté (0), tel que pour tout nombre, (x), (x + 0 = x).

Identité multiplicative: Il existe un nombre, noté (1), tel que pour tout nombre, (x), (1 cdot x = x).

Additif inverse: Étant donné un nombre quelconque, (x), il existe un nombre, noté (-x), avec la propriété que (x + (-x) = 0).

Inverse multiplicative: Étant donné un nombre quelconque, (x eq 0), il existe un nombre, noté (x^{-1}), avec la propriété que (x cdot x^{-1} = 1) .

La propriété distributive: Si (x), (y) et (z) sont des nombres alors (x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z).

Sagredo: Mon ami, c'est une chose d'une beauté surpassant ! Tout me semble clair maintenant. Les nombres sont tout groupe d'objets qui satisfont nos axiomes. C'est-à-dire qu'un nombre est tout ce qui agit comme un nombre.

Salviati: Oui cela semble être vrai.

Simplicio: Mais attendez! Nous n'avons pas réglé la question : est-ce que (aleph _0) est un nombre ou non ?

Salviati: Si tout ce que nous venons de faire est valide, alors (aleph _0) pourrait être un nombre. Et ainsi pourrait (aleph _1, aleph _2, cdots) si nous pouvons trouver un moyen de définir l'addition et la multiplication sur l'ensemble ({aleph _0, aleph _1, aleph _2, cdots }) d'une manière conforme à nos axiomes.

Sagredo: Une arithmétique des infinis ! C'est une idée très étrange. Une telle chose peut-elle être rendue sensée ?

Simplicio: Non, je pense, avant le déjeuner. Allons-nous nous retirer pour notre repas?

Exercice (PageIndex{1})

Montrez que (0 eq 1).

Indice

Montrez que si (x eq 0), alors (0 cdot x eq x).

Exercice (PageIndex{2})

Considérons l'ensemble des paires ordonnées d'entiers : ({(x,y)|s,y ∈Z}), et définissons l'addition et la multiplication comme suit :

Une addition: ((a,b) + (c,d) = (ad + bc,bd))

Multiplication: ((a,b) cdot (c,d) = (ac,bd)).

  1. Si nous ajoutons la convention [(ab,ad) = (b,d)] montre que cet ensemble avec ces opérations forme un champ de nombres.
  2. De quel champ numérique s'agit-il ?

Exercice (PageIndex{3})

Considérons l'ensemble des paires ordonnées de nombres réels, ({(x,y)|x,y ∈R}), et définissons l'addition et la multiplication comme suit :

Une addition: ((a,b) + (c,d) = (a + c,b + d))

Multiplication: ((a,b) cdot (c,d) = (ac-bd,ad + bc))

  1. Montrer que cet ensemble avec ces opérations forme un champ de nombres.
  2. De quel champ numérique s'agit-il ?

Donateur

  • Eugene Boman (Université d'État de Pennsylvanie) et Robert Rogers (SUNY Fredonia)